我们将引力与其他三种基本力（电弱力和强力）置于同等地位，提出了一个基于自旋和标度规范对称性的引力量子场论。我们引入了一个"双框架时空"（biframe spacetime）来描述这样一个量子引力理论。同时依附于局域平直的非坐标时空和全局平直的闵可夫斯基时空的"引力场"（gravifield）是实现全局自旋和标度对称性规范化的关键要素。由引力场张开的局域平直引力场时空，与一个由引力场的类规范场强度所刻画的非对易几何相关联。我们在引力场基底下，为量子引力建立了一个坐标无关且规范不变的作用量。在坐标基底下，我们推导出了包含引力效应在内的所有量子场的运动方程，并得到了所有对称性下的基本守恒律。引力场张量的运动方程被推导出来，并与总能量-动量张量直接关联。当自旋和标度规范对称性破缺到一个拥有全局洛伦兹和标度对称性的背景结构时，我们通过求解幺正基底下的背景场运动方程，得到了一组精确解。无质量的引力子和有质量的"自旋子"（spinon）作为物理的量子自由度出现。由此产生的洛伦兹不变且共形平直的背景引力场时空，由一个具有非零宇宙学质量标度的宇宙学矢量来刻画。演化中的宇宙，在共形固有时下，通常不是各向同性的。宇宙的共形尺寸在宇宙学视界处变得奇异，并且在宇宙固有时下呈现出暴胀行为。我们展示了一种"量子标量微粒"（scalinon）暴胀机制，即正是量子效应导致了全局标度对称性的破缺，并产生了早期宇宙的暴胀；当标量势的演化真空期望值达到最小值时，暴胀结束。我们将引力场视为一种类戈德斯通场（Goldstone-like field），它将局域自旋规范对称性转换为具有隐藏广义坐标不变性的全局洛伦兹对称性，并由此从自旋规范场（它变成了一个隐藏的规范场）构造出一个时空规范场。玻色引力相互作用由类戈德斯通引力规度场（gravimetric field）和时空规范场来描述。我们得到了两种类型的引力方程：一种是作为爱因斯坦广义相对论方程的推广，另一种是刻画自旋子动力学的全新方程。爱因斯坦的广义相对论被认为是该理论的一个有效的低能理论。
深度解读
同学你好，我们即将进入一个非常深刻和前沿的物理学领域。这篇论文的标题和摘要就像一部科幻大片的预告，信息量巨大，但每一个词都指向物理学最根本的问题。让我们像剥洋葱一样，一层一层地解析它。
首先看标题："具有自旋和标度规范不变性的引力量子场论及量子暴胀时空动力学"。这本身就是一个宣言。
- "引力量子场论"：这是物理学的"圣杯"。我们知道，描述微观世界的量子力学和描述宏观引力的广义相对论是现代物理学的两大支柱，但它们在根本上是相互矛盾的。将它们统一起来，建立一个引力的量子理论，是几代物理学家梦寐以求的目标。这篇文章就是要提出一个全新的方案。
- "自旋和标度规范不变性"：这是作者提出的实现"引力量子化"的核心武器。你可能知道，标准模型中的电磁力、弱力、强力都来自于一个叫做"规范不变性"的原理。简单来说，就是要求物理定律在某种内部空间的"旋转"（比如电子波函数的相位旋转）下保持不变，为了维持这种不变性，就必须引入力的传播子（比如光子）。这里的革命性思想在于，作者认为引力也来源于同样的原理，只不过这次"旋转"的不是电荷那样的内部属性，而是粒子固有的"自旋"朝向和物理系统的"标度"（尺寸大小）。他主张，如果我们要求物理定律在时空的每一点上，粒子自旋朝向和系统尺寸都可以独立变化而不影响结果，那么引力就会作为一种补偿场而自然出现。这从根本上挑战了爱因斯坦认为引力是时空弯曲的几何效应的观点，而是将其"拉回"到与其他三种力一样的"规范力"的阵营中。
