纠缠、基础代数与时空涌现研讨会纪要 主讲人:洪卢教授 (MIT) 主持人:丹尼尔

开场介绍 丹尼尔: 大家好,欢迎参加物理拉坦的又一次研讨会。今天我们非常荣幸地邀请到洪卢教授进行关于纠缠基本代数和时空涌现的演讲。洪卢教授是 MIT 的教授,他对量子引力相关的问题很感兴趣,例如黑洞的量子性质和宇宙大爆炸奇点,他使用弦理论框架进行研究。他还研究量子物质系统,作为量子引力模型的 holographic 对偶。最近,他是研究基本代数以理解时空涌现的先驱之一,这也是今天演讲的主要话题。请记得在任何时候有疑问时举手提问。现在我将您交给洪教授,请开始。

讲座正文 洪卢教授: 好的。是的。是的。非常感谢丹尼尔的开场白和邀请,让我有机会进行这次演讲,这真是一种荣幸。所以如果您有任何问题,请随时提问。是的,随时可以打断。

那么,今天我有一个非常粗略的计划,我要做的是首先给你们一些我们即将做的事情的动机,然后我会稍微讨论一下纠缠单模代数以及它们之间的关系,然后我会讨论如何通过单模代数来理解时空的涌现。

第一部分:动机与背景 所以是啊,嗯,所以当然爱因斯坦告诉我们,在狭义相对论中,时空应该结合在一起,时空不是分离的,然后在广义相对论中,嗯,他告诉我们重力实际上等于时空。好的。这意味着,由于重力是动态的,这意味着时空是一个动态的对象。抱歉。是的,时空是一个动态的对象,它可以自己演化,但也可以被其中的物质弯曲。好的。所以,嗯,重力的动力学变量只是由时空度规给出,然后可以描述距离、时间的流逝、曲率等等,然后动力学方程就是这个,嗯,由爱因斯坦方程给出,它告诉你爱因斯坦张量如何与物质的应力张量相关。好的。所以 GN 在这里是牛顿常数,它本质上给出了重力的强度,并且也表征了物质弯曲时空的能力。好的。所以如果你有更大的质量,对于相同的时间,如果你有更大的密度,那么当然你会在右边产生更大的影响。

嗯,所以 20 世纪物理学的其他支柱,嗯,量子力学是其他支柱。嗯,量子力学当然控制着我们生活的许多方面。嗯,所有的电子设备都是通过量子力学实现的,人们普遍认为时空和重力也必须是量子化的。

但是,尽管目前还没有任何直接的实验证据表明时空和引力具有量子特性,我们之所以相信这一点,主要是因为其内部一致性和自然界的一致性。引力非常微弱。你可以立刻看到,如果我仅仅通过稍微调整肌肉,就能克服整个地球对笔的引力。因此,引力非常微弱,这一点也可以从 gton 是一个非常小的量中看出。使用我们的标准尺度,可以计算出 gton 对应的极小长度尺度。所以,这是可以用 G Newton 构建的基本尺度,即所谓的普朗克长度,它是一个极其微小的数值,用我们熟悉的普通时间尺度来衡量。因此,探测到量子引力效应将具有重要意义。

嗯,而且 JD 的量非常小,所以这可以通过普朗克透镜看到,它是一个非常小的参数,相对于我们通常的尺度而言。对于物理过程,比如非晶态 L 和能量,它是由量子力学中的不确定性关系决定的,即普朗克常数除以 L。然后重力的精细结构是由 GN gutton 定义的αG,我们定义为一个无量纲常数,它基本上与牛ton的 G 乘以 E² 成正比,而 E² 可以用普朗克尺度表示,即普朗克长度平方除以 L²,也就是你典型的物理过程长度。所以,对于我们熟悉的典型过程 L,这个数字非常小。好吧,所以这告诉我们重力非常弱,而且αG 对于我们感兴趣的大多数尺度来说都非常小,因此探测量子引力效应极其困难。所以,如果我们想直接测量量子引力效应,就必须去到非常短的距离。但另一方面,我们并不认为 gutton 的尺度需要很大才能有一个大的宇宙。正如我们在这里所说,量子涨落和量子引力涨落只在非常小的尺度上存在,因此它们不影响我们普通生活的物理学,也不影响星系的形成等。所以,我们认为,为了拥有一个庞大的宇宙,以及星系、恒星甚至人类的存在,量子引力涨落实际上需要很小,这就带来了一个困境。为了测量量子引力效应,我们必须在那里,而为了让我们在那里,引力场必须非常小,这意味着很难测量量子引力效应,所以引力效应实际上很好地隐藏了它的秘密。

尽管量子引力效应在理论上非常小,而且我们还没有任何直接的实验证据来证明时空的量子性质。当然,这并没有阻止物理学家思考这个问题。实际上,物理学家从很早就开始思考这个问题,早在 1930 年代初,布隆斯坦就已经开始思考如何量子化时空。关于时空量子化的一个非常简单的想法是如下。

广义相对论是一种经典场论。所以这是一个关于度规场的经典场论。要进入量子领域,我们可以量子化这个经典场论,将其视为量子场论,就像电磁学中的情况一样。经典的电磁学是一种经典场论,为了描述量子电动力学(QED),我们只需量子化经典的电动力学,从而得到 QED,它已经取得了惊人的成功。所以我们可以尝试对爱因斯坦理论做同样的事情,将其视为场论并量子化它。但是当你这样做时,在 1930 年代人们已经开始这样做,现在快 100 年过去了,这种方法仍然没有成功。存在许多技术性和概念上的困难,概念上的困难包括以下几点。让我们考虑一个非常简单的过程:如果有两个重粒子,它们的轨道由两条线表示,它们可以交换引力,从而产生引力相互作用。所以当你量子化引力时,对应的矩阵的量子就是引力子。

那么,你将会有引力子交换在这两个重物体之间,比如说。然后当你尝试计算这类过程时,你会立即发现紫外发散,实际上所有这类过程都是紫外发散的。标准量子场论的处理方法在这种情况下会崩溃。好的。使用我们标准的语言,这意味着广义相对论作为量子场论是紫外不完备的,这意味着为了使这个理论在短距离上具有意义,我们需要通过其他方式来完善它。所以,它本身在短距离上并不是一个自洽的理论。因此,这是表明这种方法确实存在重大概念困难的另一个迹象。

在经历了近 100 年的尝试之后,现在许多人开始怀疑,也许量子化是一个错误的想法。特别是,也许时空不是一个基本对象,而是涌现的。如果这是情况,那么量子化生成将不会帮助你理解量子引力的低能行为,但我们将无法揭示其基本性质,例如它是否是一种流体。想象一下,如果我们首先发现了量子力学。在我们还没有发现流体力学之前,当我们讨论流体力学时,然后然后是的,在我们理解流体之前。好吧。假设我们先理解量子力学,然后再理解流体,理解流体是由分子组成的,然后然后然后假设我们试图理解流体的基本性质,然后然后当然接下来要做的事情就是,你只需要用量子化流体力学。好吧。然后你可以尝试量子化流体力学。但是,尽管这可能给你一些流体的量子行为,但正如我们所知,没有办法揭示流体的基本性质,比如作为大量分子连续近似的性质。好吧。然后然后这个方法就是行不通的。所以是的,如果时空确实不是基本的,而是涌现的,那么引力基本自由度是什么?所以所以问题是,时空是涌现的吗?

所以实际上有一个强烈的暗示,时空和引力确实是涌现的,这来自于弦理论。所以所以弦理论说,实际上我们在自然界中观察到的基本粒子并不是真正的基本的。它们实际上不是点粒子。它们是某些基本弦的激发。好吧。所以自然界中的基本对象实际上是线性的对象,而不是点粒子。所以,当你有一个一维对象时,自然会引入一个尺度,即长度尺度。通常所说的弦长度,就是用来表征基本弦的长度尺度。那么,当弦尺度远大于弦长度时,你就无法分辨弦的侧面。此时,屏幕就表现得像点粒子,我们通常的场论就适用,特别是我们通常的时空连续体图像适用,然后你就看到连续的时空。但现在,如果你有足够高的分辨率,那么...

