引力新篇：规范场论视角下的时空与力

前言：为引力谱写新篇章

你好，未来的物理学家。你即将踏入一段激动人心的思想旅程，探索现代物理学最前沿、也最深刻的领域之一：引力的量子本质。在你开始阅读这篇专业的物理学论文之前，让我们先为你搭建一个舞台，让你明白这项研究为何如此重要。

20世纪物理学的两大支柱是广义相对论（GR）和量子场论（QFT）。广义相对论是爱因斯坦的杰作，它将引力描述为时空本身的几何弯曲。行星之所以围绕太阳旋转，不是因为有一个神秘的"引力"在拉着它，而是因为它在由太阳质量造成的时空凹陷中，沿着最直的路径（测地线）运动。在这个理论中，时空是一个动态的、可伸缩的舞台，物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。

而量子场论，则是描述电磁力、弱核力和强核力的语言。它在粒子物理学的标准模型中取得了无与伦比的成功。在QFT的世界里，时空是一个固定的、平直的背景舞台（称为闵可夫斯基时空），而所有的力都是通过交换特定的"力粒子"（规范玻色子）来传递的。例如，电磁力是通过交换光子来传递的。

这两大理论都极其成功，但也存在着深刻的矛盾。GR描述的是一个光滑、连续、动态的时空，而QFT描述的是在固定背景下，充满量子涨落和概率性的粒子世界。将两者结合，建立一个统一的"量子引力"理论，是过去半个世纪里理论物理学最大的挑战。

你将要阅读的这篇论文，提出了一条非常激进和新颖的道路。它没有试图去"量子化"广义相对论中弯曲的时空，而是反其道而行之：它试图将引力本身重新表述为一种在平直时空中的规范场，就像其他三种基本力一样。

这是一种颠覆性的视角转变。想象一下，我们不再认为时空舞台本身是弯曲的，而是认为舞台是平直的，但在舞台上出现了一个新的"演员"——一个被称为"引力场"（Gravifield）的场。这个场弥漫在整个时空中，与其他所有的物质和能量场相互作用，从而产生了我们所观测到的所有引力效应。这种方法的巨大优势在于，它从一开始就将引力置于量子场论的框架之内，使得引力能够与其他三种力在统一的语言下进行描述，并有望解决困扰物理学家的"可重整化"问题（一个与无穷大计算相关的技术难题）。

这篇论文将带你深入这个理论的数学心脏。你会看到作者如何定义这个新的引力场，如何构建描述其行为的物理定律（通过一个称为"作用量"的数学对象），以及这个新理论如何预言了能量、动量和角动量等基本物理量的守恒定律。这趟旅程充满挑战，充满了抽象的数学符号和概念，但每一步都蕴含着对宇宙运行方式的深刻洞察。准备好，让我们一起揭开引力的神秘面纱。

第一部分：引力新语言——引力场时空

(对应源文档第III.A节)

1.1 "引力场时空"的几何基础

【原文翻译】

A. 引力场时空

从几何上看，双协变矢量场（bicovariant vector field）𝜒̂ₐᵘ(x) 同时定义在局域平直的非坐标时空和全局平直的坐标闵可夫斯基时空上，并且在局域自旋规范变换和全局洛伦兹变换下，它都像一个双协变矢量场一样变换。

具体来说，𝜒̂ₐᵘ(x) 可以用坐标时空的基矢来表示，其值取在狄拉克矩阵基 {ᵞᵃ/2} 中：

(1/2)ᵞᵃ𝜒̂ₐᵘ(x)∂ᵤ = (1/2)ᵞᵃ𝜒̂ₐ = 𝜒̂ᵘ∂ᵤ  (26) 其中 𝜒̂ₐ = 𝜒̂ₐᵘ(x)∂ᵤ, 𝜒̂ᵘ = (1/2)ᵞᵃ𝜒̂ₐᵘ(x)  (27)

这里的微分算符 ∂ᵤ≡∂/∂xᵘ 在全局平直的坐标闵可夫斯基时空中定义了一个基矢集合 {∂ᵤ}≡{∂/∂xᵘ}。相应地，矢量场 𝜒̂ₐ 为局域平直的非坐标时空构成了一个基矢集合 {𝜒̂ₐ}。我们将称 {∂ᵤ} 为坐标基，{𝜒̂ₐ} 为相应的非坐标基。

在坐标基中，存在一个对偶基 {dxᵘ}，它满足以下条件：

〈dxᵛ,∂/∂xᵘ〉 = ∂xᵛ/∂xᵘ = ᵞᵤᵛ  (28)

【深度解读】

这部分是整个理论的基石，它在引入一个全新的核心概念：双协变矢量场 𝜒̂ₐᵘ(x)。为了理解它，我们可以把它想象成一个动态的"翻译官"或"转换器"。

想象一下你站在地球表面，这是一个弯曲的球面。而你手上有一张平面的世界地图。这张平面的地图就是文中的"全局平直的坐标闵可夫斯基时空"，地图上的经纬线网格就是"坐标基" {∂ᵤ}（比如沿x方向、y方向、z方向和时间方向的导数算符，它们是固定不变的）。而你实际所处的、你脚下的那片小区域，可以近似看作是平的，这就是"局域平直的非坐标时空"。在这个局域空间里，你更关心的是物理上真实的方向，比如"东"、"北"、"上"，这些就是"非坐标基" {𝜒̂ₐ}。

那么问题来了：如何在你所在的每一个点，将地图上的抽象网格方向（x, y）与你实际感受到的物理方向（东, 北）对应起来？这个对应关系在地球上每一点都是不同的（比如在赤道，"东"可能对应地图的x方向；但在别处，对应关系会因为地球的曲率而改变）。

这里的 𝜒̂ₐᵘ(x) 就扮演了这个关键的"翻译官"角色。它是一个场，意味着它在时空中的每一点 (x) 都有一个值。它的两个索引（一个希腊字母 μ 和一个拉丁字母 a）正体现了它的翻译功能：它将非坐标基（由拉丁字母 a, b, c,... 标记）与坐标基（由希腊字母 μ, ν, ρ,... 标记）联系起来。公式 (27) 𝜒̂ₐ = 𝜒̂ₐᵘ(x)∂ᵤ 精确地表达了这一点：它说，第 a 个物理方向（𝜒̂ₐ），是在你所在的位置 (x)，由一组特定的数值 𝜒̂ₐᵘ(x) 线性组合而成的坐标基方向（∂ᵤ）。

"双协变"这个词听起来很吓人，但它的意思是这个"翻译官"非常聪明。当物理学家对局域物理定律做一种称为"自旋规范变换"的调整时（这可以理解为在本地旋转你的物理坐标系），或者对整个平直时空地图做"洛伦兹变换"（比如切换到一个高速运动的参考系），这个翻译场 𝜒̂ₐᵘ(x) 都能做出相应的、正确的调整，保证物理定律的形式不变。这正是构建一个自洽的物理理论所必需的。

最后，公式 (26) 和 (27) 中出现的狄拉克矩阵 ᵞᵃ 是一个深刻的伏笔。这些矩阵是描述自旋为1/2的粒子（如电子、夸克）的狄拉克方程的核心。在这里将它们直接嵌入到时空的几何结构中，表明这个理论从一开始就是为了与描述物质的量子理论（特别是费米子）无缝对接而设计的。这与广义相对论纯粹的几何出发点有很大不同，它暗示着时空的几何本身可能与物质的量子自旋性质有着密不可分的联系。

1.2 对偶引力场及其正交性

【原文翻译】

双协变矢量场 χᵤᵃ(x) 作为 𝜒̂ₐᵘ(x) 的逆，可以用对偶坐标基 {dxᵘ} 来表示，其值取在狄拉克 γ-矩阵基 {ᵞₐ/2} 中：

(1/2)ᵞₐχᵤᵃ(x)dxᵘ = (1/2)ᵞₐχᵃ(x) = χᵤ(x)dxᵘ  (29) 其中 χᵃ = χᵤᵃ(x)dxᵘ，χᵤ = χᵤᵃ(x)(1/2)ᵞₐ。