- "量子暴胀"：这表明该理论不仅要解决引力的量子化问题，还要解释宇宙学的核心谜题——早期宇宙的暴胀。暴胀理论认为，宇宙在诞生之初经历了一段极快速的指数式膨胀。作者暗示，他的理论中的量子效应能够自然地驱动这个过程。
目录
I. 引言
引力作为自然界的一种基本力，在宏观世界中已由爱因斯坦提出的广义相对论理论，作为黎曼时空中的度规动力学，给予了很好的描述。然而，令人不满意的是，其他三种基本力，即电磁、弱和强相互作用，已经在平直的闵可夫斯基时空内的相对论性量子场论（QFT）框架下，由所谓的标准模型（SM）[2-11]成功地描述，这与通过动态弯曲时空来表述的引力形成了鲜明对比。这种奇怪的二分法为统一描述引力与其他三种基本力造成了障碍，也为引力的量子化带来了困难。另一方面，越来越清楚的是，对引力进行量子场论描述，将在理解和探索宇宙起源，如早期宇宙的奇点和暴胀[12-15]等问题上，扮演至关重要的角色。
这段话开宗明义，指出了现代物理学最核心的矛盾，也就是作者写作这篇论文的根本动机。我们可以将其理解为物理学领域的"一份战书"。
想象一下，物理学大厦有两根顶梁柱。一根是广义相对论，它极其优雅地描述了宇宙的宏观结构，比如星系、黑洞的运行，认为引力是时空这个"舞台"本身因物质的存在而发生的弯曲。一个大质量物体就像一个保龄球放在一张弹性薄膜上，使得薄膜凹陷，周围的小球（其他星球）就会沿着凹陷的轨迹运动，这就是引力。在这个理论里，"舞台"（时空）是动态的、可以弯曲的。
另一根顶梁柱是量子场论，它构成了粒子物理标准模型的基础。它完美地描述了微观世界里除引力外的其他三种力：电磁力、弱核力（导致原子核衰变）和强核力（将夸克捆绑成质子和中子）。在量子场论的图景里，相互作用是通过交换粒子（比如光子传递电磁力）来实现的，而这一切都发生在一个固定的、平直的"舞台"上，这个舞台就是闵可夫斯基时空（狭义相对论的时空）。
作者指出的"奇怪的二分法"（odd dichotomy）就在这里：为什么描述引力的规则（舞台是动态的、弯曲的）和描述其他三种力的规则（舞台是固定的、平直的）如此截然不同？这就像一个国家有两套完全不兼容的法律体系，一套管民事，一套管刑事，它们之间无法对话。这种分裂使得物理学家无法建立一个"大一统理论"来描述宇宙中的所有现象。更严重的是，它阻碍了引力的量子化。因为量子理论的数学工具是在平直时空这个固定背景上发展起来的，直接套用到一个本身就在动态变化的弯曲时空上，会产生各种数学上的无穷大，导致理论失效。
最后，作者点明了解决这个问题的紧迫性。要理解宇宙的开端，比如大爆炸奇点（一个密度和曲率无限大的点）和宇宙暴胀（早期宇宙的极速膨胀），我们必须同时考虑量子效应和引力效应，因为那时的宇宙既微观又致密。没有一个自洽的量子引力理论，宇宙的起源将永远是一个谜。因此，作者的研究不仅仅是理论物理学家的智力游戏，它直指我们从何而来的终极问题。