观众提问: 我想问一下,我们在量子化度规场时得到的紫外发散,它们是非重整化的吗?

洪卢教授: 是的,它们是非重整化的。所以它们是 Perturbatively 非重整化的,我们不知道如何处理,人们一直有梦想。人们有猜测,也许非 Perturbatively 如果你能够非 Perturbatively 处理重力常数,也许它们就变得可重整化了。所以人们已经做了大量的尝试,但都没有取得很大的成功。所以这种可能性还没有被排除,但缺乏成功也促使人们寻找其他可能性。谢谢。好的。

所以,嗯,所以从流理论的角度来看,现在如果你有足够的分辨率,能够真正将屏幕作为一个一维对象来解析,那么时空将看起来非常不同。好的。那么,你的连续时空实际上看起来像是一个大的基本弦的集合。好的。这就像说连续流体可以作为一个大量的分子来构建。是的。是的。连续流体更像是一个连续近似,即一个大的分子集合。好的。嗯,所以,所以这给你一个提示,时空,弦理论告诉你,时空不是基本的,而是一个在大距离处是涌现的概念,你无法解析弦,但在弦理论中,弦理论引入了一个长度尺度,即弦长度,那么这是一个自然的问题,弦尺度,弦长度,与之前提到的普朗克尺度相比如何,普朗克尺度是我们之前提到的,它是一个表征量子引力的基本尺度,但在大多数弦理论中,我们实际上知道如何处理,好的,这意味着弦理论在弱耦合下,这个流图实际上适用,普朗克尺度实际上远大于弦尺度,所以这表明有很多可能性,实际上也许在真正的量子引力范围内,在普朗克尺度上,甚至弦图可能也不适用。确实,有迹象表明,弦描述可能不是基本的。

最重要的指示之一,甚至流式图像也不是基本的,其来源是一种称为全息术和 ADS 对偶性的理论。因此,让我们考虑反时空。假设反时空是一个具有主动宇宙模量常数的均匀时空。当然,反时空本身是一个均匀时空,但你可以考虑在时空中存在激发物质或引力。那么,在原则上,例如,当 gutton 趋于零,即反时空的尺度远大于普朗克长度时,你将拥有一个我们称之为大宇宙的东西。在这种情况下,原则上就像我们的宇宙一样,你可以有星系、星星,甚至原则上可以有人类。当然,我们目前的观测表明我们生活在反时空,这是一个具有正宇宙常数的时空,但在原则上,反时空中也发生类似的物理现象。这个时空可以想象成一个实心圆柱体,随着时间向上,在每个常量时间切片上,你将看到一个双曲空间。然后,你可以用共形变换来变换这个时空,使得边界在比如说时空无穷远处,在有限距离处,使用所谓的共形映射,然后然后,时空的拓扑结构,正如所指示的,就像一个圆柱,并且有一个圆柱形的边界。好的,所以,记住这个边界实际上即使它们在有限距离处相接,实际上它们在无限固有时空中相接,但它们的拓扑结构是一个圆柱,嗯,所以在每个恒定的时间切片上,边界就像一个球体。这是一个非常大的球体,你可以操作,嗯,一个非常大的球体,你也可以有时用平面来近似,嗯,我们经常使用这个近似。

好的,所以,你现在可以考虑在这个反德西特时空中的量子引力,在这种情况下,实际上我们有一个 remarkable 的关系,由 Mina 在 1997 年提出,即这种类型的量子引力与某些边界理论是等价的,这个边界理论存在于它的边界上,我们称之为边界理论,所以,这个边界理论通常是,比如说,一个共形场论,所以我们称之为 CFT,或者某些量子场论。好的。嗯,这种类型的边界理论的一个特征是,它们的基态自由度由矩阵描述。所以本质上它们是一系列矩阵的场,嗯,所以这些矩阵的特点是秩为 n。好的,就是秩为 n 的矩阵,n 就是秩。所以在重力方面,重力耦合的强度,结果发现它与 1/n 有关。这意味着在非常小的情况下,意味着你有非常大的宇宙,那么 n 就非常大。好的,所以直观上这是有道理的,当 n 非常大时,意味着你有很多自由度。并且你有很多自由度,这意味着你实际上可以描述很多,当然你有更多的自由度,你当然可以描述虚拟物理,比如星系、恒星或人类等等。然后是半经典重力极限。好的,那么对应于角度到无穷大的极限。好的。当然在我们的宇宙中,gutitin 非常小。所以我们描述的物理是我们描述的是所有在 gut 中的物理,因为 gut 的零极限是我们通常所说的半经典物理,那就是我们拥有明确定义的概念,比如时空等等。好的。当 G Newton 是有限的,当 G Newton 是有限的,那么时空涨落就非常大,然后我们不能再合理地谈论时空在波中的时空。是的,几何上,在波中我们熟悉的是。

这是因为,比如说,你可以从一个黑洞波动到一个没有黑洞的状态。然后,然后,然后我们平常的几何概念就不再适用了。所以你有什么问题吗?好的,好的。所以我们的目标,好的,现在有了这个框架,我们有了这个框架,我们有了这个框架,现在我们有一个精确的方法来提出时空在紫外极限下出现的问题,在半经典极限下,我们期望时空会出现。所以现在我们可以精确地提出问题:这个盒子状时空以及相关的几何概念,以及诸如魔方或煤结构(它在描述生成性中当然起着至关重要的作用),是如何从这个矩阵自由度在角度到无穷大极限中出现的。而且我们只期望这个问题在趋于无穷大极限时才有意义,因为在有限 n 时,紫外是有限的,时空会波动,然后我们期望这些几何概念会崩溃。所以这个问题清楚吗?好的。

而且已经有一些线索表明时空来自哪里,来自这个边界矩阵自由度。所以一个非常粗略的线索。所以,一个非常基本的问题,你已经可以问了,就是这个火花量子引力理论比边界多一个维度,因为存在一个径向方向,它在 b 中存在,但在边界中不存在。所以一个立即的问题就是,即使忽略连续体或几何概念的具体细节,这个额外的维度来自哪里。现在我们实际上已经很好地理解了这个实际维度来自哪里。所以,让我现在只考虑这个 ads 时空的一个时间切片。这个单时间切片就像一个圆盘。边界可以看作是一个圆,而内部是圆盘,这是一个双曲空间。考虑这个双曲空间的一个切片,边界由圆给出。想象我有两个径向位置,一和二,假设在这个反宇宙中有两个相同的牛。那么,如何从边界理论描述这些牛呢?事实证明,这两个不同位置的相同牛实际上映射到边界上的不同对象。换句话说,边界中的径向方向反映了边界序列的尺度。所以,嗯,所以更大尺度反映到时空的内部,而小尺度反映接近边界的自由度。好的。并且,当然,这只是对 Bach 的一种相当粗糙的理解,它只是告诉你这个额外维度来自哪里。

所以对 Bach 几何的更精细理解来自于理解边界理论的纠缠如何在 Bach 中表示。好的。所以这是在 holographic duality 的背景下著名的 Rutaki 提案。所以假设如果我们问,比如考虑边界中的一个子区域,我称之为 R,问这个子区域 R 如何与边界中的其余自由度纠缠,并且这种纠缠由诸如纠缠熵之类的东西表征。从这个 Rutaki 提案中,我们发现这个区域 R 的纠缠熵可以被表征为重力一侧某个表面的面积。好的。在这里,我只需要说这里的细节并不重要。所以声称这个区域 R 的纠缠熵被表征为重力一侧某个表面的面积,然后这连接起来。所以某个表面的面积当然直接反映了重力一侧的几何。所以这提供了直接连接,好的,在边界系统中的纠缠和重力一侧的时空几何之间。

自从乌塔基的提案以来,我们已经积累了大量这类例子,这些例子将纠缠与重力边界理论中的时空联系起来。好的。好的。所以我们有很多关于这类关系的经验,但我们仍然没有一个非常系统的图景,比如时空几何实际上是如何编码在纠缠中的。所以本质上我们有很多例子,但我们实际上没有一种连贯的结构来理解它们,换句话说,时空实际上是如何从纠缠中产生的,这就是我们想要回答的问题。

所以在这个演讲中,我将告诉你们在理解这个问题方面取得的进展。首先,我将告诉你们,体积代数实际上提供了一个通用的语言来表征量子系统的纠缠结构。特别是,体积代数的分类提供了量子系统纠缠结构的分类。然后,我将使用体积代数来解释它如何为理解时空和其他几何概念的涌现提供强大的语言。

所以,在继续之前,你们有什么问题吗?