这里的矢量场 χᵃ 为局域平直非坐标时空定义了一个对偶基 {χᵃ}，因为：

〈χᵃ(x), 𝜒̂ᵦ(x)〉 = χᵤᵃ(x)𝜒̂ᵦᵛ(x)〈dxᵘ, ∂ᵥ〉 = χᵤᵃ(x)𝜒̂ᵦᵘ(x) = ᵞᵦᵃ  (30)

对于狄拉克 γ-矩阵基 {ᵞᵃ/2}，我们有： 〈(1/2)ᵞᵃ,(1/2)ᵞᵇ〉 = (1/4)Tr(ᵞᵃᵞᵇ) = ᵞᵃᵇ  (31)

这导致了如下的正交性质： 〈χᵤ,𝜒̂ᵛ〉 = χᵤᵃ(x)𝜒̂ᵦᵛ(x)〈(1/2)ᵞₐ,(1/2)ᵞᵇ〉 = Tr(χᵤ(x)𝜒̂ᵛ(x)) = ᵞᵤᵛ  (32)

【深度解读】

如果说上一节的 𝜒̂ₐᵘ(x) 是一个"翻译官"，能把地图语言（坐标基）翻译成本地语言（非坐标基），那么这一节引入的 χᵤᵃ(x) 就是它的搭档，负责反向翻译，即把本地语言翻译回地图语言。它们互为逆矩阵，就像一对作用相反的透镜，一个放大，一个就必须缩小同样倍数，以确保信息能够无损地来回转换。

公式 (30) 用数学语言精确地描述了这种完美的互逆关系。符号 〈 , 〉 表示一种"内积"运算，可以理解为测量两个矢量之间的投影关系。这个公式说，如果你用本地语言的第 b 个基矢量（𝜒̂ᵦ）去测量本地语言的第 a 个对偶基矢量（χᵃ），得到的结果是 ᵞᵦᵃ。这个符号 ᵞᵦᵃ（克罗内克δ函数的一个变体）非常简单：当 a 和 b 相同时，它等于1；不同时，它等于0。这就像在说，"东"方向在"东"方向上的投影是100%，但在"北"方向上的投影是0。这保证了我们建立的本地坐标系是正交的，方向之间是独立的。

这种"对偶"的概念在现代物理中无处不在。你可以把它理解成"测量工具"和"被测对象"的关系。基矢量 {𝜒̂ₐ} 定义了方向，而对偶基矢量 {χᵃ} 则像是用来测量在这些方向上分量的"尺子"。它们必须完美匹配，才能得到一致的物理结果。

公式 (32) 则展示了这种完美匹配关系的最终体现。它将两个"翻译官"场 χᵤ 和 𝜒̂ᵛ 结合起来（这里的 χᵤ 和 𝜒̂ᵛ 是包含了狄拉克矩阵的复合体），并通过迹（Tr）运算进行内积。结果是 ᵞᵤᵛ，这再次表明，经过一轮"本地到地图"再"地图到本地"的转换（或者反过来），所有信息都完美复原了。这在数学上保证了理论的自洽性。从物理上讲，这意味着无论我们选择在抽象的闵可夫斯基时空（地图）里进行计算，还是在更具物理直观的局域时空（本地）里进行计算，最终得到的物理定律和预测都应该是一致的。这两个场构成了连接这两个世界的桥梁，而正交性保证了这座桥梁的稳固可靠。

1.3 将引力视为规范势：非对易几何的登场

【原文翻译】

矢量场 χᵃ(x) 可以被看作是平直闵可夫斯基时空中的一个1-形式规范势。很自然地可以推测，这个描述了以 {χᵃ} 为基的局域平直非坐标时空的双协变矢量场 χᵤᵃ(x)，应该作为一种引力的规范型势场来描述引力相互作用。我们将采用一种替代记法，当强调该双协变矢量场是引力的规范型势场时：

Gᵤ(x) ≡ χᵤᵃ(1/2)ᵞₐ, G = -iGᵤdxᵘ  (33)

在这个意义上，χᵤᵃ(x) 或 𝜒̂ₐᵘ(x) 被确定为引力双协变矢量场，在接下来的讨论中简称为引力场（gravifield）。由对偶引力场 χᵤᵃ(x) 和 𝜒̂ₐᵘ(x) 所刻画的非坐标基 {χᵃ} 和 {𝜒̂ₐ} 也相应地被称为引力场基。因此，由矢量引力场 χᵃ(x) 张开的局域平直非坐标时空被称为局域平直引力场时空。

在局域平直引力场时空中，可以检验引力场基 𝜒̂ₐ 并不对易；它满足以下的对易关系：

[𝜒̂ₐ,𝜒̂ᵦ] = χₐᵦᶜ𝜒̂ᶜ, 其中 χₐᵦᶜ ≡ -𝜒̂ₐᵘ𝜒̂ᵦᵛχᵤᵥᶜ, χᵤᵥᶜ = ∂ᵤχᵥᶜ - ∂ᵥχᵤᶜ  (34)

这表明局域平直引力场时空通常与一个非对易几何相关联，其中规范型场张量 χᵤᵥᶜ 将被证明反映了引力场强度。

【深度解读】

这是本部分的高潮，也是整个理论最核心的思想揭示。前面铺垫的复杂的数学工具——双协变矢量场，在这里终于被赋予了它真正的物理身份：它就是引力本身。

作者做了一个极其深刻的类比。在高中的电磁学中，你学过电场和磁场可以由一个更基本的量——电磁四维势 Aᵤ 导出。具体来说，电场和磁场被统一写在一个叫做法拉第张量 Fᵤᵥ 的对象里，而 Fᵤᵥ = ∂ᵤAᵥ - ∂ᵥAᵤ。这里的 Aᵤ 就是规范势。这篇论文提出，引力也遵循同样的模式！我们之前定义的"翻译官"场 χᵤᵃ(x)，现在被正式命名为"引力场"（Gravifield），它扮演的角色就完全等同于电磁学中的规范势 Aᵤ。如公式 (33) 所示，作者甚至为它引入了一个新的符号 Gᵤ，以强调其作为"引力规范势"的地位。

那么，如果 χᵤᵃ 是引力势，什么又是"引力场强度"呢？答案就在公式 (34) 中。这个公式看起来很复杂，但它的核心思想与电磁学如出一辙。表达式 χᵤᵥᶜ = ∂ᵤχᵥᶜ - ∂ᵥχᵤᶜ 在形式上和 Fᵤᵥ 的定义完全一样，都是一种"旋度"运算。这个 χᵤᵥᶜ 就代表了引力场的强度。这标志着一个巨大的概念飞跃：引力不再是时空的弯曲，而是由引力势场在平直时空中产生的"引力场"。

而公式 (34) 的第一部分，[𝜒̂ₐ,𝜒̂ᵦ] = χₐᵦᶜ𝜒̂ᶜ，则揭示了这个引力场的一个惊人特性：非对易性。符号 [𝜒̂ₐ,𝜒̂ᵦ] 代表 𝜒̂ₐ𝜒̂ᵦ - 𝜒̂ᵦ𝜒̂ₐ，即对易子。如果它等于零，我们说这两个操作是对易的。但在一个存在引力场的地方，它不等于零！

这到底意味着什么？让我们回到之前的比喻。𝜒̂ₐ 和 𝜒̂ᵦ 代表着在本地沿着两个不同物理方向（比如"东"和"北"）移动的操作。在一个完全平坦、没有任何力场的空间里，你先向东走1米再向北走1米，和你先向北走1米再向东走1米，最终会到达同一个点。这两个操作的顺序无关紧要，它们是对易的，[东, 北] = 0。

但是，公式 (34) 告诉我们，在引力场中，这个顺序是有关的！先沿 𝜒̂ₐ 方向移动一小段，再沿 𝜒̂ᵦ 方向移动，最终到达的点，与交换顺序后到达的点不重合。两者之间的"偏差"，就由引力场强度 χₐᵦᶜ 来衡量。这正是力场存在的标志！想象在一个旋转的圆盘上行走，你走的路径会因为科里奥利力而弯曲，你走出的矩形路径无法闭合。这里的引力场强度就扮演了类似的角色，它导致了时空几何的"扭曲"，使得路径依赖于顺序。

因此，非对易性就是引力存在的直接数学证据。这片时空不再是我们熟悉的、温顺的欧几里得几何，而是一种更奇特的"非对易几何"。引力被编码在这种几何的内在结构之中。这个发现，将引力的本质从"时空弯曲"重新诠释为"时空操作的非对易性"，为在量子场论的框架下处理引力铺平了道路。