相对论性量子场论作为一个成功地统一了量子力学和狭义相对论的理论，为描述微观世界提供了一个卓越的理论框架。三种基本力已由基于夸克和轻子规范对称性的标准模型很好地刻画，并已通过越来越精确的实验得到检验。在大型强子对撞机（LHC）上发现类标准模型希格斯玻色子，激励我们去研究一个更基本的理论，其中就包括量子引力。在量子场论的框架内，一个对引力的一致性描述尚未成功建立。爱因斯坦广义相对论的基础建立在一个假设之上：物理定律的性质必须是这样的，即它们适用于任何运动状态的参考系。这个假设似乎是狭义相对论假设的自然延伸。狭义相对论原理涉及两个假设。一个是相对性假设，即，如果选择一个坐标系K，使得物理定律相对于它以最简单的形式成立，那么这些定律相对于任何其他相对于K做匀速平移运动的坐标系𝐾\'也同样成立。另一个假设是光在真空中的速度是一个常数。第一个相对性假设实际上已被伽利略和牛顿的经典力学所满足。正是第二个关于真空中光速不变的假设，导致了同时性的相对性以及相关的运动物体和时钟行为的定律。因此，它使得空间和时间成为一个四维平直的闵可夫斯基时空，并且物理定律在全局洛伦兹变换的$SO(1,3)$对称性下保持不变。在爱因斯坦的广义相对论中，相对性假设被扩展为：自然的物理定律要用对所有坐标系都成立的方程来表示，这导致引力被一个弯曲时空中的黎曼几何所刻画。也就是说，引力在于弯曲时空的动态黎曼几何之中。因此，在广义相对论中，物理定律在局域$GL(4,R)$对称性的广义线性变换下是不变的，这表明空间和时间不能以一种在狭义相对论中提出的标准方式直接测量空间坐标或时间坐标差异的方式来很好地定义。
这一段，作者通过回顾狭义相对论和广义相对论的逻辑发展，深刻地揭示了两者在哲学思想上的分歧点，并为他自己的新理论铺平了道路。
首先，他肯定了量子场论 (QFT) 和标准模型 (SM) 的巨大成功。这不仅仅是理论上的漂亮，更是经过了LHC等高精度实验反复验证的。特别是希格斯玻色子的发现，标志着标准模型取得了决定性的胜利。这给了物理学家信心，相信基于"规范对称性"的QFT框架是描述自然力的正确道路。然而，引力却 stubbornly 地游离在这个框架之外。
接着，作者开始剖析爱因斯坦的思路。他像一位侦探一样，回到了思想的起点：
- 狭义相对论的起点：爱因斯坦提出了两个假设。第一个"相对性原理"（所有惯性系中物理定律形式相同）其实牛顿也知道。关键是第二个"光速不变原理"。这个看似简单的假设，却引发了一场革命，它迫使我们放弃了绝对的时间和空间观念，将它们融合成一个统一的、平直的四维闵可夫斯基时空。在这个时空里，物理定律必须遵守一种被称为全局洛伦兹对称性 (𝑆𝑂(1,3)) 的规则。这里的"全局"是关键，意味着你在宇宙任何地方、任何时间做一个洛伦兹变换（比如从一个惯性系切换到另一个），变换的规则都是完全一样的。
- 广义相对论的飞跃：爱因斯坦问了一个深刻的问题：为什么物理定律只应该在"匀速运动"这种特殊状态的参考系里形式相同？为什么不能在"任何运动状态"（包括加速、转动）的参考系里都形式相同？这就是他推广的相对性原理，也叫"广义协变性原理"。为了实现这个目标，他发现必须放弃平直时空，引入一个可以任意弯曲的黎曼几何时空。引力不再是一种"力"，而是这种时空弯曲的表现。物理定律在这种情况下，必须遵守一种更强大的局域𝐺𝐿(4,𝑅)对称性。这里的"局域"意味着你可以在时空的每一个点都进行独立的坐标变换。
然而，作者在这里指出了这种飞跃带来的一个深刻问题：代价是什么？代价是时空失去了绝对的可测量性。在狭义相对论的平直时空里，我们可以用尺子和钟清晰地测量两点间的距离和时间间隔。但在广义相对论的弯曲时空里，由于时空本身在每一点都可以被任意拉伸和扭曲（𝐺𝐿(4,𝑅)变换），坐标差异本身失去了直接的物理意义。你必须通过复杂的计算才能得到可测量的量。这为量子化带来了根本性的困难，因为量子理论依赖于一个清晰的、可作为背景的时空来定义能量、动量等基本概念。