观众提问: 是的,对我来说还不清楚边界代表哪种类型的系统。是的,我想我有点困惑。

洪卢教授: 哦,好。那是个非常好的问题。实际上,在这里有很多这样的双重性例子,但在不同的 ADS 时空维度等等。它们都 dual 到非常不同的边界系统。所以有很多这样的例子和边界系统,它们可以是很多不同的事物,例如在四维中可以有超弦理论,可以有二维 CTFs,可以有其他种类的三维共形场序列。到现在我们已经知道无限多的例子,所以它们都是某种量子场序列或某种 Yeah,但总体上,在所有这些序列中,它们都由某种矩阵等于自由度描述,由这个数 n 表征。那些序列的细节实际上并不那么重要,所以我没有描述任何具体的例子或给出这种边界系统的细节。为了我们的目的,我们只需要知道边界是某种量子力学系统,其自由度由这个数 n 表征。谢谢。

其他问题。好的。

第二部分:纠缠与冯·诺依曼代数 那么现在让我稍微谈谈纠缠和纪念碑代数。你可能在量子力学课程和教科书中学过纠缠,所以非常快速地,纠缠的历史。好吧,所以纠缠现象始于 1935 年。所以,它几乎是量子力学发现后的 10 年。但爱因斯坦仍在试图推翻量子力学。好吧,所以他并不高兴。他想推翻量子力学。所以,所以,他和波多夫斯基和罗森一起提出了 EPR 实验,用现代语言来说,他们考虑例如,如果你比较一对电子,会创造出两个电子,然后,然后,然后,因为一对电子被创造出来,然后这两个电子的状态是处于一种特定的形式,以至于对其中一个电子的测量与对另一个电子的测量是相关的。好吧。并且,特别是如果你对一个电子进行测量,这将影响对另一个电子的测量。好吧。所以,即使它们相隔数光年,好吧。所以这就是爱因斯坦所说的“超距作用”。所以,所以 EPR 想用这种类型的思想实验来论证实际上量子力学本身并不完整。好吧。

并且,在 exactly the same year,所以,所以 EPR 说,尽管爱因斯坦试图推翻量子力学,但辛格立即意识到,好吧,这实际上是量子力学的一个关键特征,然后,然后,他实际上创造了“纠缠”这个词。“呃,就在同一年,他提出了纠缠这个术语,然后当然,随后把他的著名猫置于这样的纠缠状态。好吧。呃,在生与死之间。当然,大约在同一时间,EPR 悖论被玻尔反驳了。所以,玻尔很快写了一篇有力的反驳,反驳了 EPR 的论点,即量子力学是不完整的。玻尔的反驳对社区来说可以说是有说服力的。不幸的是,社区不仅接受了玻尔的解释,而且很快就把纠缠忘记了。尽管如此,肖丁格指出纠缠实际上是量子力学的一个重要特征,但委员会实际上很快就忘记了纠缠。直到大约 30 年后,玻尔才意识到纠缠可以用来检验量子力学,特别是为了进行实验,以证明量子力学与经典力学的区别,即所谓的隐藏变量系列等等。然后,再次在许多年后,即使玻尔和纠缠更像是一种好奇,人们也用来区分量子力学和经典力学。但直到大约 30 年后,当人们开始考虑使用量子力学进行计算时,使用“呃呃呃”说“呃”和“对于量子通信和通信的量化”以及“人们是否意识到实际上纠缠可以作为一种非常重要的来源,好的,用于量子计算和通信,然后人们开始意识到纠缠的强大影响,然后也受到 21 世纪的启发,人们开始意识到实际上纠缠在量子计算和量子通信中起着关键作用,不仅在理解量子物质系统、理解量子场和理解量子引力中,而且它们为表征这些量子多体系统提供了关键作用,呃呃呃。等等。

所以从本质上讲,纠缠表征了量子系统中不同子自由度之间的量子相关性。好的。所以这里强调子自由度。好的。这是一个内在的量子概念。好的。这就是我们通常所说的子系统。所以一个著名的纠缠例子当然是由两个自旋组成的态。好的。所以这里有两个子系统,两个自旋。好的。所以这是两个自spin的纠缠态,所以第一个自旋向上和向下纠缠。是的。是的,它们有一个系统 1 和系统 2,它们的自旋相反。好的,它们处于超状态中,即在相反自旋方向的状态叠加中。更一般地,我们可以这样描述纠缠:假设我们将量子系统分成两部分,一部分称为 1,另一部分称为 2。典型的纠缠态是那些可以写成 1 和 2 的状态的张量积的叠加态,以及那些不能被分解的叠加态。这就是我们所说的纠缠态,即 1 和 2 的状态的不可分解的叠加态。在这里,关键在于,在写出纠缠态时,需要将希尔伯特空间分解为张量积的形式,以便写出这样的状态,并且整个希尔伯特空间应该分解为系统 1 的希尔伯特空间和系统 2 的希尔伯特空间之间的张量积。这就是我们如何写出这样的纠缠态。

所以,直观上,这实际上会带来一些紧张感。因此,子系统这个概念在物理上非常直观。如果你考虑一些自由度的子集,然后我们可以自然地将它们视为子系统。但在数学上,教科书定义的数学上定义它实际上非常直观。它需要希尔伯特空间的这种分解。我们说一个子系统能够定义,只能通过将你的孔空间分解为这种张量积来分解。但在一般情况下,这种分解结构实际上对孔空间的结构的非平凡要求。所以这个高度不直观的要求似乎与我们对子系统的物理方式直观的理解有些关注。本质上,有很多紧张关系。事实上,有很多实际上在物理上有趣的 situations,其中这种分解的定义实际上会崩溃。而且我们实际上可以合理地谈论子系统的物理,但不知何故,它们确实不存在所谓的分解。所以当实际上有无限多的纠缠时,这种情况会发生。基本图景是如下:当你有无限多个自由度时,例如,如果你有一个统计系统,在某些动力学极限中,或者你有一个量子场论,然后你有无限多个自由度。原则上,你可以有无限数量的无限量的纠缠,结果是这种无限量的纠缠会导致分解的崩溃。

现在让我给你一个例子。所以让我们考虑两个无限自旋链,它们是帕里斯纠缠的。好的。所以在这里,我有两个无限自旋链,我称之为 L 和 R。每个点都对应一个自旋。所以在 L 系统中有无穷多个自旋,在右系统中也有无穷多个。但是这两个自旋在左边和右边是成对纠缠的。然后让我们考虑这样一个系统。物理希尔空间是有限能量激发,比如在这样一个配置之上。假设我们有这样一个配置,然后让我们想象这种配置之上的物理学。物理希尔空间将是该配置上的有限能量激发。物理上,每当你翻转一个自旋,比如这里,考虑这对自旋。想象我们想要改变它们之间的纠缠。我们可以翻转它们之间的自旋,这将消耗能量。所以物理希尔空间对应于有限能量激发,意味着在物理希尔空间中我们只能翻转有限数量的自旋,这立即意味着物理空间不能在右系统的希尔空间和左系统的希尔空间中分解,在动态极限中,你有无限多个自旋。所以要明白这一点其实很简单,因为如果你想要一个张量积结构,也就是说,你必须能够形成右系统和左系统之间的一个产品态,而要形成产品态,就意味着右自旋和左自旋之间没有纠缠。但在为了确保左自旋和右自旋之间没有任何纠缠,你需要翻转无限多个自旋。因为它们是无限多个,这就导致无限的能量。所以,这种操作实际上不在你的物理空间内,这意味着你的物理空间实际上不能分解。这是一个启发式论证,但你可以用数学方法严格证明这一点。所以,这给你一个明确的例子:当你有无限量的纠缠时,相应的物理空间实际上不能在两个部分之间分解。尽管在物理上这是完全合理的,我们可以谈论左系统和右系统,作为子系统。