为了帮助你更好地梳理这些全新的概念，下面是一个总结性的表格：

符号/概念 名称 在理论中的角色 高中水平类比
𝜒̂ₐᵘ(x), χᵤᵃ(x) 引力场 (双协变矢量场) 引力的基本场；扮演规范势的角色。连接坐标时空与非坐标时空。 一个动态的、随位置变化的"GPS"，负责将平面地图与弯曲的地球表面对应起来。
{∂ᵤ} 坐标基 平直时空（闵可夫斯基空间）的固定、抽象网格。 标准坐标纸上的x, y, z轴。
{𝜒̂ₐ} 非坐标基 描述物理相互作用的、局域的物理基矢。 你站在地球表面时实际感受到的"东、北、上"方向。
𝒢ᵤᵥᵃ (或 χᵤᵥᶜ) 引力场强度张量 代表引力的"力"，由引力势导出。 类似于由电磁势 (Aᵤ) 导出的电场和磁场 (Fᵤᵥ)。
[𝜒̂ₐ,𝜒̂ᵦ] ≠ 0 非对易几何 引力场存在的数学标志。 旋转的顺序是重要的；这种时空中的"扭曲"就是引力。

第二部分：宇宙的"总配方"——引力规范理论的作用量

(对应源文档第III.B节和第IV节开头)

2.1 描述物理的新语言：外微分形式

【原文翻译】

B. 引力的规范理论

借助引力场基 χᵃ 和 𝜒̂ₐ，我们可以在局域平直引力场时空中定义一个与坐标无关的外微分算符：

dχ = χᵃ ∧ 𝜒̂ₐ  (35)

因此，取代通常在平直闵可夫斯基坐标时空中的外微分形式，我们可以在局域平直引力场时空中定义与坐标无关的外微分形式。例如，自旋规范势和场强可以表示为如下的1-形式和2-形式：

Ω = -iΩₐχᵃ, 𝓡 = dχΩ + Ω ∧ Ω = (1/2i)𝓡ₐᵦχᵃ ∧ χᵇ  (36)

其中 Ωₐ 和 𝓡ₐᵦ 分别是作用在局域平直引力场时空一侧的自旋规范势和场强。从以上定义可以检验，Ωₐ 和 𝓡ₐᵦ 与定义在平直闵可夫斯基时空上的自旋规范势 Ωᵤ 和场强 𝓡ᵤᵥ 有如下关联：

Ωₐ = 𝜒̂ₐᵘΩᵤ, 𝓡ₐᵦ = 𝜒̂ₐᵘ𝜒̂ᵦᵛ𝓡ᵤᵥ  (37)

霍奇对偶（Hodge star）定义为： *𝓡 = (1/4i)εᵃᵦ𝒸𝒹𝓡ₐᵦχᶜ ∧ χᵈ  (38)

类似地，我们也可以用局域平直引力场时空中的外微分形式来表示其他的规范势和场强，以及矢量和张量场。对于内禀规范场和韦尔（Weyl）规范场，我们有：

𝒜 = -i𝒜ₐχᵃ, 𝓕 = dχ𝒜 + 𝒜 ∧ 𝒜 = (1/2i)𝓕ₐᵦχᵃ ∧ χᵇ  (39) W = -iWₐχᵃ, 𝓦 = dχW = (1/2i)𝓦ₐᵦχᵃ ∧ χᵇ

【深度解读】

这一部分引入了一种新的数学语言——外微分形式。对于初学者来说，这可能看起来非常抽象，但它的核心思想是追求物理定律的优雅和普适性。

想象一下牛顿第二定律 F=ma。这个方程虽然简单，但如果你把坐标系旋转一下，力 F 和加速度 a 的分量都会改变，你需要重新计算。外微分形式就像是一种"通用语"，用它写出的物理定律，无论你如何选择坐标系，其形式都保持不变。这更能体现物理定律的内在本质，因为它不依赖于观察者的人为选择。

这里的键符号是"∧"，称为楔积（wedge product）。你可以把它想象成一种构建几何对象的方式。如果 χᵃ 和 χᵇ 代表两个基本方向，那么 χᵃ ∧ χᵇ 就代表由这两个方向张成的一个有向的"面积元"。它不仅包含了面积的大小，还包含了这个面的朝向。同样，三个基矢的楔积就代表一个"体积元"。

公式 (35) 定义了一个新的微分算符 dχ。它是在这个由引力场定义的局域物理空间中进行微分运算的工具，它自动地、内在地区分了空间的不同方向。

接下来的公式 (36) 和 (39) 就是用这种新语言来重写我们已知的物理理论。Ω 代表与粒子"自旋"相关的规范势，𝒜 代表标准模型中的力（如电磁力、弱力）的规范势，而 W 代表与"标度"（或尺度）变换相关的规范势。它们都被写成了"1-形式"，可以理解为在时空的每个点都定义了一个矢量。

而它们的场强，如 𝓡（自旋场强）、𝓕（内禀规范场强），则被写成了"2-形式"。这在几何上非常直观：场强就像是穿过一个无穷小面积元（由 χᵃ ∧ χᵇ 代表）的"通量"。例如，电磁场强张量 𝓕 就包含了电场和磁场，而我们知道磁场线就是穿过一个面的。公式 𝓡 = dχΩ + Ω ∧ Ω 是场强的标准定义，它告诉我们场强不仅来源于势的变化（dχΩ 部分，类似于电场来自电势的梯度），还可能来源于势场自身的相互作用（Ω ∧ Ω 部分），这在非阿贝尔规范理论（如强核力）中非常重要。

公式 (37) 则再次扮演了"翻译"的角色，它明确地告诉我们，在局域物理空间中定义的量（如 Ωₐ）和在全局坐标地图中定义的量（如 Ωᵤ）是如何通过引力场 𝜒̂ 联系起来的。这确保了整个理论框架的逻辑一致性。

2.2 引力自身的动力学与相互作用

【原文翻译】

对于引力场，其在局域平直引力场时空中相应的规范势和场强定义为：

G = -iGₐχᵃ  (40) 𝒢 = dχG + Ω ∧ G + gʷW ∧ G = (1/2i)𝒢ₐᵦχᵃ ∧ χᵇ

它们与平直闵可夫斯基时空中的规范势 Gᵤ 和场强 𝒢ᵤᵥ 的关系由下式给出： Gₐ = 𝜒̂ₐᵘGᵤ, 𝒢ₐᵦ = 𝜒̂ₐᵘ𝜒̂ᵦᵛ𝒢ᵤᵥ  (41)

其中场强为： 𝒢ᵤᵥ = ∇ᵤχᵥ - ∇ᵥχᵤ = ∇ᵤχᵥᵃ(x) - ∇ᵥχᵤᵃ(x)ᵞₐ ≡ 𝒢ᵤᵥᵃ(x)(1/2)ᵞₐ  (42) 𝒢ᵤᵥᵃ(x) = (∂ᵤ + gʷWᵤ)χᵥᵃ + gˢΩᵤᵃᵇχᵥᵇ - (∂ᵥ + gʷWᵥ)χᵤᵃ - gˢΩᵥᵃᵇχᵤᵇ

这里的协变导数定义为： ∇ᵤ = ∂ᵤ + Ωᵤ + gʷWᵤ = ∇ᵤ + gʷWᵤ, ∇ᵤ = ∂ᵤ + Ωᵤ  (43)

引力场的规范型场强 𝒢ᵤᵥ(x) ≡ ∇ᵤχᵥ - ∇ᵥχᵤ 是通过1-形式规范势定义的2-形式。

【深度解读】

这一部分是画龙点睛之笔，它给出了引力场自身的场强定义，并揭示了引力并非一个孤立的存在，而是与其他基本相互作用紧密耦合。

公式 (40) 定义了引力场强 𝒢。请注意这个定义：𝒢 = dχG + Ω ∧ G + gʷW ∧ G。它与之前其他场强（如 𝓕）的定义有显著不同。除了常规的 dχG 项，还多了两项：Ω ∧ G 和 W ∧ G。这在物理上意义非凡。它表明，引力场的强度不仅来源于引力势 G 自身的变化，还来源于引力场与自旋规范场 Ω 以及标度规范场 W 的直接相互作用。

