量子哈密顿模型：混合量子态生成的新纪元

1. 量子哈密顿量基模型 (Quantum Hamiltonian-Based Models, QHBMs) 的核心思想与结构

• 生成式量子神经网络模型： QHBMs 是一种新型的生成式量子神经网络模型，旨在高效地分解经典和量子关联的学习任务，从而最大化经典和量子处理器的效用。
• 混合变分学习范式： 它建立了一种量子-概率混合变分学习的范式。
• 结构： QHBMs 的核心结构是将一个“简单”（即量子计算上易于准备的）参数化潜在混合态 $\hat{\rho}_\theta$ 通过一个酉量子神经网络 $U(\phi)$ 转换为可见混合态 $\hat{\rho}_{\theta\phi} = U(\phi)\hat{\rho}_\theta U^\dagger(\phi)$。
• 模块化哈密顿量： 潜在分布 $\hat{\rho}_\theta$ 被构造为某个哈密顿量 $\hat{K}_\theta$ 的热态形式：$\hat{\rho}_\theta = \frac{1}{Z_\theta}e^{-\hat{K}_\theta}$，其中 $Z_\theta = \text{tr}[e^{-\hat{K}_\theta}]$ 是模型配分函数。可见态 $\hat{\rho}_{\theta\phi}$ 则是相关哈密顿量 $\hat{K}_{\theta\phi} = U(\phi)\hat{K}_\theta U^\dagger(\phi)$ 的热态。这与经典能量基模型 (EBMs) 有直接的类比。
• 熵不变性： 潜在态和可见态的冯·诺依曼熵在酉变换下保持不变，即 $S(\hat{\rho}_\theta) = S(U(\phi)\hat{\rho}_\theta U^\dagger(\phi)) = S(\hat{\rho}_{\theta\phi})$。这在训练过程中非常有用，因为潜在态熵的有效计算或估计可以提供可见态熵的信息。

2. 变分量子热化器 (Variational Quantum Thermalizer, VQT) 算法

• VQE 的推广： VQT 被视为变分量子本征求解器 (VQE) 在热态上的推广。在零温极限下，VQT 收敛到 VQE。
• 目标： 给定一个哈密顿量 $\hat{H}$ 和目标逆温度 $\beta = 1/T$，VQT 旨在生成该哈密顿量热态 $\hat{\sigma}_\beta = \frac{1}{Z_\beta}e^{-\beta \hat{H}}$ 的近似。
• 损失函数： VQT 的损失函数是模型的量子相对自由能 $L_{vqt}(\theta, \phi) = \beta F(\hat{\rho}_{\theta\phi}) = \beta \text{tr}(\hat{\rho}_{\theta\phi}\hat{H}) - S(\hat{\rho}_{\theta\phi})$。通过最小化此损失函数，可以找到最优参数，使模型近似目标热态。
• 自由能估计： 当模型收敛到真实热态时，损失函数的值将收敛到热态的自由能，即 $L_{vqt}(\theta, \phi) \xrightarrow{\hat{\rho}_{\theta\phi}\to\hat{\sigma}_\beta} \beta F(\hat{\sigma}_\beta) = -\log Z_\beta$。这提供了一种使用量子计算机估计热态自由能和配分函数的方法。

3. 潜在空间 (Latent Space) 的结构

因子化潜在空间模型：

• 形式： 潜在态 $\hat{\rho}_\theta$ 可以是因子化的形式：$\hat{\rho}_\theta = \bigotimes_{j=1}^N \hat{\rho}_j(\theta_j)$，其中总量子系统被分成 $N$ 个较小的子系统，每个子系统有自己的变分参数 $\theta_j$。
• 优势： 这种结构使得潜在模块化哈密顿量 $\hat{K}_\theta$ 成为子系统哈密顿量的和 $\sum_j \hat{K}_j(\theta_j)$。配分函数 $Z_\theta$ 成为子系统配分函数的乘积，其对数成为和。熵也具有可加性 $S(\hat{\rho}_\theta) = \sum_{j=1}^N S(\hat{\rho}_j(\theta_j))$，这大大简化了计算。
• 参数数量： 因子化态的参数数量与子系统数量 $N$ 呈线性关系，远小于非因子化情况下的指数级增长。
• 解缠结表示： 学习一个完全去关联的（在纠缠和经典关联方面）潜在空间表示，可以实现潜在空间插值、独立分量分析、压缩码学习、主成分分析等应用。
• 潜在子系统模块化哈密顿量的例子：
  • Qudit 算符： 在计算基下对角化的 qudit 算符，例如 $\hat{K}_j(\theta_j) = \sum_{k=1}^{d_j} \theta_{jk}|k\rangle\langle k|_j$。每个子系统的潜在分布是其特征值的 softmax 函数，等价于多项式分布。
  • 连续变量量子模式的数算符： 例如谐振子，$\hat{K}_j(\theta_j) = \theta_j(\hat{x}^2 + \hat{p}^2) = \theta_j(\hat{a}^\dagger_j \hat{a}_j + \frac{1}{2})$。这种指数分布成为单模热态，在 Wigner 相空间中表示为对称高斯分布。
  • 费米子的粒子数算符： $\hat{K}_j(\theta_j) = \theta_j \hat{c}^\dagger_j \hat{c}_j$。