有很多例子,比如量子场论。那么,让我们考虑一个在一维格子上的一加一维量子场论。这里我只画了空间维度,所以这里是一些格点,想象一下我们分开,所以在每个格点上有一些自由度,比如一些谐振子。现在让我们想象将系统分为右侧系统和左侧系统。好的。右侧系统由这个分离点右侧的晶格点组成,左侧则由这个分离点左侧的晶格点组成。然后在典型的量子场论中,晶格上可能存在左右之间的纠缠。这里我画了一条虚线,这条红线表示左右之间存在某种纠缠。所以,左右之间也存在纠缠,比如更远的晶格点等等。现在让我们考虑连续极限,将晶格间距趋于零。那么在连续极限下,对于任何微小的段,自由度都是无限的。这些自由度相互纠缠,并且在这一点上,左系统和右系统之间存在无限量的纠缠。为了分解物理哈空间,我们需要考虑连续极限中的有限能量激发。这就是我们通常定义量子哈空间的方式。这意味着任何有限能量的操作,由于左和右之间存在无限量的纠缠,你无法将它们分离成乘积态。你可以解纠缠所有无限数量的自由度。那么这意味着物理哈空间不能被分解为与左系统和右系统相关的部分。这是一个例子,尽管存在无限量的纠探,但哈空间不能被分解。有任何问题吗?

观众提问: 这有可能吗?比如让能量在这种情况下依赖于长度,这样不能分解的条件就不会真的像是一个结果。

洪卢教授: 抱歉,再说一遍。是的。是的。我的意思是,如果我们让能量,当我们有彼此靠近的粒子时,也许我们需要的能量来纠缠它们就少了。是的。所以当你去到连续体 h 时,基本上几乎不需要任何能量。是的。这是有可能的吗?哦,好,好,好。这是一个非常好的问题。所以,所以你看啊,嗯,嗯,是的,让我们想象一下,嗯,嗯,嗯,这是一个非常好的问题。是的,让我们首先分析。好吧,嗯,嗯,首先分析,你有一个量子场定义的分析,我们处于系统的基态。好的,我们处于系统的基态,然后在基态中,这些自由度,例如,你可以做一个自由量子场理论,并且由于动能项,这些自由度它们都纠缠在一起。好的,它们在基态中都是纠缠的。在基态中,现在在 latis 上,你可以有激发态,其中左右系统不是纠缠的。好的,你只是在基态中打破所有纠缠,然后是的,使用能量来打破基态中的所有纠缠。然后你可以得到一些激发态,其中左边和右边是未纠缠的,确实在 latis 上你有一个因子化,左边和右边之间的 hub 空间。好的。但现在声称的是,对于系统在基态,现在你取连续极限,现在在基态的连续极限中,左边和右边之间存在无限多的纠缠。这仅仅来自于取基态的连续极限。实际上你可以严格地证明这一点。然后左边和右边之间存在无限多的纠缠。现在那些在 latis 中的操作可以打破左边和右边之间的纠缠以得到产品态,那些操作的能量在取 go 等于零极限时趋于无穷大。因为它们涉及到打破无限多个自由度的纠缠。所以那些操作在连续极限中消失,因为在连续极限中我们只希望保留高于基态的有限能量操作。所以这就是为什么连续极限和现在 hub 空间不再因子化。这是否回答了你的问题?

观众: 是的。是的。是的。是的。差不多。谢谢。

洪卢教授: 还有其他问题吗?好的,好的。所以现在,当 helper 空间的因子化不存在时,我们如何描述纠缠?因为你们记得我们通过写下波函数并说明波函数不能分解为左右状态的态来描述纠缠。好的,它们必须是左右状态态的叠加。所以在我们的教科书中,为了定义纠缠,我们某种程度上依赖于这种分解结构。好的。但是当分解不存在时,我们该如何处理?然后我们如何在时间中描述纠缠?所以,在这种情况下,例如在统计物理学或量子场论中,标准做法是引入正则化,比如引入一个格点间距。好的,人们引入一个格点间距,而不是考虑连续体,而是引入一个格点,然后在格点上计算纠缠,然后他们可以观察到,接着他们取连续极限,当然答案是无穷大,但在无穷大答案中,他们可以提取出一些有限的普适物理规律。好的,这就是标准做法。同样地,对于自旋链的例子,你可以简单地加上截止,考虑有限数量的自旋,然后让自旋数趋于无穷大等等。好的。所以,标准做法就是正则化你的系统,以便你有分解结构,然后尝试从中提取一些关于纠缠的普适信息。当然,这个程序相当笨拙,嗯,嗯,理想的是能够在这种系统中以内在的方式描述纠缠。是的,因为你可以很容易地想象,通过引入这种识别,你实际上会错过一些重要的物理学,这些物理学是这种原始系统的内在特性。所以,确实我们会看到这种情况。那么,那么我们会描述如何在更一般的情况下描述纠缠。

这带我们到了单变量代数。现在,让我首先给你一个非常简短的变量代数历史。冯·诺依曼在 1927 年,量子力学发现后的两年,是一个天才,嗯,嗯,是的,在 1927 年,他大约 24 岁左右,开始构建量子力学的数学基础。我们现代的量子力学概念,比如算子空间和所有这些密度算子,都来自变量代数。同时,当他在构建量子力学的数学基础时,很自然地想到,实际上非常自然地定义量子系统中的可观测量子代数,这后来被称为变量代数。他和他说,让我们考虑一些可被某些观察者访问的观测子集,然后研究这些子集,看看能否从中得出一些结论等等。是的。这正是数学家喜欢做的事情。好的。然后,在随后的几年里,特别是在 20 世纪 30 年代中期,他和莫里一起工作。当时莫里是一位刚从哥伦比亚获得数学博士学位的新人。然后,他们共同撰写了相当多的论文,大约四到五篇,发展了莫纳姆代数的基本理论和分类。莫纳姆代数是莫纳姆首先描述和定义的,特别是它们可以被广泛地分为三类:类型一、类型二和类型三。所以,莫纳姆本人曾寄予厚望,认为莫纳姆代数对物理学具有重要意义,将在物理学中发挥核心作用。但是,他本人没有亲眼看到这一天。他在 1950 年代非常年轻时就去世了,因此从 1970 年代起,纪念代数已成为一个广阔的数学领域。但从 1960 年代开始,一小群数学物理学家发现使用这个语言体积代数研究量子场论非常方便,于是他们发展了所谓的代数量子场论。尽管人们开始用纪念代数讨论量子场论,但这是一个非常小的领域,只有少数非常投入且优秀的人进行研究,因此它远非主流。在过去的 50 年里,一小群人一直在发展代数量子场论,并取得了许多有趣的结果,但这些成果并未引起主流量子场论研究者的注意。直到最近几十年,当人们开始思考量子场论、量子多体系统及量子引力中的纠缠问题时,才真正认识到纪念代数与纠缠之间的联系。因此,我主张纪念代数实际上是纠缠的语言,是描述纠缠的最佳语言。