这是一个革命性的观点。在爱因斯坦的广义相对论中，引力只与物质的能量和动量耦合。而在这个理论中，引力还直接与控制粒子自旋和尺度的场相互作用。这意味着，一个旋转的陀螺（具有自旋）周围的引力场，可能与一个不旋转的、但质量相同的物体周围的引力场有所不同。同样，物理定律的尺度不变性（由 W 场描述）也会直接影响引力的表现。这是该理论可能产生与广义相对论不同预测的关键所在。

公式 (42) 将这个抽象的定义翻译回我们更熟悉的坐标语言。引力场强度 𝒢ᵤᵥᵃ 的表达式看起来很复杂，但我们可以分块来理解它。

这里的 gʷ 和 gˢ 是耦合常数，代表这些相互作用的强度。公式 (43) 中定义的"协变导数" ∇ᵤ 是一个非常重要的数学工具。普通的导数 ∂ᵤ 只告诉我们一个场如何随位置变化。而协变导数 ∇ᵤ 则更加聪明，它在计算变化率的同时，还考虑到了由于规范场（如 Ω 和 W）的存在而导致的"坐标系扭曲"。使用协变导数可以确保我们写出的物理定律在规范变换下保持形式不变。在这里，引力场强的定义本身就包含了与其他规范场的耦合，这是通过协变导数来实现的。

2.3 理论的总纲领：规范不变作用量

【原文翻译】

通常，可以在局域平直引力场时空中定义协变导数：

𝒟ₐ = 𝜒̂ₐ - i𝒜ₐ - iΩₐ = 𝜒̂ₐᵘ𝒟ᵤ = 𝜒̂ₐᵘ(∂ᵤ - i𝒜ᵤ - iΩᵤ)  (44)

根据局域平直引力场时空中的外微分形式，以及量子场论在四维时空中需满足可重整化的要求，引力规范理论的规范不变作用量构建如下：

Sχ = ∫ { (1/2)iΨ̄χ∧𝒟Ψ + iψ̄χ∧∇ψ + yₛTr(χ∧χ)∧*(χ∧χ)ψ̄φψ

耦合常数 yₛ, gˢ, αʷ, αᴇ 和 λₛ 都是常数参数。ℒ' 表示可能存在的其他相互作用的拉格朗日密度。我们使用了如下的定义和关系：

𝒟 = χᵃ𝒟ₐ, χᵃ = (1/3!)εᵃᵦᒸ𝒹χᵇ∧χᵈ∧χᶜ (χ∧χ) ≡ χᵃ∧χᵇ(1/2i)Σₐᵦ, (χ∧χ) = (1/2)εᵃᵦᒸ𝒹χᶜ∧χᵈ(1/2i)Σₐᵦ dφ = (dχ - igʷW)φ, κdφ = (1/3!)εᵃᵦᒸ𝒹χᵇ∧χᵈ∧χᶜ(𝜒̂ₐ - gʷWₐ)φ  (46)

以及全反对称的列维-奇维塔张量 εᵃᵇᶜᵈ (ε⁰¹²³=1, εₐᵇᶜᵈ=-εᵃᵇᶜᵈ) 满足的恒等式： εᵃᵇᶜᵈεₐᵇᶜ'ᵈ' = -2(ᵞᶜᶜ'ᵞᵈᵈ' - ᵞᶜᵈ'ᵞᵈᶜ'), εᵃᵇᶜᵈεₐᵇᶜᵈ' = -6ᵞᵈᵈ', εₐᵇᶜᵈεᵃᵇᶜᵈ = -24  (47)

我们引入了一个标量场 φ(x) 来确保由耦合常数 αʷ 表征的规范型引力场相互作用和由耦合常数 αᴇ 表征的标量型自旋规范相互作用都同时具有全局标度对称性和局域标度对称性。一个单态费米子场 ψ(x) 被引入来与该标量场耦合，它将被证明对宇宙的量子暴胀扮演着重要角色。这里的标量场 φ(x) 表征了共形标度性质，并在局域标度规范变换和全局标度变换下分别变换为：

φ(x) → φ'(x) = ξ(x)φ(x), φ(x) → φ'(x') = λφ(x), xᵘ → x'ᵘ = λ⁻¹xᵘ  (48)

上述引力规范理论的通用作用量是在局域平直引力场时空中给出的，费米子场和规范场分别属于自旋群 SP(1,3) 的旋量表示和矢量表示。

【深度解读】

公式 (45) 是这篇论文的核心，是整个理论的"总纲领"或"宇宙的源代码"。物理学中的"作用量" S 是一个极其深刻的概念，它囊括了一个物理系统所有可能的动力学行为。通过一个称为"最小作用量原理"的变分方法，我们可以从这个单一的方程中推导出描述系统中所有粒子和场运动的全部方程。

让我们像阅读代码一样，逐行"注释"这个宏伟的方程：

标量场 φ 的关键角色： 论文明确指出，引入标量场 φ 是为了保证理论的一种重要对称性——标度不变性。这意味着物理定律在放大或缩小时应该保持不变。然而，在我们的世界里，基本粒子的质量（比如电子的质量）本身就定义了一个固定的尺度，破坏了这种对称性。

这里的标量场 φ 很可能扮演着双重角色：

  1. 希格斯场（Higgs-like field）：通过它的值（真空期望值）来赋予其他粒子质量，并同时决定引力的强度（因为引力常数可能与 φ 的值有关）。
  2. 暴胀子（Inflaton）：论文提到它对"宇宙的量子暴胀"至关重要。在宇宙学中，驱动宇宙在极早期发生指数式膨胀的那个标量场就被称为暴胀子。这里的 φ 及其 φ⁴ 势能项，完美地符合暴胀子模型的特征。

因此，这个看似为了满足数学对称性而引入的场 φ，实际上将这个引力理论与两个物理学中最核心的问题——质量的起源和宇宙的起源——紧密地联系在了一起。这是一个宏大而自洽的理论图景。

第三部分：运动的法则——场方程与动力学

(对应源文档第IV节)

3.1 将理论带回现实：闵可夫斯基时空中的作用量

【原文翻译】

IV. 引力量子场论中的场方程和动力学

为了获得运动的场方程并研究场的动力学，将构建在局域平直引力场时空中的引力规范理论作用量，转换到以全局平直闵可夫斯基时空表达的作用量是很有用的。这可以简单地通过引力场将引力场基转换到坐标基来实现。将全局平直闵可夫斯基时空作为一个参考的惯性系，我们能够描述量子场的运动，并对动量和能量做出有意义的定义。特别地，它使我们能够在规范对称性的量子场论框架下，为所有基本力提供一个统一的描述。

不难检验，引力规范理论的通用作用量在全局平直闵可夫斯基时空中得到如下表达式：

Sχ = ∫ d⁴x χ̃ { (1/2)iΨ̄𝜒̂ₐᵘᵞᵃ𝒟ᵤΨ + iψ̄𝜒̂ₐᵘᵞᵃ∇ᵤψ - yₛψ̄φψ

  + (1/2)αʷφ²𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝒢ᵤ'ᵛ'ₐ𝒢ᵤᵥₐ
  + (1/2)𝜒̂ᵘᵛ∂ᵤφ∂ᵥφ - αᴇgˢφ²𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'χᵤ'ₐχᵥ'ᵇ𝓡ᵤ'ᵛ'ₐᵇ - λₛφ⁴ + ℒ'(x) }  (49)

其中定义了： 𝜒̂ᵘᵛ(x) = 𝜒̂ₐᵘ(x)𝜒̂ᵇᵛ(x)ᵞₐᵇ, χᵤ ≡ χᵤᵃᵞₐ  (50)

这里的张量场 𝜒̂ᵘᵛ(x) 与所有场都耦合。

上述引力规范理论的作用量现在是在全局平直闵可夫斯基时空的相对论量子场论框架内描述的。其中引力场 χᵤᵃ(x) 作为一个规范型场出现，其动力学由场强 𝒢ᵤᵥᵃ(x) 的规范型相互作用所支配。反对称的场强张量 𝒢ᵤᵥᵃ(x) 的值取在自旋规范群 SP(1,3) 的齐次矢量表示中。与通常的内禀规范场不同，引力场 χᵤᵃ(x) 以逆的方式与所有量子场的动能项和相互作用项耦合。这清楚地表明，引力场 χᵤᵃ(x) 是一个基本的规范型场，其对应的场强 𝒢ᵤᵥᵃ(x) 刻画了引力。