通用经典潜在空间模型：

• 形式： 潜在态可以表示为 $\hat{\rho}(\theta) = \sum_{x \in \Omega} p_\theta(x)|x\rangle\langle x|$，其中 $p_\theta(x)$ 是计算基域 $\Omega$ 上的参数化变分概率分布。
• 经典算法的结合： 由于 $|\Omega|$ 通常呈指数级增长，需要更高效的参数化。这通过结合经典概率和变分推断算法（如神经 ODEs、归一化流模型、神经能量基模型）来实现。
• 能量基模型 (EBMs) 的类比： 经典计算机负责变分学习这个经典分布。现代 EBMs 使用神经网络 $E_\theta: \Omega \to \mathbb{R}$ 参数化能量映射，并通过 Langevin 动力学或哈密顿蒙特卡洛生成样本 $x \sim p_\theta(x) \propto e^{-E_\theta(x)}$。
• 模块化哈密顿量： 这种情况下，潜在变分模型的模块化哈密顿量定义为 $\hat{K}_\theta = \sum_{x \in \Omega} E_\theta(x)|x\rangle\langle x|$。

4. 损失函数和梯度计算

量子模块化哈密顿量学习 (Quantum Modular Hamiltonian Learning, QMHL)：

• 目标： 学习一个未知数据混合态 $\hat{\sigma}_D$ 的对数（模块化哈密顿量）。
• 损失函数： 最小化量子相对熵 $D(\hat{\sigma}_D || \hat{\rho}_{\theta\phi})$。由于数据熵 $S(\hat{\sigma}_D)$ 与变分参数无关，实际最小化的是量子交叉熵损失 $L_{qmhl}(\theta, \phi) \equiv -\text{tr}(\hat{\sigma}_D \log \hat{\rho}_{\theta\phi}) = \text{tr}(\hat{\sigma}_D \hat{K}_{\theta\phi}) + \log(Z_\theta)$。
• “拉回”数据态： 损失函数可以重写为 $L_{qmhl}(\theta, \phi) = \text{tr}([U^\dagger(\phi)\hat{\sigma}_D U(\phi)] \hat{K}_\theta) + \log(Z_\theta)$，其中 $\hat{\sigma}_{D,\phi} \equiv U^\dagger(\phi)\hat{\sigma}_D U(\phi)$ 是通过逆向量子神经网络电路“拉回”的数据态。
• 熵估计： 训练收敛后，损失函数的值将收敛到数据熵 $S(\hat{\sigma}_D)$，从而提供数据熵的估计。

梯度计算：

• 模型参数 $\phi$ 的梯度： $\partial_{\phi_j} L(\theta, \phi) = \partial_{\phi_j} \text{tr}(\hat{K}_\theta \hat{\sigma}_{D,\phi})$，这类似于标准 VQE 中对哈密顿量期望值的梯度计算。
• 变分参数 $\theta$ 的梯度：
  • 模块化哈密顿量项的梯度：$\partial_{\theta_m} \langle \hat{K}_\theta \rangle_{\hat{\sigma}_{D,\phi}} = \langle \partial_{\theta_m} \hat{K}_\theta \rangle_{\hat{\sigma}_{D,\phi}}$。如果 $\hat{K}_\theta = \sum_m \hat{K}_m(\theta_m)$ 且 $\hat{K}_m(\theta_m) = \theta_m \hat{M}_m$，则简化为 $\langle \hat{M}_m \rangle_{\hat{\sigma}_{D,\phi}}$。
  • 配分函数项的梯度：$\partial_{\theta_m} \log Z_\theta = -\frac{1}{Z_m(\theta_m)}\text{tr}(e^{-\hat{K}_m(\theta_m)}\partial_{\theta_m}\hat{K}_m(\theta_m))$。对于简单形式 $\hat{K}_m(\theta_m) = \theta_m \hat{M}_m$，则为 $-\frac{1}{Z_m(\theta_m)}\text{tr}(e^{-\theta_m \hat{M}_m}\hat{M}_m)$，这可以在经典计算机上分析计算。