就像群论是描述对称性的语言,单模代数则是描述纠缠的语言,嗯,所以是的,所以现在让我说几句话,什么是体积代数。体积代数非常自然地定义,所以让我们想象我们有一个量子系统,比如一个希尔空间和一些其他的东西,然后你可以看作用在这个希尔空间上的算子。好的。现在让我们看看一些算子的集合。例如,如果你是一些观察者,那么你有访问一些算子集合的权限,然后然后这个算子,然后然后然后你想要定义算子的代数,为了做到这一点,我们通常定义边缘的一些完备性,比如算子应该在某些运算下封闭,然后对于这个算子集合来说,非常自然的是,比如在厄米共轭下封闭,这意味着如果一个算子在集合中,那么它的厄米共轭也在集合中,然后然后它们在运算积下封闭,比如如果 a1 和 a2 在集合中,那么 a1 乘以 a2 也在集合中,是的,通过算子集合总是指算子的向量空间。好的,算符的超级位置当然也应该包含在集合中,所以我们可以也包括算符乘积,然后它定义了你的代数。最重要的是,它被定义为完备性的一个要求,即这个算符集合在矩阵元极限下应该是封闭的。这意味着以下几点。所以让我们考虑一些算符的集合。好的,这个代数 A 中的一些算符序列。现在让我们想象这个算符序列有一个极限。好的,在任何你的希尔伯特空间中的状态之间的矩阵元有一个极限。好的,到另一个算符。好的,一些其他的算符,它们收敛,比如说它们在任意状态之间的矩阵元收敛到另一个算符。那么在这种情况下,我们将定义它为这个序列的弱极限,称为算符序列的弱极限。然后这个代数是这样一个陈述,即这个代数应该在弱极限下是封闭的,这意味着如果 a 是序列 a_n 的极限,并且所有的 a_n 都在代数中,那么 a 应该在代数中。这是一个非常自然的要求,因为如果 a 是这些算符的极限,那么我们实际上可以使用 a 来使用 a,实际上非常接近这些算符的序列,当 a 非常大的时候。那么我们不应该 uh uh 所以通常物理测量无法区分它们,因此 a 是边缘的一部分是很自然的,而且使用矩阵元来定义极限也是非常自然的,因为那物理上是我们观察到的,然后现在所以所以这样的运算,这种运算的闭包定义了你的体积边缘。这是一个非常简单的定义,但实际上是一个非常强大的 uh,当然人们已经发展了一系列复杂的体积代数结构。结果它们具有非常丰富的物理和数学结构。但如果你看这个定义,这也是非常物理的 uh uh uh 非常物理的 uh uh uh uh 的,它也是一个非常横向的定义,我们可以将其视为一个子系统的定义。所以我们通常直观上通过子系统物理上通过子系统,我们只是想到可以访问的自由度的子集,我们可以操纵,我们可以进行测量,我们可以说执行操作等等。而这个莫纳代数正是这样一类非常轻的定义的集合,然后我们可以简单地定义子系统为一个体积代数。好的,我们可以简单地通过将它们定义为代数而不是使用希尔空间分解来扩大我们对子系统的定义。

所以,我们已经超过一个小时了,也许我们可以有一个五分钟的休息,好的,所以,u yeah。

所以,你看体积代数的定义,似乎我们可以非常轻松地将其定义为一个子代数,并且可以用它来定义一个子系统。换句话说,我们可以说一个子系统是一个体积代数,反之,一个体积代数也可以被视为一个子系统。

观众提问: 那么,关于数量,比如一个子区域中的算子数量可以是无限的,也可以是有限的。所以,它们可以是有限的。那么,这个体积代数...

洪卢教授: 嗯,我会提到,嗯,嗯,嗯,我认为我会在接下来的幻灯片中回答这个问题。如果那没有回答你的问题,请再次提问。

所以,体积代数,比如,m rand 体积代数,根据其投影算子的性质进行分类,我们将无法详细讨论这个分类。只是说,它们可以分为类型一、类型二和类型三。特别是,如果 a 是一个类型一的体积代数,那么你可以证明,必须存在一个希尔空间的高斯分解。换句话说,每当你有类型一的体积代数时,就存在一个保证希尔空间的分解。好的,保证了中心空间的分解。在这种情况下,你只需将其简化为基于中心空间分解的子系统标准定义。所以,所以在标准情况下,当你有中心空间的分解时,我们就说 h1 定义了一个子系统,这等价于说 h1 中的所有算子,当你定义 h1 为子系统时,其希尔伯特空间中的所有算子及对应的所有物理操作,这等价于我们定义的子系统的定义。这意味着体积代数作为子系统的定义,实际上恢复了标准的教科书定义作为特例,代表了一个真正的良好的一般化标准定义。然后有类型二和类型三的情况,适用于中心空间分解不存在的情况,适用于更一般的情况。当然,每当有中心空间分解时,它总是类型一。所以,这是当且仅当。所以,当你有类型一时,你总是有中心空间分解,反之亦然。

So so this uh uh volume algebbras say they crudely uh uh classified into say different types and within each type they can be further classified. Okay for example uh in the type one you can classify into type 1 n. So type 1 n essentially just corresponding to you have a n dimensional hersace say say this h1 for example you say if a is type 1 n and that means in this case the h1 is a n dimensional hospace or finite dimension okay and then a in this case would be just uh is all the operators is the uh uh on this n dimensional uh uh finite n dimensional vector space. Then of course a is just the matrix algebra of n m n m n m n m n m n m n m n n n n n n n n n n n n n byn n and then in this case the a is just a finite dimensional vector space. Okay. So uh so this is example which this algebra can actually be a finite dimensional vector space but in general if you view this a as a vector space it's a it's infinite dimension okay but but in some special cases like this type one y case it's a finite dimensional vector space and you can also have the say suppose you can also have the case which h1 is infinite dimensional and then of course a will also be infinite dimensional as a vector space and then in This course is called I infinity. And similarly uh uh yeah and then one can also further classify type two and type three.

例如,在类型二中,对应于类型二无穷和类型三,类型三也分为类型三零、类型三 lambda、类型三一,lambda 是一个介于零和一之间的数。好的。所以我不去讨论那些分类,你只需要知道它们是由代数本身的某些进一步属性分类的。好的。代数本身的泛化属性。好的。好的。顺便问一下,这个回答了你之前关于代数两侧的问题吗?

观众: 是的。

洪卢教授: 好的。那么现在让我们回到我们之前讨论的问题和例子。让我们回到这个纠缠自旋链。记得在那里我们有这个无限链,两个无限链是成对纠缠的,所以现在让我们想象每个对纠缠如下。好的。所以你有两个自旋,纠缠可以写成如下形式:一个由某个角度 theta 表征的纠缠态。这是两个自旋之间的归一化纠缠态,比如当 theta 等于零时,两个是未纠缠的;当 theta 等于 pi/4 时,这两个自旋在时间编码中成对最大化;然后在零和 pi/4 之间,你在这两个自旋之间有一些部分纠缠。在这种情况下,我们也可以横向定义与左系统和右系统相关联的子系统的代数,即左系统上的运算代数和右系统上的运算代数。是的,你可以在左边翻转自旋,然后相应地可以在右边翻转自旋,这对应于一个 r。好的,所以这些运算的集合是一个 r 和左。再次提醒,物理运算被定义为具有有限能量的运算。所以它们只能翻转有限数量的自旋。结果表明,当θ等于π/4 时,这个代数意味着每一对自旋都是最大纠缠。结果表明,它们对应于一种特定的 II 型代数,而不是 I 型。所以,你只需要知道这不是 I 型。这是一种 II 型代数,它表征了成对自旋之间的最大纠缠结构。

现在,如果你考虑一个介于零和 pi/4 之间的某些一般 theta,好的,非零 theta 介于 pi/4 之间,然后这两个自旋是纠缠的,但不是最大纠缠。那么在这种情况下,对于每个 theta,它们对应于不同类型的三种合格的。所以这个 A 和 A 对应于类型三的 lambda,每个 lambda 对应于不同的 lambda,这个 lambda 是不同的,并且由正切平方 theta 给出。这意味着对于每个不同的 theta,你得到一个不同的类型三代数。现在我们看到这个代数的力量。传统方式下,我们只能说两个自旋链是无限纠缠的。但不同的 theta 对应于不同的纠缠结构。当 theta 是 pi/2 时,它们是最大纠缠的。对于不同的 theta,纠缠是不同的,它们有不同的纠缠结构,这些不同的纠缠结构实际上是由代数的类型捕获的。所以对于最大纠缠,我们看到类型一,然后对于每个不同的 theta,你可以分配一个不同的类型三的边缘。所以,所以,所以我们可以说,体积代数的分类实际上提供了量子系统纠缠模式的分类。好的。而且这种分类在标准的语言或公空间分解等等或或或纠缠熵中是不可用的。