【深度解读】

这一步在概念上至关重要，可以比作"编译源代码"。之前的作用量 (45) 是用优雅、抽象但难以直接计算的"外微分形式"语言写成的。现在，作者通过引力场这个"翻译官"，将它完全翻译成了我们熟悉的、可以在标准坐标系（闵可夫斯基时空）下进行计算的语言，得到了公式 (49)。这个新形式的作用量看起来更复杂、更"笨拙"，但它对于推导具体的物理预测是必不可少的。

这个转换过程揭示了引力场的一个核心作用。请观察公式 (49)，你会发现一个无处不在的张量场 𝜒̂ᵘᵛ(x)（由引力场构建而来，见公式 (50)）。它出现在哪里？

它几乎与所有的动能项和相互作用项都发生了耦合。这在物理上意味着什么？在没有引力的情况下（即 𝜒̂ᵘᵛ 等于最简单的度规张量 ᵞᵘᵛ），这个作用量描述的是在平直时空中各种粒子和力的标准行为。但当引力场 𝜒̂ᵘᵛ 存在时，它就像一个"调节器"或"修正因子"，系统性地改变了时空中所有事物的运动和相互作用方式。

这正是这个理论如何重现广义相对论效应的方式。在广义相对论中，引力被描述为时空的度规 gᵤᵥ 发生了改变，而这个度规决定了距离和时间的测量。在这里，张量场 𝜒̂ᵘᵛ(x) 扮演了类似"有效度规"的角色。它不是时空本身的几何，而是由引力场在平直时空背景上产生的效应，但这个效应同样会影响所有粒子和场的传播。这巧妙地将"弯曲时空"的图像，转化为了"平直时空中的普适相互作用"的图像。

论文最后一段的评论非常关键："与通常的内禀规范场不同，引力场...以逆的方式与所有...项耦合"。这指的是引力场通常出现在分母上（或者说，作为度规的逆），这与它作为时空几何背景的有效描述是一致的。它最终确认，引力场 χᵤᵃ(x) 在这个理论中是一个基本的力场，而它的场强 𝒢ᵤᵥᵃ 就是我们体验到的引力。

3.2 运动的规则：各场的运动方程

【原文翻译】

基于上述规范不变作用量，并根据最小作用量原理，我们能够通过对场进行无穷小变分来获得所有场的运动方程。为了写出运动方程的显式形式，我们将不考虑拉格朗日密度 ℒ'。

费米子场的运动方程很容易得到，如下所示：

χ𝜒̂ₐᵘᵞᵃi𝒟ᵤΨ + (1/2)i∇ᵤ(χ𝜒̂ₐᵘ)ᵞᵃΨ = 0  (51)

让我们定义一个自旋规范不变的矢量场： Vᵤ(x) ≡ (1/2)𝜒̂χᵤᶜ∇ᵨ(χ𝜒̂ᶜᵨ)  (52)

这样费米子场的运动方程可以简单地写为： ᵞᵃ𝜒̂ₐᵘi(𝒟ᵤ + Vᵤ)Ψ = 0  (53)

用类似的方法，我们得到单态费米子场的运动方程： ᵞᵃ𝜒̂ₐᵘi(∇ᵤ + Vᵤ)ψ = 0

不难导出规范场 𝒜ᵤᴵ 的运动方程： Dᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓕ᵤ'ᵛ'ᴵ) = Jᴵᵘ  (55)

其中费米子矢量流为： Jᴵᵘ = gₐχΨ̄ᵞᵃ𝜒̂ₐᵘᵀᴵΨ  (56)

内禀规范协变导数由下式给出： Dᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓕ᵤ'ᵛ'ᴵ) = χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'Dᵥ𝓕ᵤ'ᵛ'ᴵ + ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ')𝓕ᵤ'ᵛ'ᴵ  (57)

其中第二项是由引力相互作用引起的。

对于自旋规范场 Ωᵤᵃᵇ，我们得到如下的运动方程：

∇ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓡ᵤ'ᵛ'ᵃᵇ) = Jᵘᵃᵇ  (58)

其中矢量-张量流为： Jᵘᵃᵇ = (1/2)gˢχΨ̄𝜒̂ᶜᵘ{ᵞᶜ(1/2)Σᵃᵇ}Ψ + (1/2)gˢχψ̄𝜒̂ᶜᵘ{ᵞᶜ(1/2)Σᵃᵇ}ψ

这里我们使用了记号： χᵤ'ᵥ'[ᵃᵇ] = χᵤ'ᵃχᵥ'ᵇ - χᵤ'ᵇχᵥ'ᵃ, χᵥ[ᵃ𝒢ᵤ'ᵛ'ᵇ] = χᵥᵃ𝒢ᵤ'ᵛ'ᵇ - χᵥᵇ𝒢ᵤ'ᵛ'ᵃ  (60)

作为自旋规范场 Ωᵤᵃᵇ 动力学源的张量流由两部分组成；一部分是费米子张量流，另一部分由引力场 χᵤᵃ 构成。自旋规范协变导数由下式给出： ∇ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓡ᵤ'ᵛ'ᵃᵇ) = χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'∇ᵥ𝓡ᵤ'ᵛ'ᵃᵇ + ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ')𝓡ᵤ'ᵛ'ᵃᵇ  (61)

【深度解读】

如果说作用量是"总配方"，那么这一系列的运动方程就是根据配方制定出的具体"游戏规则"。每一个方程都遵循着一个共同的模式：[场的传播和演化方式] = [产生这个场的源]。

引力的普适影响： 贯穿所有这些方程的一个共同主题是，引力场（以 χ 和 𝜒̂ 的形式）无处不在。它不仅仅是作为一个额外的力项被加进去，而是深度嵌入到了其他所有场动力学的基本结构中。它修改了导数的定义（如公式 (57) 和 (61) 中的第二项），改变了粒子运动的方式，并影响了其他所有力的源。这正是该理论实现爱因斯坦等效原理（引力对所有物质和能量一视同仁）的方式。引力不是众多力中的一种，而是规定了所有其他事物运动和相互作用的舞台规则本身。

3.3 引力自身的动力学：是什么产生了引力？

【原文翻译】

引力场 χᵤᵃ 的运动方程被发现是：

αʷ(∇ᵥ - gʷWᵥ)(φ²χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝒢ᵤ'ᵛ'ₐ) = Jₐᵘ  (62)

其中双协变矢量流为： Jₐᵘ = -χ𝜒̂ₐᵘℒ + (1/2)χΨ̄ᵞᶜi𝒟ᵨΨ𝜒̂ₐᵘ + (1/2)χψ̄ᵞᶜi∇ᵨψ𝜒̂ₐᵘ

   + χ𝜒̂ₐᵛ'𝜒̂ᵘᵘ'∂ᵤ'φ∂ᵥ'φ - 2αᴇgˢχφ²𝜒̂ᶜᵘ𝜒̂ₐᵘ'ᵛ'𝓡ᵤ'ᵛ'ᶜᵈ𝜒̂ᵈᵛ'  (63)

自旋和标度规范协变导数可以写为： (∇ᵥ - gʷWᵥ)(φ²χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝒢ᵤ'ᵛ'ₐ) = χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'(∇ᵥ - gʷWᵥ)(φ²𝒢ᵤ'ᵛ'ₐ) + ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ)φ²𝒢ᵤ'ᵛ'ₐ  (64)

在得到上述运动方程时，我们使用了恒等式 δχ = χ𝜒̂ₐᵘδχᵤᵃ 和 δ𝜒̂ᵦᵛ = -𝜒̂ᵦᵘ𝜒̂ₐᵛδχᵤᵃ。或者，对偶引力场 𝜒̂ₐᵘ 的运动方程可以很容易地读出：

χᵤᶜχᵨᵃαʷṽ∇ᵨ(φ²χ𝜒̂ᵨᵘ'𝜒̂ᵒᵛ'𝒢ᵤ'ᵛ'ᶜ) = Ĵᵤᵃ  (65)

