从圆周率徐徐展开

我现在有一个想法就是关于无理数如何生成的，当然我们在定义这个无理数的时候，我们只能说它们就是那一类数，无法用整数和分数表示的数，圆周 率是一个无理数对吧。我们定义的时候不会说我数完这个圆周率给你看，你看它是个无理数，我们只能算，一步步的算，算到多少算多少，但是计算的 过程规则是定的，至于用什么方法来算，取决于我们的定义，当我们定义它像拉马努金的收敛公式的时候，那么就要按这个模式来算。当我们定义它是 一个圆形的时候，我们就可以用割圆法来算，但是当你把圆周率移到左边的时候右边的定义所代表的计算步长和间隔是一样的。拉马努金公式可能收敛 更快，但是他只是一种可约算法优势，并不是一种绝对的计算步长优势，他仍然要计算第二、第三、第四位一直计算下去。到这里我们可以说我们定义 了一个圆周率，圆周率已经被证明是一个超越数，这个证明很容易理解，就是他不能表示成任何的整数和分数，这是明确的。对于圆周率计算，通过微 分来进行，通过某种转换达到，但是这里面我们要注意，由于圆的计算可以找到一个等价的级数，而级数和这个微分的等价性由于圆的周长曲率是相等 的，这时微分方程的解和级数这种解是可以完美对应上的，但是也要注意这里面的陷阱，就是当我们认为割圆法代表一个级数的时候，微分法其实也差 不多，都是从割圆级数演化而来的。但是无数次的割圆会把这个剩余的面积弄得趋向于零，微分也可以让他趋向于零，但是微分始终是带曲率的，这种 带曲率的逼近和不带曲率的三角割圆逼近不一样，它自带了误差项，这个误差项可能和欧拉- 马歇罗尼常数密切相关。到这里会产生一个极其重要的洞见，就是曲线本身与真线是非同构的，直线可以用无数条逼近曲线，但是永远不可以代替它， 离散和连续总会有区别，这个区别可以用γ来度量，但是γ是什么。我们可以从积分的定义说起，γ就是一个个离散的矩形可数无穷分割对应的曲线面积， 和积分是用曲率进行不可数无穷计算的值，不可数无穷减去可数无穷得到一个γ的结构度量。有意思的是，离散的矩形算法所拼成的这个面积是一个动态 计算的过程，我们先用两个来拼，误差大得离谱，接下来我们用三个 四个，这个误差会越来越小，越来越小，但是这里面我们受曲线曲率的影响又受分割数量的影响，比如长度为10我们会不断的分10,成2、3、4、5、6一 直分下去，这里面会产生无限循环的小数，作为矩形的底。然后，它的高取值是受曲线的曲率控制的，每分一次，所对应的每个矩形的高就会挪动几次 ，会一直挪到可数无穷次，每一次与前一次都不同，但是每一次都“依赖”于前一次的计算数值。这时你会说为什么依赖了，你分几次按这个几次来计算 不就行了，只计算一次就好。但是诡异的是，只有你不断的增加柱子才能算出更精确的值，两根就是两根的值，100根就是一百根的值，这里面会引入越 来越多的有理无穷，以及这些有理无穷对应的由曲率控制的高，但是曲率是个连续实数，这时越分越多的时候，即使无穷矩形的面积是个有理数，但是 由曲率控制的外围面积却不会是有理数，因为曲率扫过每一点。他是无理的但是也是有规则的，规则就是曲线的定义。但是实际上我们除了计算矩形永 远也不可能把那个扫过的面积表示出来。你不能说我拿个积分一积就出来了，这是偷换概念，因为积分本身就要拆要和斜率相关。这时你会说，我先积 一段，再积一段还不如一次积完计算量是相同的，反正这个曲率是可微的没有奇点，确实一样，因为那个曲线的曲率的定义让它可微，也就是计算可约 了。但是这种约和矩形的不断增加计算的并不一样，拉马努金的圆周率计算公式是离散的，只有离散的我们才是可数的。这时数数这个形为就变得很奇 怪，这里机涉及到把不可数的无穷变成可数的，这是一种降维处理，所以你得一直数下去，停下来就到是可数的，可数的永远不是不可数无穷，而不可 数无穷又必须要用可数无穷来定义。怪不怪，到这里我们可以说，很可能不可数无穷就是一个定义问题，可数就是一个计算问题。有人会问，我直接用 积分计算不快不好吗？连续的多漂亮。还是刚才说到的，你可约了走捷径了，在无数的矩形里没有这个定义。所以不可数无穷是一个定义问题，不是一 个计算问题。γ的出现恰恰可能证明了这处不可数无穷是是依赖于定义的，定义一条曲线什么的，你才能定义他。而这种定义是一个公理跳跃，是人催生 出来的。到这里我们也可以说，无理数是不存在的除非你定义它，当你定义它的时候，它就成了一个超越数。

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