所以,所以现在让我们回到这个量子场论子区域量子场论的例子。所以之前我们提到,如果你能看到一加一维量子场论,当你把它们分成左和右区域时,再次哈伯空间不能在连续极限中根据左和右分解,在连续极限中再次因为无限量的纠缠,但我们仍然可以关联左和右的操作代数。所以操作代数在左和右都是明确定义的,所以它们定义了一个和右,现在我们可以用它们来定义子系统,结果在这种情况下,a 和 r 之间的无限纠缠给你一种不同类型的操作代数,叫做类型 3-1。所以这表明这里的纠缠结构实际上与自旋链的纠缠结构不同。事实上,这种类型 3-1 实际上是一个普遍的结果。你可以很好地展示,并且严格地从数学上证明,在正确的量子场论中,任何一般开区域的代数总是类型 31。好的,所以这些都是我们考虑的半空间的特殊情况,但考虑任何一般开区域,在正确的量子场论中,与该区域相关的代数,你可以定义一个子系统,这个代数总是类型三。并且你可以进一步论证,这种类型结构实际上与时空的连续性和相对论理论相关的因果结构有关。是的,因为你有相对论理论,所以存在因果结构。结果这些结构需要量子场论具有非常特定的纠缠结构,而这种结构是由类型三产生的。嗯,所以在这种情况下,这种类型三绑定结构反映了连续时空和宇宙结构的纠缠结构,对吧?所以记住这一点,即使我没有定义什么是类型 31 代数,你们只需要知道存在这样一个代数,叫做类型 31,它实际上可以用来反映时空连续性和宇宙结构的纠缠结构。这是一个例子,说明冯·诺依曼代数的分类为量子系统中的纠缠模式提供了分类。所以我也应该强调,冯·诺依曼代数的类型只提供了对子系统纠缠结构的粗略表征。就像你们可以分类实数代数或李群一样,那种提供某种表征,但最终的纠缠结构可以从冯·诺依曼代数的性质中通过更强大的代数工具,比如模流和其他理论中提取出来。冯·诺依曼代数理论是一个非常庞大的数学主题,有很多数学结果,可能对理解物理系统有用。

所以,关于使用体积代数来理解纠缠结构的研究,目前还处于非常初步的阶段。就像你可以利用代数的许多详细结构来理解系统的对称性一样。这个陈述非常普遍,不依赖于你的理论是相互作用的还是自由的。这里重要的是连续性和因果结构是由相对论结构要求的。

观众提问: 你有没有特别推荐我们阅读的参考书?

洪卢教授: 这是一个基本结果,即与任何开放区域相关的相对论量子场论的忠实代数是类型 III1,这是代数量子场论中的一个基本结果,它已经被严格证明。关于这个陈述,即它们折射时空的连续性和因果结构,更像是对这些非常数学结果的物理解释。谢谢。嗯,我当然可以提供原始数学结果的参考,对于 Witton 也对该结果进行了评论,我本人也在写一篇评论,应该很快就会完成,这也进行了讨论。

观众提问: 那么区分类型二和类型三的主要思想是什么?类型一是 H 空间可以分解,但类型二和类型三之间有什么基本区别。

洪卢教授: 在类型二的情况下,可以为代数定义一个迹,称为迹的操作。记得当你有一个 H 空间时,如果 a 是某个 H 空间的代数,那么 H 空间本身自然为该代数的算子提供一个迹。在类型一的情况下,你有一个很大的迹,计算状态,如果有一个投影算子,这个迹将计算投影的整数维度。所以,对应于情况二的是,即使你没有因子化希尔空间,但你仍然可以定义一个迹,并且这个迹具有非常有趣的性质:如果你使用迹来定义投影算子的维度,那么这个维度可以是一个实数。因此,这个迹能够将向量空间的维度推广到连续的实数,这就是类型二和类型三的特殊之处,因为类型三中不存在这样的迹。本乌玛本人对类型二抱有很高的希望,正是因为类型二中的迹结构使得类型二代数更像这样:想象一下,在类型一的情况下,你有希尔空间,可以谈论其维度,维度总是整数或无穷。但在类型二的情况下,你实际上可以谈论实数的维度,这更像是将维度的概念推广到实数。这就是类型二的特点。但在类型二三中,这种结构不存在,没有迹,因此你不能谈论维度。所以,这回答你的问题了吗?

观众: 是的,谢谢。

观众提问: 其他问题,在这个自旋链的情况下,θ 等于 π/4 是否应该被视为从类型 3₁ 过渡到类型 2₁ 的转变点?

洪卢教授: 实际上不是。对于任何不等于 π/4 的 θ,公式 λ 等于正切平方 θ 都适用,但当 θ 等于 π/4 时,情况会发生变化,变成了类型 2₁。此外,当存在最大纠缠的情况时,这些代数会具有特殊的性质,这些性质在一般的 sitta 中并不存在。这些特殊性质会导致迹结构,从而使系统变为类型 2。是的。好的。谢谢。

洪卢教授: 好的。非常好。

第三部分:时空涌现 所以,现在我们可以终于谈论关于时空的涌现,使用单代数,并且再次让我们回到这张关于反空间、引力和边界理论相关的图片,我们想要理解如何盒子时空从边界自由度在角度趋于无穷大极限中涌现出来。再次强调,在盒子中的有限 n 只是时空的波动,时空波动,没有几何概念,然后几何概念所有这些事情应该在我们采取角度趋于无穷大极限时涌现出来。在半经典极限,即 gutton 趋于零极限,并且在我们谈论时空涌现之前,我们必须首先说明我们指的是什么意思。当我们说时空涌现时,我们不仅指时空本身,包括所有几何概念,比如矩阵、因果结构、不同子区域等等,还包括所有在时空上的物理。所以在半经典极限中,所有物理在时空中的描述当然只是由量子场论在曲线时空中完成。那么,我们所说的时空涌现究竟是什么意思呢?也就是说,在这个极限下,我们不仅应该看到广义相对论的涌现,还应该看到量子场论在弯曲时空中的涌现,以及传统思维中对时空涌现的看法。嗯,人们通常认为的是,时空的涌现首先是矩阵的涌现,然后是长纳的涌现,接着是矩阵,并说使爱因斯坦作用量加上量子物质的长纳在时空中。好吧。确实,这是人们可以思考的关于时空及其物理学的一种方式。这是从我们通常的长纳形式或路径积分形式所说的物理学中得出的直观理解。好吧。

但是在这个公式中,当你只是写下 lranging 或一个通用矩阵时,许多重要的物理学并不明显。例如,通过局部物理学,我们说你在时空空间中定义一个开放区域,并询问该区域内的所有物理操作。正如我提到的,这将定义一个子系统,以及局部物理学和煤结构纠缠结构等等,这些都不明显。如果我只是给你一个作用量,并给你这个作用量的过去积分,那么这是因为所有这些物理学,局部物理学、煤结构、纠缠结构,这些概念都与子系统有关。所以为了理解涌现,时空是那些物理学明显,然后我们需要有另一种方法,即子系统涌现,这是明显的。确实有另一种方法来思考时空的涌现,即通过考虑你时空所有开放区域的所有物理操作的集合,它们是关系。所以,这其实也是一种方法,呃,呃,这也是所谓代数量子场论的起点。我们不从拉格朗日量开始,而是问:在你的时空中,如何表征那些开放区域内的物理操作及其关系?好的,例如,让我们考虑一下在 AdS 时空的半经典极限下,我们考虑三个子区域:01、O23,假设当我们表征它们的关系时,我们说 01 是 O2 的子集。这意味着 O1 中的所有物理操作都包含在 O2 中的所有物理操作中。好的。然后 01 和 O3 是类空分离的。这意味着它们中的物理操作是可交换的。当然,这反映了 coal 结构。所以,这就是边缘断 QFT。这种代数方式思考时空的涌现,然后涉及所有这些不同区域内的物理操作及其关系。好的。然后我们理解了时空的涌现。如果我们理解了所有开放区域内所有物理操作的涌现及其关系。事实证明,这种理解时空涌现的方式在 holographic duality 或 AdS-CFT 关系的背景下非常自然。