其中引力场流 Ĵᵤᵃ = χᵤᶜχᵨᵃJᶜᵨ Ĵᵤᵃ = -χχᵤᵃℒ + (1/2)χΨ̄ᵞᶜi𝒟ᵨΨ𝜒̂ᵤᵃ + (1/2)χψ̄ᵞᶜi∇ᵨψ𝜒̂ᵤᵃ

   + χ𝜒̂ᵃᵘ'∂ᵤφ∂ᵤ'φ - 2αᴇgˢχφ²𝓡ᵤᵥᵃᵇ𝜒̂ᵇᵛ  (66)

对于标度规范场 Wᵤ，我们得到如下运动方程： ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓦ᵤ'ᵥ') = Jᵘ  (67)

其中玻色子矢量流为： Jᵘ = -gʷχ𝜒̂ᵘᵛφ∂ᵥφ - gʷχφ²αʷ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'χᵥᵃ𝒢ᵤ'ᵥ'ₐ

导数可以写为： ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓦ᵤ'ᵥ') = χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'∂ᵥ𝓦ᵤ'ᵥ' + ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ')𝓦ᵤ'ᵥ'

其中第二项源于引力效应。对于标量场，运动方程可以简单地得到如下： (∂ᵤ + gʷWᵤ)(χ𝜒̂ᵘᵛ∂ᵥφ) = J  (69)

其中标量流为： J = -χyₛψ̄ψ + χφ

标度规范协变导数读作： (∂ᵤ + gʷWᵤ)(χ𝜒̂ᵘᵛ∂ᵥφ) = χ𝜒̂ᵘᵛ∂ᵤ∂ᵥφ + (∂ᵤ + 2gʷWᵤ)(χ𝜒̂ᵘᵛ)∂ᵥφ  (70)

其中第二项反映了引力效应。

【深度解读】

这是本章的顶点：引力自身的运动方程。公式 (62) 回答了物理学中最古老也最深刻的问题之一："是什么产生了引力？"

这个方程的左边，(∇ᵥ - gʷWᵥ)(... 𝒢ᵤ'ᵥ'ₐ)，描述了引力场强度 𝒢 的时空变化，也就是引力场的传播和演化（例如引力波）。而方程的右边，Jₐᵘ，就是引力的源。

让我们仔细审视这个源 Jₐᵘ 的构成，如公式 (63) 所示。它几乎囊括了宇宙中的一切：

结论是惊人的：万物皆为引力之源。 物质、能量、动量、压力、其他所有的力场、乃至引力场本身，都共同决定了引力场的形态。这与爱因斯坦的著名场方程 Gᵤᵥ = 8πGTᵤᵥ 在精神上是完全一致的。在爱因斯坦的理论中，右边的能量-动量张量 Tᵤᵥ 告诉时空如何弯曲。而在这个理论中，右边的流 Jₐᵘ 告诉引力场 χ 应该是什么形态。

公式 (65) 和 (66) 只是用对偶场 𝜒̂ 的语言重写了同一个物理定律，提供了另一个计算的视角。

最后，标度规范场 Wᵤ 的运动方程 (67) 和标量场 φ 的运动方程 (69) 也被给出。它们的源同样复杂，包含了来自引力场、其他费米子和场自身的贡献。这描绘了一幅万物相互关联、相互作用的宇宙图景。每一个场的变化都会影响其他所有场，而引力场在这个复杂的网络中扮演着中心协调者的角色。

第四部分：宇宙的深层对称性——守恒定律及其推论

(对应源文档第V节)

4.1 规范荷的守恒

【原文翻译】

V. 守恒定律与引力场的运动方程

引力的规范理论是建立在平直闵可夫斯基时空的相对论量子场论框架内的，这使我们能够普遍地讨论该理论的基本守恒定律。

A. 内禀规范不变性的守恒律

对于内禀规范对称性的规范不变性，其导致的著名守恒律是在没有引力相互作用时矢量流的守恒。在引力的量子场论中，可以从内禀规范场 𝒜ᵤᴵ 的运动方程 (55) 中证明，该守恒律依然成立：

DᵤJᴵᵘ = DᵤDᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓕ᵤ'ᵥ'ᴵ) = χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'DᵤDᵥ(𝓕ᵤ'ᵥ'ᴵ) + ∂ᵤ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ')𝓕ᵤ'ᵥ'ᴵ

这里利用了对称和反对称性质，引力的效应被消除了。从费米子矢量流和协变导数的定义，我们有： DᵤJᴵᵘ ≡ (δᴵᴷ∂ᵤ + fᴵᴶᴷ𝒜ᵤ)(gₐχΨ̄ᵞᵃ𝜒̂ₐᵘᵀᴷΨ) = gₐχ𝜒̂ₐᵘ𝒟ᵤ(Ψ̄ᵞᵃᵀᴵΨ) + gₐ∂ᵤ(χ𝜒̂ₐᵘ)Ψ̄ᵞᵃᵀᴵΨ = 0

其中第二项反映了引力的效应。通过要求第二个等式中的导数对于自旋规范对称性是规范协变的，费米子矢量流的守恒律可以被重写为： DᵤJᴵᵘ ≡ gₐχ𝜒̂ₐᵘ𝒟ᵤ(Ψ̄ᵞᵃᵀᴵΨ) + gₐ∇ᵤ(χ𝜒̂ₐᵘ)Ψ̄ᵞᵃᵀᴵΨ = 0  (72)

这可以直接通过应用费米子场的运动方程 (51) 来证明其成立。我们因此得出结论，在引力存在的情况下，当引力的效应被包含在内时，由内禀规范对称性导致的费米子矢量流守恒律依然成立。

【深度解读】

这一部分开始探讨理论的深层结构——守恒定律。在物理学中，守恒定律与对称性通过一个深刻的定理——诺特定理——紧密相连。该定理指出，物理系统每拥有一种连续的对称性，就必然对应一个守恒的物理量。例如，物理定律在空间平移下不变（空间对称性），导致了动量守恒；在时间平移下不变（时间对称性），导致了能量守恒。

本节讨论的是"内禀规范对称性"所对应的守恒律。这是一种更抽象的对称性，它与粒子携带的各种"荷"有关。最简单的例子就是电磁理论的 U(1) 规范对称性，它对应的守恒量就是电荷。电荷守恒意味着在任何物理过程中，净电荷的总量都保持不变。

公式 (71) 和 (72) 所做的，是一个非常重要的检验。它们在证明，即使在这个包含了复杂引力相互作用的新理论中，像电荷这样的基本物理量依然是守恒的。引力不会凭空创造或毁灭电荷。

然而，守恒的方式变得更加微妙。观察公式 (72)，守恒定律 DᵤJᴵᵘ=0 的表达式中包含了引力场 χ, 𝜒̂ 以及与引力相关的协变导数 ∇ᵤ。这意味着什么呢？虽然总荷量是守恒的，但荷的局域分布和流动（即"流" Jᴵᵘ）会受到引力的影响。想象一下在一条弯曲的河道里流动的水，虽然水的总量不变，但水流在每一点的速度和方向都会因为河道的弯曲而改变。同样，在引力场中，电流的路径会发生弯曲，但总电荷的增减为零。

这个结果是令人欣慰的，它表明新理论与我们已经熟知的、经过精确检验的物理学（如电荷守恒）是相容的。同时，它也展示了引力是如何作为背景，影响着其他所有物理过程的细节。

4.2 自旋与标度的守恒

【原文翻译】

类似地，对于自旋规范对称性，我们可以从自旋规范场的运动方程中证明如下恒等式：

∇ᵤJᵘᵃᵇ = ∇ᵤ∇ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓡ᵤ'ᵥ'ᵃᵇ) = χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'∇ᵤ∇ᵥ𝓡ᵤ'ᵥ'ᵃᵇ + ∂ᵤ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ')𝓡ᵤ'ᵥ'ᵃᵇ

由于自旋规范场和引力场 χᵤᵃ 是被同时引入以确保引力规范理论的自旋规范不变性，张量流 Jᵘᵃᵇ 和引力场流 Jₐᵘ 通常是相互关联的。不难证明，从张量流 Jᵘᵃᵇ 的定义出发，自旋规范不变性的守恒律可以表示如下：

