从经验到原理的飞跃

——试答杨立坚教授之问

一、问题

今天《概率论沉思录》第11章(姬扬教授领读)的讨论环节中,清华大学统计与数据科学系的杨立坚教授提出如下问题:

我一直有个问题,任何一个数学或者物理模型中的量都是通过测量来确定的,而测量就有误差,这样原来的物理定律就不再是一个精确的等式,如何理解这个精确的等式和实验结果之间的关系?

参见: https://www.koushare.com/live/details/43739 (2h52′28″)。

这不仅是一个困扰了很多人的问题,也是一个引人入胜的问题,物理学基本定理的创立者无不关注这个问题,如牛顿、爱因斯坦、温伯格、杨振宁,等等。例如,1989年,温伯格提出过如下问题:我们对一个量子系统进行测量的时候,所获得的结果不可能得到精确地符合薛定谔方程:

$$ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi $$

不妨对薛定谔方程进行微小修改:

$$ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi+\epsilon|\psi|^{2}\psi $$

其中 $\epsilon$ 是一个由实验解决的小量,以便更好地符合实验结果。当然,温伯格的建议立即有人响应,于是乎有人去测量了氢原子的光谱,并给出了 $\epsilon$ 的一个上限(无量纲化之后):

$$ \epsilon<10^{-6} $$

但是,温伯格的猜测是错误的。这一点,温伯格后来也公开承认了错误。

二、从实验如何到原理，没有直接通道

这是爱因斯坦最珍视的思想之一。在他去世前三年,给他一生的朋友索洛文(少年时期 “奥林比亚科学院“的三位成员之一)的信中,有一段非常明确的话,似乎专门为了回答人们的问题。答案如下:实验结果只能得到一些列的结果{s},但是,从实验结果{s}到达物理原理即物理学的公理系统A,没有逻辑通道!二者之间的通道只有一个: 自由创造(free invention).

关于思维同经验的联系问题

————1952年5月7日给M. 索洛文的信

[图示]

(1) 直接经验E是已知的。

(2) A是假设或者公理。由它们推出一定的结论来。从心理状态方面来说,A是以E为基础的。但是在A同E之间不存在任何必然的逻辑联系,而只有一个不是必然的直觉的(心理的)联系,它不是必然的,是可以改变的。

(3) 由A通过逻辑道路接导出各个个别的结论S, S', ... S, S', ...可以是一种体现。

(4) S然后可以同E联系起来(用实验验证)。这一步骤实际上也是属于超逻辑的(直觉的),因为S中出现的概念同直接经验之间不存在必然的逻辑联系。

但是S同E之间的联系实际上比A同E的关系要不确定得多,松散得多(比如,狗的概念同对应的直接经验)。如果这种对应不能可靠无误地建立起来(虽然在逻辑上它是无法理解的),那末逻辑机器对于“理解其理”将是毫无价值(比如,神学)。

这一切的中心问题就是思维领域同E的直接经验之间的那条存在的有问题的联系。

为德布罗意纪念册而写的文章将由旁边的人译为法文。其内容对许多人来说,将是一路最坏的异端邪说。

[下方文字]

一种理论可以用经验来检验, 但是不存在从经验通往理论建立的任何通道。

这个思想,也被他写进了他自撰的”讣告”中(1946年)。

现在,大家都知道,科学不能仅仅在经验的基础上成长起来, 在建立科学时,我们免不了要自由地创造概念,而这些概念的适用性可以后验地(a posteriori)用经验方法来检验。这种状况被前几代人疏忽了,他们以为,理论应当用纯粹归纳的方法来建立,而避免自由地创造性地创造概念。科学的状况愈原始,研究者要保留这和幻想就愈容易,因为他似乎是个经验论者。直至十九世纪,许多人还相信牛顿的原则 “我不作假说”(hypotheses non fingo)—————应当是任何健全的自然科学的基础。

近来,改造整个理论物理学体系,已经导致承认科学的思辨性质,这已经成为公共的财富。

他系统地论述他的思想,在一篇论文中,1934年的《理论物理的方法》(On the Method of Theoretical Physics)。我觉得这算非常哲学的文章了,为此我专门请教过哲学家刘闯教授,他说,这篇文章尽管思想深刻,却算不上正统的哲学文章。

杨振宁不用“自由创造”,他喜欢使用的另外一个字“猜”。关于库仑定律的建立,他说: “我曾经把库仑的文章拿来看了一看,发现他写出的那个公式同实验的误差达到30%以上。估计他所以写这个公式,一部分是猜出来的,猜测的道理是因为他已经知道了牛顿的公式。我所以要和大家讲这一点,是因为在所有物理和数学的最前沿的研究工作,很大一部分力量要花在猜想上。”

无论“自由创造”,还是“猜”,都说明了一点,从实验结果到达物理原理,没有逻辑通道。

三、从原理到实验，检验都是间接的

物理学的原理是不能直接检验的,即使库伦定律也是如此。例如,从实验直接检验的角度,平方反比力可以引入一个小的修正:

$$ F=\frac{1}{4\pi\epsilon{0}}\frac{q{1}q_{2}}{r^{2+\epsilon}} $$

对这个修正的排除来自“遥远”的实验,是这个修正会使得光子带有质量。而光子带有质量会动摇物理学的基础,和宇宙观测也不符合。

对温伯格对薛定谔方程引入的小修正的彻底否定,也是来自“遥远”的实验结果。小修正允许进行超光速通讯,这会导致因果性的破坏,和现代物理学结果直接矛盾。

如果我们做一个现实的物理学的实验检验牛顿第二定律,大概率是如下结果:

$$ F=ma+\alpha v+\beta\frac{da}{dt}+\cdot\cdot\cdot $$

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 等都是为了拟合实验而引入的参数。牛顿第二定律因此就不成立了吗?非也,引入 $\alpha$ 和 $\beta$ 等参数的前提是牛顿第二定律F=ma成立,而且物理学实验能通过控制变量而使得能清晰地说明 $\alpha$ 和 $\beta$ 等的来源,即对 $\alpha$ 和 $\beta$ 等参数具有精确的可控制性和可解释性。一旦出现了对 $\alpha$ 和 $\beta$ 等参数的不可控性或者不可解释性,物理学发展的黄金期到了,是引入新的理论的时候了。

物理学基本理论还有一个来自内部的检验,含自洽性,对称性,基本物理量的不可直接检验性(例如熵和波函数),等等。

四、结语

一方面,物理学必须用来指导实验,而且必须要有实验的检验,这是主要矛盾。另一方面,物理学的原理不是唯象理论,既不能从实验结果中通过归纳推理而直接得到,也不能直接检验,这是次要矛盾。