所以,我和我以前的学生的诺·劳埃德·霍沃提出了一种方法,称为子区域子代数对偶性。其核心观点是:在角度趋于无穷大的极限下,每个盒子中的子区域在引力一侧实际上与一种涌现的类型 3 冯·诺依曼代数对偶。边界上的类型 3 冯·诺依曼代数则与之对应。举个例子,我们再次考虑角度趋于无穷大的极限,这是一个半经典极限在图形一侧。假设我们考虑三个区域 01、O2 和 O3,然后与每个区域相关联,比如对于 01,我们关联一些类型 3 冯·诺依曼代数在边界上。类似地,对于 O2 和 O3 也是如此。这个代数捕捉了所有物理操作在哪个区域中,比如 A1 就捕捉了 O1 中所有的物理操作。这样我们就能理解时空的涌现以及这些子区域之间的关系。A1 在以下意义上是涌现的:这个代数要么只在角度趋于无穷大的极限下出现,要么是由于这个极限中的无限纠缠而产生的。再次强调,类型 3 冯·诺依曼代数是必要的,以捕捉局部物理和 coal 结构。好的,记得我们之前说过,31 结构可以用来表征连续结构和煤炭结构,确实,这里的 31 结构并不用于捕捉树皮局部物理和煤炭结构。然后,关于这个子区域子代数对偶性,例如,01 是 O2 的子集这一事实,可以在边界侧被捕捉到,即相应的代数 A1 是 A2 的子集,而 O2 和 O1 虽然三者都是空间分离的,但它们在边界上的相应代数是相互交换的。这样我们就可以在 B 中用代数公式来表述煤炭结构,然后 B 中 O1 的纠缠结构可以反映到 A 的 31 结构中。

观众提问: 所以,你有什么问题吗?我想知道这些体区域是如何最终每个都有一个有意义的边界,我们可以在其中研究相应的代数的。哪个区域有对偶代数?我的问题是,比如,如果你在 01 中有一些操作,然后那个操作,我们可以找到一个在 A1 中的对应元素,它在 01 中执行那个操作。好的。是的。嗯嗯嗯,这是你问的问题吗?

观众: 是的。是的。是的。是的。是的。是的。

洪卢教授: 只是意味着在 O1 中可以执行的任何操作,我们都有一些在 A1 中对应的元素来实现它。是的。所以,我们所说的这个区域是由这个代数描述的,然后所有这些区域之间的关系可以通过边界理论上的代数关系来捕捉。好的。所以现在让我给你举一个这种思考方式的强大例子的例子。那么,让我们考虑你的双重态的和。那么现在,为了简单起见,让我用平面来表示边界理论,用这个平面来表示它,因为它很容易画。好的。现在,让我们考虑两个你的边界系统的副本。所以边界你有让我们称它们为 R 和 L,两个边界系统的副本,现在让我们假设我们把它们放在纠缠态中。这个虚线意味着我们把这两个系统放在纠缠态中。所以你的全希尔空间是右 CFT 的希尔空间。右边界系统,我称之为 HR,以及左边界系统的希尔空间,我称之为 HL。当然,整个系统有一个张量积结构,因为每个系统当然都有它自己的希尔空间。现在,我考虑这个纠缠态,它们纠缠的方式被称为热姆菲尔德双重态。

在您双重状态的和中,L 和 R 系统以非常特定的阵列纠缠在一起,以至于单独看每个子系统时,它看起来像是热学的。好的。嗯,嗯,比如说如果您追踪出另一个系统,如果我仅通过追踪左系统来观察右系统中的可观测量,那么右系统看起来像是热的,反之亦然。所以热场双重状态是一种强大的方法,可以用标准的量子力学语言来描述热系综。是的。使用纯态。好的。所以现在我们可以看看,比如说,最后的边缘,现在让我们看看左系统的操作边缘。好的。所以让我们专注于左系统的操作边缘。类似地,您可以为右系统这样做。所以现在让我们首先考虑有限 n。这些只是普通的量子力学系统,有一些操作代数。好的。您有一些希尔空间和 b l,它们都在这个希尔空间上作用。但我们感兴趣的是更大的极限,即时空几何在更大的极限中是如何出现的。所以在有限端,这些是类型一代数,因为它们只是对某个希尔空间进行操作边缘。所以我们感兴趣的是角度到无穷大的极限,所以我们将这个边缘的包含极限称为 X L。好的。当您取角度到无穷大的极限时,它类似于我们之前讨论的连续极限。所以,当您取连续极限时,某些算子在有限 NC(近晶格理论)中的对应算子在连续极限中对应于无限能量操作,然后在连续极限中消失。类似地,当我们取角度到无穷大极限时,某些操作可能对应于无限能量,然后在无穷大角度到无穷大极限中消失。因此,我们需要仔细检查极限,然后只考虑那些具有良好定义极限的算子。我们标记那些具有良好定义极限的算子为 XL。

结果表明,在角度到无穷大极限下,系统的行为实际上取决于温度。当温度足够低时,L 和 R 系统之间的纠缠实际上在角度到无穷大时保持有限。所以,是的,您记得这是一个热场双态,您通过要求每个系统表现为某种温度来指定纠缠。所以,本质上,温度的值决定了两个系统之间纠缠的边界。在低温下几乎没有纠缠,而当角度趋于无穷大时,L 和 R 之间的纠缠实际上是有限的。在这种情况下,因为纠缠是有限的,所以这只是一个普通的情况,你有一个有限的纠缠量,只需要考虑类型一。因此,这意味着在无限动画空间中仍然可以分解。回想一下,每个边界系统都与 ADS 对偶。现在你有两个边界系统,通过某种旧纠缠对偶,自然地,这只是对两个 ADS 大对偶。这两个 ADS 对偶纠缠。所以在足够低的温度下,当边界系统之间所有的纠缠在角度趋于无穷大的极限下,重力边界描述为由两个 ADS 时空组成,并且这两个对偶纠缠。