∇ᵤJᵃᵇᵤ = (1/2)∇ᵤ𝒮ᵃᵇᵤ + (1/2)J[ᵃᵇ] - αᴇgˢφ²χ(𝜒̂ₐᵘ𝓡ᵤᵥᵇᶜ - 𝜒̂ᵇᵘ𝓡ᵤᵥₐᶜ)𝜒̂ᶜᵛ = 0  (73)

其中定义了： Sᵤₐᵇ = gˢχ, J[ᵃᵇ] = Jₐᵘχᵤᵇ - Jᵇᵘχᵤₐ  (74)

将会证明张量 Sᵤₐᵇ 对应于自旋角动量张量，而 J[ᵃᵇ] 与能量-动量张量有关。

对于局域标度规范对称性，从韦尔规范场 Wᵤ 的运动方程，很容易证明： ∂ᵤJᵘ = ∂ᵤ∂ᵥ(χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝓦ᵤ'ᵥ') ≡ 0

这导致了玻色子流的守恒律： ∂ᵤJᵘ = ∂ᵤ(χ𝜒̂ᵘᵛφ∂ᵥφ + αʷχφ²𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'χᵥᵃ𝒢ᵤ'ᵥ'ₐ) = 0  (75)

【深度解读】

这一部分探讨了另外两种对称性——自旋规范对称性和标度规范对称性——所对应的守恒定律，而这里开始出现非常深刻和新颖的物理。

首先看自旋守恒。自旋是粒子内禀的角动量，就像地球不仅公转还自转一样。公式 (73) 是自旋流 Jᵘᵃᵇ 的"守恒"定律，但它看起来一点也不像一个简单的守恒律（即某某量的散度为零）。它的形式 ∇ᵤJᵃᵇᵤ = ... ≠ 0 告诉我们，物质的自旋角动量本身并不是守恒的！

它的变化（或者说"不守恒"的程度）与其他物理量联系在了一起。让我们解读公式 (73) 右边的项：

所以，公式 (73) 的物理含义是：物质的自旋角动量的变化，与它的轨道角动量以及与引力场的直接相互作用有关。 这意味着，在一个物理过程中，一个粒子的自旋可以减少，而减少的这部分角动量可以转化为它的轨道角动量，或者被"吸收"进引力场本身。这是一个动态的交换过程。这在标准物理学中是闻所未闻的，它预言了自旋和引力之间一种全新的相互作用形式。

再来看标度守恒。公式 (75) 表明，与标度对称性相关的流 Jᵘ 是严格守恒的（∂ᵤJᵘ=0）。这个流由两部分组成：一部分来自标量场 φ 的动能，另一部分来自引力场与标量场的相互作用。这个守恒律是理论自洽性的一个重要保证，它确保了理论在不同能量尺度下的行为是可控的。

4.3 能量-动量守恒与一个惊人的推论

【原文翻译】

我们现在来讨论双协变矢量流，因为引力场 χᵤᵃ 的行为不像通常的规范场。从运动方程出发，该流的规范和洛伦兹协变导数由下式给出：

(∇ᵤ - gʷWᵤ)Jₐᵘ = αʷ(∇ᵤ - gʷWᵤ)(∇ᵥ - gʷWᵥ)(φ²χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝒢ᵤ'ᵥ'ₐ) = (1/2)αʷφ²χ(gˢ𝓡ᵤᵥₐᵇ - gʷ𝓦ᵤᵥᵞₐᵇ)𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵛᵛ'𝒢ᵤ'ᵥ'ᵇ  (76)

这表明如此定义的双协变矢量流不是齐次守恒的。这不难理解，因为引力场实际上是作为自旋和标度规范场的伴随场被引入，以确保作用量的自旋和标度规范对称性。下面将证明，双协变矢量流与能量-动量张量有关，而引力场流的一个替代守恒律则源于能量-动量张量的守恒。

C. 引力量子场论中的能量-动量守恒

至此，我们已经讨论了与规范对称性相关的守恒律。由于这样一个理论是建立在平直闵可夫斯基时空的相对论量子场论框架之上的，这意味着空间坐标或时间坐标的差异原则上可以用狭义相对论中提出的标准方法来测量。这使我们能够对动量和能量以及角动量做出有意义的定义。

让我们首先研究坐标平移变换 xᵘ → x'ᵘ = xᵘ + aᵘ 下的守恒律。作用量的变分由下式给出：

δSχ = ∫ d⁴x ∂ᵤ(𝒯ᵛᵘ)aᵛ = 0

其中表面项已被忽略，因为假设所有场在无穷远处都为零。对于任意位移 aᵛ，这导致了著名的能量-动量守恒：

∂ᵤ𝒯ᵛᵘ = 0  (77)

其中能量-动量张量为： 𝒯ᵛᵘ ∼ -ᵞᵛᵘχℒ + (1/2)χ𝜒̂ₐᵘ[iΨ̄ᵞᵃ∂ᵛΨ + iψ̄ᵞᵃ∂ᵛψ + H.c.]

    + αʷχ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵖᵖ'φ²𝒢ᵤ'ᵖ'ₐ∂ᵥχᵖ'ₐ + χ𝜒̂ᵘᵘ'∂ᵤ'φ∂ᵥφ - 2αᴇgˢχφ²𝜒̂ₐᵘ𝜒̂ᵇᵖ∂ᵥΩᵖᵃᵇ

注意，这种形式的能量-动量张量在规范变换下不是显式规范不变的。为了获得一个显式规范不变的能量-动量张量，利用规范场的运动方程是很有用的。通过加上全导数项并采用规范场 𝒜ᵤ, Ωᵤ, Wᵤ 和 χᵤ 的运动方程，能量-动量张量被发现是：

𝒯ᵛᵘ ∼ 2{ -ᵞᵛᵘχℒ + (1/2)χ𝜒̂ₐᵘ[iΨ̄ᵞᵃ𝒟ᵥΨ + iψ̄ᵞᵃ∇ᵥψ + H.c.]

    + χ𝜒̂ᵘᵘ'∂ᵤ'φ∂ᵥφ - 2αᴇχφ²𝜒̂ₐᵘ𝜒̂ᵇᵖ𝓡ᵥᵖᵃᵇ }
    + ∂ᵨ{χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵨᵖ(𝓕ᵤ'ᵖ'ᴵ𝒜ᵥᴵ + 𝓡ᵤ'ᵖ'ᵃᵇΩᵥᵃᵇ + 𝓦ᵤ'ᵖ'Wᵥ)}
    + ∂ᵨ{αʷφ²χ𝜒̂ᵘᵘ'𝜒̂ᵖᵖ'𝒢ᵤ'ᵖ'ₐχᵥₐ - 2αᴇgˢφ²χ𝜒̂ᵃᵘ𝜒̂ᵇᵨΩᵥᵃᵇ }

由于反对称性质，全导数项在导数形式 ∂ᵤ(𝒯ᵛᵘ) 中会消失。因此，规范不变的能量-动量张量读作： 𝒯ᵛᵘ = -ᵞᵛᵘχℒ + (1/2)χ𝜒̂ₐᵘ[iΨ̄ᵞᵃ𝒟ᵥΨ + iψ̄ᵞᵃ∇ᵥψ + H.c.]