5. 应用与实验

• 2D 海森堡模型的热态 VQT：
  • 模型： $\hat{H}_{heis} = \sum_{\langle i,j \rangle_h} J_h \hat{S}_i \cdot \hat{S}_j + \sum_{\langle i,j \rangle_v} J_v \hat{S}_i \cdot \hat{S}_j$。
  • 量子神经网络参数化： 使用单量子比特旋转和相邻量子比特间的双量子比特旋转（例如，$\exp[i(\phi^1_j \hat{X}_j + \phi^2_j \hat{Y}_j + \phi^3_j \hat{Z}_j)]$ 和 $\exp[i(\phi^4_j \hat{X}_j \hat{X}_{j+1} + \phi^5_j \hat{Y}_j \hat{Y}_{j+1} + \phi^6_j \hat{Z}_j \hat{Z}_{j+1})]$）。
  • 结果： 成功重建了海森堡模型的热态密度矩阵，并展示了在迹距离和态保真度方面的良好性能。
• 学习量子压缩码 (自由玻色子系统)：
  • 背景： 玻色子高斯态由协方差矩阵 $\Gamma_B$ 完全指定，高斯变换作用于协方差矩阵上是辛变换。
  • QMHL 应用： 通过 QMHL 找到哈密顿量的辛对角化，从而学习到解耦的潜在空间表示，其熵取决于模式的有效温度。
  • 压缩： 通过系统地将低温振子设置为基态来实现压缩。
  • 结果： 即使移除大部分潜在模式信息，也能近似重建原始态。QHBMs 能够直接学习到约化系统的模块化模式。
• 费米子热态的制备：
  • 背景： BCS 平均场理论哈密顿量是二次的，因此关注费米子高斯态。费米子高斯变换作用于协方差矩阵上是正交变换。
  • VQT 应用： VQT 通过最小化相对熵来学习正交变换和解耦费米子模式的有效频率，本质上学习了 Bogoliubov 变换的表示。
  • 实现： 在离散变量量子计算机上实现需要量子比特到费米子的变换（如 Jordan-Wigner 变换）和到 Majorana 模式基的变换。正交变换本身可以通过 Givens 旋转参数化。
  • 结果： 成功训练 VQT 来制备 d 波超导热态，协方差矩阵的重建效果良好。

6. 关键数学概念和公式

• 量子相对熵 (Kullback-Leibler divergence)： $D(\hat{\sigma} || \hat{\rho}) = \text{tr}(\hat{\sigma} \log \hat{\sigma}) - \text{tr}(\hat{\sigma} \log \hat{\rho})$。
• 量子交叉熵损失： $L_{qmhl}(\theta, \phi) = \text{tr}(\hat{\sigma}_D \hat{K}_{\theta\phi}) + \log(Z_\theta)$。
• 量子相对自由能： $D(\hat{\rho}_{\theta\phi} || \hat{\sigma}_\beta) = \beta F(\hat{\rho}_{\theta\phi}) - \beta F(\hat{\sigma}_\beta)$，其中 $F(\hat{\xi}) = \text{tr}(\hat{H}\hat{\xi}) - \frac{1}{\beta}S(\hat{\xi})$。
• VQT 损失函数： $L_{vqt}(\theta, \phi) = \beta \text{tr}(\hat{\rho}_{\theta\phi}\hat{H}) - S(\hat{\rho}_{\theta\phi})$。
• 迹距离： $T(\hat{\rho}, \hat{\sigma}) := \frac{1}{2} \text{Tr}[\sqrt{(\hat{\rho} - \hat{\sigma})^\dagger(\hat{\rho} - \hat{\sigma})}]$。
• 混合态保真度： $F(\hat{\rho}, \hat{\sigma}) := (\text{Tr}\sqrt{\sqrt{\hat{\rho}}\hat{\sigma}\sqrt{\hat{\rho}}})^2$。
• Jordan-Wigner 变换： 将费米子算符映射到量子比特算符，例如 $\hat{a}_k = \frac{1}{2}(\hat{X}_k + i\hat{Y}_k)\hat{Z}_1 \cdots \hat{Z}_{k-1}$。
• Majorana 模式： $\hat{c}_{2j-1} = \hat{a}_j + \hat{a}^\dagger_j$ 和 $\hat{c}_{2j} = i(\hat{a}_j - \hat{a}^\dagger_j)$。