现在,让我们看看在足够高的温度下。结果是在足够高的温度下,L 和 R 系统之间的纠缠实际上是无限的。如果你计算 L 和 R 之间的纠缠熵,当角度趋于无穷大时,它实际上会发散。所以在这个极限下,我们再次可以考察在这个极限下操作代数会发生什么。好的。当纠缠变得无限时。所以现在你可以证明在这种情况下,代数变成类型 III。好的,这个代数变成类型三。这就是我之前幻灯片中提到的涌现类型三代数。好的。在这种情况下,与右系统相关的代数实际上现在不再是类型一代数,而是在角度无穷大极限下变成类型 III-1 代数。那么这意味着实际上,完整系统的 Hilbert 空间不再可以分解了。好的。这意味着在这个角度无穷大极限下,尽管看起来如此,但你不能再有一个 Hilbert 空间,完整系统的 Hilbert 空间不能再分解为左系统和右系统的乘积。好的,在角度无穷大时。那么在引力方面会发生什么?结果在引力方面,而不是有两个不连接的 AdS,现在有一个虫洞连接这两个边界,现在它们通过虫洞在 AdS 中连接。好的。所以 AdS 现在,这个 Hilbert 空间的不分解性在引力方面通过一个在 AdS 中出现的虫洞反映出来。好的。这两个对应于两个想法的宇宙现在通过虫洞在 AdS 中连接。好的。所以你可以画一个示意图来表示这种关系。所以这是一个标准关系,即在足够高的温度下,两个边界系统在 AdS 中的双重态实际上是 dual to 一个内部黑洞。好的。并且两个边界,即边界系统的两个副本,在黑洞几何中对应,它们通过这个虫洞在盒子中连接。好的。多年来,这个图景中一直存在一个谜团,因为右侧的两个系统是可约的,但在左侧它们通过这个盒子中的虫洞连接,所以它们是不可约的。这就是所谓的可约性谜团。好的。但是通过考虑边界代数的性质,特别是它们的涌现性质,我们可以解释这个可约性谜团,并且与此识别相关联的还有很多谜团。所以,一个谜团是,另一个谜团是,这个边界图景中的视界从哪里对应。好的。边界有一个时间 t,它可以继续到盒子中,对应于交换时间,但交换时间在视界处结束。t 减去无穷大无穷大,然后然后然后我们如何在边界理论中描述这个视界的涌现。好的。而且,我们如何描述这个未来的区域呢?因为在树皮上,因为时间,边界时间的推断在视界处停止,我们实际上可以把东西发送到未来区域,它们可以在未来区域完好无损。但是边界系统只是对应于纠缠系统,它们之间没有相互作用。所以这也被称为因果悖论。而且它们不仅在树皮上通过虫洞连接,还通过这个未来区域因果连接。我没有时间解释如何解决这些悖论,但快速提一下:这个 F 区域和未来区域的定义需要描述关键时间,它可以从比率时间延伸到关键时间,帮助描述未来区域。关键时间可以证明在边界 CFT 中精确地涌现,正是从这个涌现的类型缠绕结构,并通过半边模流。所以啊,所以我就不能 uh 不能 uh 嗯,我不会有时间来描述这个 uh 的结构,但结果这个三型结构给你一些额外的结构,叫做 halfsid 在模块流中,这可以用来解释 crucal 类似时间在重力侧的出现,然后那可以用来描述如何,比如说,如何在 R 区域操作,然后你可以直接运输它,进化它到未来区域。好的。通过这个 crucal 类似时间的进化,特别是在你穿过视界时,进化将表现出某些非解析结构,然后给你视界在边界理论上的特征。好的。

所以总结一下,我们认为在角度无限极限中,边界系统变成无限纠缠,这导致出现三型结构,也导致盒子时空和其中的所有物理操作。我使用这个场双例子来说明这一点。

观众提问: 是的,我有一个问题。你说这个虫洞图景只在高温下出现。这个虫洞和无虫洞之间的转变是否作为温度的函数被理解?如何从一个图景转变到另一个图景?

洪卢教授: 是的,这个转变是很好理解的。从马的不同角度来说,这个问题已经相当清楚了,但从代数角度来看,仍然不完全理解如何在低温下从第一型代数过渡到 31 型代数,在足够高的温度下。这种过渡是如何发生的?嗯,嗯,我认为还没有完全理解,但过渡本身可以从许多其他角度来理解,例如通过欧几里得路径积分等等,从这些角度来看,这个问题已经相当清楚了。

观众: 是的。好的。谢谢。

洪卢教授: 是的。是的。事实上,存在过渡这一事实是众所周知。从低温到高温,你的纠缠变得无限,这是众所周知的,例如你可以做欧几里得路径等等,但真正的问题在于代数是如何过渡的,黑洞是如何出现的,我认为,嗯,嗯,那仍然没有完全理解。

观众提问: 是的,是的,当你说它被理解时,是指在一般设置中还是像 JT 引力或非常精细调谐的低维模型这样的特定情况下,对吧?

洪卢教授: 是的。我只是说在边界理论中,对于一般的矩阵量子系统,过渡的存在是普遍的。所以你可以有非常一般的论证,表明在 nian 极限下,你将会有这样的过渡。当然,如果存在相互作用的理论,详细过渡很难确定,但过渡的存在可以很有说服力地论证。

观众: 是的,谢谢。你在进行一些乌克兰计算,对吧?

观众提问: 我想我对因式分解难题的理解有误。因为在高于高温的高温极限下,边界代数会变成类型 3-1,所以它们不会因式分解。那么难题是什么?如果边界代数和体积中的代数都不因式分解,这又是什么难题呢?

洪卢教授: 哦,是的。之前我们并没有这个图景,对吧?之前我们只有这个图景:盒子是连接的,没有因式分解,但边界是因式分解的。所以,所以,所以这个谜题的解决方案是什么呢?呃呃是的,这张图片早在 2001 年就已经为人所知了,但是理解这种边缘黑色语言只是在最近几年才逐渐被理解,对吧,我明白了,所以好吧,这个谜题在于,主体是连接的,而边界是不连接的,它和边界代数或主体代数的分解没有任何关系。抱歉,我是说分解之谜和边界代数、主体代数的分解无关,左边代数和右边代数,不,它们在边界理论中是天真地在边界中给出了这个图,那么代数有一个分解,但在盒子中没有这样的分解,这就是之前的谜题。但现在我们通过说确实在更大的极限中,即使边界代数也不能被分解来解释它。

观众: 哦,我明白了。好的。好的。好的。好的。

洪卢教授: 是的。你可以定义 AR 和 A,对应于右系统和左系统的代数。但是它们相关的孔空间没有分解。是的。以前,如果你只是看这个天真的图,它们相关的孔空间有一个分解,这似乎与 B 图矛盾。是的。好的。谢谢。

总结与展望 对吧,所以,所以,所以我在,是的,时间快用完了。所以,所以是的,我有一些简短的哲学评论,我可以做或者不做。嗯嗯,所以,这个子区域和子代数的对偶性,在数学中其实很像一种叫做 Gon 对偶的概念。数学中的 Gon 对偶是这样的:如果你想定义一个拓扑空间,不必尝试用开集和它们之间的关系来几何地描述它,而是可以通过考虑该空间上的函数代数来等价地定义它。这最终提供了使用代数来定义拓扑空间的等价方法。通过观察边缘函数,实际上你可以表征所有的几何信息。Gon 对偶已被推广,特别是被用作构建长交换几何概念的基础。因此,在常规空间中,代数自然是可交换的,但若考虑非交换代数,则是对传统几何概念的一种推广。所以,这种非交换几何的定义便由此而来。这无疑是数学领域的一大课题。从哲学角度看,子区域子代数对偶性可视为伽罗瓦对偶性的重大延伸。通过边界代数在更宏观的尺度上描述时空的涌现,我们不仅运用这些代数来阐释几何的起源,还涵盖了该时空及几何中的所有物理现象。这种代数语言为我们提供了一个通用且灵活的框架,用以探讨时空与物理。特别地,它甚至可能适用于弦论或量子引力领域。记得我提到,这种几何图景仅在半经典极限下有效,即我们无法分辨弦,或未出现显著的量子引力效应。但在弦论或量子引力领域,传统几何概念已不再适用。因此,这种代数语言或许能提供一种途径,将理论延伸至这些领域。

嗯,我们确实有一些论文尝试做这个。是的,很好。所以,利用这个操作代数来理解量子引力,也为理解许多其他问题提供了新的工具。例如,有许多其他研究,让我快速提一下。所以对纠缠熵有了新的认识,对广义熵也有了新的理解,而且可以用来推广我之前提到的虫洞图,变成一种叫做代数等于 EPR 来描述时空连通性的涌现,以及弦状黑洞等的公式。好的,而且可以用来描述一些量子任务的增强等等。总之,所以有许多问题,而且他们已经有很多成果。

所以,最后让我非常快速地提一下。哈斯空间在量子力学中扮演着基本角色,但在量子引力中,有迹象表明它实际上不是基本的。好的,在量子引力中,我不会在这里描述,但有很多迹象。所以,它实际上是一个直接概念。所以,也许代数方法是一种更基本的方法来思考量子引力。所以,希望我们离它不远。好的,谢谢。