    + χ𝜒̂ᵘᵘ'∂ᵤ'φ∂ᵥφ - 2αᴇgˢχφ²𝜒̂ₐᵘ𝓡ᵥᵖᵃᵇ𝜒̂ᵇᵖ  (78)

注意，规范不变的能量-动量张量 𝒯ᵤᵥ 通常是不对称的： 𝒯ᵤᵥ ≠ 𝒯ᵥᵤ  (79)

即使冻结引力相互作用，费米子场的能量-动量张量仍然是不对称的，尽管规范场和标量场的能量-动量张量变得对称。

【深度解读】

这是整篇论文中可能最具革命性的物理预言所在之处。根据诺特定理，时空平移不变性（即物理定律在宇宙任何地方都一样）直接导致能量和动量守恒。公式 (77) ∂ᵤ𝒯ᵛᵘ = 0 就是这个守恒定律的数学表达，它说能量-动量张量 𝒯ᵛᵘ 的四维散度为零。这意味着在一个孤立系统中，总能量和总动量是不会改变的。

作者随后通过一系列复杂的推导，得到了这个理论中规范不变的能量-动量张量 𝒯ᵛᵘ 的最终表达式 (78)。这个表达式包含了宇宙中所有组分（物质、各种力场、标量场）对总能量和动量的贡献。

然而，最关键的结论在公式 (79) 中以一种轻描淡写的方式被提出：𝒯ᵤᵥ ≠ 𝒯ᵥᵤ。这个能量-动量张量通常是不对称的！

这为什么如此重要？在所有你熟悉的物理理论中，无论是牛顿力学、狭义相对论还是标准广义相对论，能量-动量张量总是对称的（𝒯ᵤᵥ = 𝒯ᵥᵤ）。这个对称性有着深刻的物理意义：它直接导致了轨道角动量守恒（在没有外力矩的情况下）。

而现在，这个理论预言 𝒯ᵤᵥ 是不对称的。这意味着对称性被打破了。根据诺特定理的逆推，这必然意味着轨道角动量本身不再守恒！

那么，"丢失"的轨道角动量去哪里了？答案必须是：它与系统中其他形式的角动量发生了交换。而系统中唯一另一种形式的角动量就是粒子的内禀自旋角动量。

因此，𝒯ᵤᵥ 的不对称性，是轨道角动量和自旋角动量之间可以通过引力场进行相互转换的明确信号。

这预示着一种全新的物理现象。想象一个陀螺在绕一个中心旋转。根据这个理论，陀螺的自转（自旋）可以变慢，并将这部分角动量转移给它的公转（轨道运动），使其公转加快，反之亦然。这种转换在传统引力理论中是不可能发生的。在几何上，一个具有不对称能量-动量张量的理论，所描述的时空通常具有一种叫做"挠率（Torsion）"的属性。你可以把它想象成时空不仅能弯曲，还能"扭转"。正是这种时空的"扭转"，为自旋和轨道角动量的交换提供了机制。这是一个可能通过高精度实验来检验的、区别于广义相对论的决定性预言。

4.4 角动量守恒的最终形态

【原文翻译】

D. 全局洛伦兹和标度变换下的守恒律

现在让我们讨论全局洛伦兹变换下的守恒律。对于一个无穷小变换 x'ᵘ = xᵘ + δLᵛᵘxᵛ，类似于平移不变性的能量-动量守恒，我们得到洛伦兹变换不变性的如下守恒律：

∂ᵤLᵨᵒᵘ - T[ᵨᵒ] = 0  (80)

其中定义了： Lᵨᵒᵘ ≡ 𝒯ᵨᵘxₒ - 𝒯ₒᵘxᵨ, T[ᵨᵒ] ≡ 𝒯ᵨᵒ'ᵞₒ'ₒ - 𝒯ₒᵨ'ᵞᵨ'ᵨ  (81)

这里的 Lᵨᵒ 对应于时空旋转的轨道角动量张量。由于能量-动量张量 Tᵨₒ 是不对称的，轨道角动量张量通常不是齐次守恒的，即 ∂ᵤLᵘᵨᵒ ≠ 0。

另一方面，通过将自旋规范不变性的守恒律用闵可夫斯基时空中的协变形式来表述，我们得到自旋规范不变性守恒律的如下表达式：

∂ᵤSᵤᵨᵒ + 𝒯[ᵨᵒ] - Sᵤᵃᵇ(∇ᵤχᵨᵃχₒᵇ + χᵨᵃ∇ᵤχₒᵇ) - 2αᴇgˢφ²χ(𝜒̂ₐᵘ𝓡ᵤᵥᵇᶜ - 𝜒̂ᵇᵘ𝓡ᵤᵥₐᶜ)𝜒̂ᶜᵛχᵨᵃχₒᵇ = 0  (82)

其中定义了： Sᵤᵨᵒ = Sᵤᵃᵇχᵨᵃχₒᵇ = gˢχ𝜒̂ᶜᵘχᵨᵃχₒᵇ  (83) 𝒯[ᵨᵒ] = J[ᵃᵇ]χᵨᵃχₒᵇ = 𝒯ᵨᵘχᵤₒ - 𝒯ₒᵘχᵤᵨ

在定义反对称张量场 𝒯[ᵨᵒ] 时，我们引入了对称张量场： χᵤᵥ = χᵤᵃχᵥᵇᵞₐᵇ  (84)

它与方程 (50) 中给出的对称张量场 𝜒̂ᵘᵛ 是对偶的。

让我们引入一个总角动量张量：

𝒥ᵨᵒᵘ ≡ Lᵨᵒᵘ + Sᵤᵨᵒ  (85)

其中 Lᵘᵨᵒ 和 Sᵤᵨᵒ 分别是旋转（轨道）和自旋角动量张量。通过将洛伦兹不变性的守恒律方程 (81) 与自旋规范不变性的守恒律方程 (82) 结合，我们得到一个新形式的守恒律： ∂ᵤ𝒥ᵨᵒᵘ - (T[ᵨᵒ] - 𝒯[ᵨᵒ]) - Sᵃᵇᵘ(∇ᵤχᵨᵃχₒᵇ + χᵨᵃ∇ᵤχₒᵇ) - 2αᴇgˢφ²χ(𝜒̂ₐᵘ𝓡ᵤᵥᵇᶜ - 𝜒̂ᵇᵘ𝓡ᵤᵥₐᶜ)𝜒̂ᶜᵛχᵨᵃχₒᵇ = 0  (86)

这表明在引力相互作用存在的情况下，上面定义的总角动量张量不是齐次守恒的，即 ∂ᵤ𝒥ᵨᵒᵘ ≠ 0。

当将自旋和标度规范对称性转变为全局洛伦兹和标度对称性时，即所有与引力规范理论相关的量子场都将消失： Ωᵤᵃᵇ → 0, 𝜒̂ₐᵘ → ᵞₐᵘ, Wᵤ → 0  (87)

【深度解读】

这最后一节是整个理论在守恒律方面的集大成者。它将前面所有的线索汇集到一起，给出了最终的角动量守恒图景。

首先，公式 (80) 证实了我们之前的推论：由于能量-动量张量不对称（即 T[ᵨᵒ] ≠ 0），轨道角动量 Lᵨᵒᵘ 确实不守恒。它的变化率由 T[ᵨᵒ] 决定。

其次，公式 (82) 是自旋角动量守恒定律的另一种写法。它同样表明，自旋角动量 Sᵤᵨᵒ 也不守恒。它的变化与 𝒯[ᵨᵒ]（注意这里的符号与上面的 T[ᵨᵒ] 不同，但都源于能量动量张量）以及其他与引力场的复杂相互作用项有关。

现在，最关键的一步来了。作者定义了一个总角动量 𝒥ᵨᵒᵘ (85)，它是轨道角动量和自旋角动量的简单相加。然后，将轨道和自旋的两个"不守恒"定律加在一起，得到了最终的总角动量"守恒"定律，即公式 (86)。

这个最终的方程 (86) 告诉我们什么？它说，总角动量的变化率 ∂ᵤ𝒥ᵨᵒᵘ 并不等于零！这意味着，即使我们把轨道和自旋角动量加在一起，得到的总量依然不守恒。

这似乎与我们物理学中最基本的信念相悖。但请仔细看那些不为零的"余项"。它们都包含了引力场 χ、自旋场强 𝓡 等。这揭示了最终的图景：在一个孤立系统中，"物质和常规场的总角动量"并不守恒，因为角动量可以在物质与引力场之间进行交换。引力场本身可以携带角动量，就像电磁场可以携带能量和动量一样。

最终的结论： 在这个理论中，引力不再是一个被动的背景舞台，而是宇宙基本动力学的一个积极参与者。能量、动量和角动量的守恒定律变得更加丰富和复杂。轨道角动量和自旋角动量可以相互转化，而在转化的过程中，还可能有一部分角动量"泄漏"给引力场，或者从引力场中"吸收"角动量。

这描绘了一幅远比广义相对论更为动态和复杂的引力图景。引力不仅仅是时空的几何，它是一个具有自身动力学、能够储存和交换能量、动量和角动量的力场。这个理论为我们思考引力的本质提供了一个全新的、建立在量子场论坚实基础上的框架，并提出了一系列可能在未来被实验验证的、激动人心的新物理预言。