通过这番分析，作者暗示：或许爱因斯坦的推广走得"太远"了。为了追求普适的坐标不变性，他将引力与时空的几何结构完全捆绑，从而脱离了其他力量所遵循的QFT框架。作者接下来的工作，就是要尝试另一条路：我们能否不走几何化的道路，而是坚持QFT的框架，用规范对称性的方法来描述引力呢？
由于规范理论已被证明可以由量子场论一致地描述，这激励人们努力去寻找一种关于引力的规范理论描述。与杨-米尔斯规范理论相类比，早期的引力规范理论工作由许多先驱者[19-23]提出。随着规范理论在描述夸克和轻子的电磁、弱和强相互作用方面取得成功，过去半个世纪里，人们在引力规范理论方面做出了无数努力，更多的文献可以在一些综述文章[24-26]中找到。值得注意的是，大多数引力规范理论是建立在弯曲时空流形上的黎曼或非黎曼几何之上的。因此，关于空间和时间的定义以及引力规范理论的量子化等主要问题仍然是悬而未决的。此外，引力规范理论的拉格朗日量的基本结构和动力学性质仍未被很好地理解。
这一段是承上启下，作者回顾了在他之前，沿着"规范理论"这条路探索引力的历史，并指出了这些先前尝试的局限性，从而凸显自己工作的创新之处。
首先，他提到了一个里程碑式的理论——杨-米尔斯规范理论。这是由杨振宁和米尔斯在1954年提出的，它成功地将电磁学中的规范思想推广，为后来的弱相互作用和强相互作用理论（即标准模型）奠定了数学基础。它的核心思想是，要求物理规律在一种内部对称性（如同位旋）下具有"局域不变性"，就必须引入新的力场（规范场）。这个理论的巨大成功，自然而然地让物理学家们思考：既然自然界的三种力都可以用这个框架描述，那引力是否也可以呢？
于是，许多物理学界的先驱们开始了将引力"规范化"的尝试。作者在这里引用了多篇文献，表明这是一个历史悠久且充满挑战的领域。这些早期的工作确实取得了一些进展，比如他们发现洛伦兹群（描述时空旋转和助推的对称群）可以被看作是一种规范群，从而引出与引力相关的场。
然而，作者紧接着指出了这些传统引力规范理论的一个根本性缺陷：它们中的大多数，仍然是建立在弯曲时空流形的几何框架之上的。换句话说，它们虽然借用了"规范理论"的语言和工具，但在思想上并没有完全摆脱爱因斯坦的"引力即几何"的范式。它们试图在已经弯曲的时空背景上再去做规范理论，这导致了"旧病未除，又添新疾"。
结果就是，那些最核心的难题依然存在：
- 时空定义问题：在一个动态弯曲的背景上，如何清晰地定义时间和空间？
- 量子化问题：如何在一个非固定的背景上进行量子化，避免无穷大的出现？
- 理论结构不清晰：理论的动力学方程（由拉格朗日量决定）应该是什么样的？其物理性质如何？这些都还没有定论。
通过这番评述，作者巧妙地为自己的理论设定了舞台。他暗示，要真正解决问题，就必须进行一次更彻底的革命：我们必须从一开始就放弃弯曲时空流形这个前提，回归到量子场论最适应的平直闵可夫斯基时空。只有这样，才有可能将引力真正地与其他三种力置于"同等地位"，并解决上述所有悬而未决的难题。这预示着他接下来的理论将是一种在平直时空背景上构建的、全新的引力规范理论。
在本文中，我们将提出一种在平直闵可夫斯基时空内的量子场论框架下的引力规范理论的替代方案，并将引力与电弱力和强力置于同等地位。也就是说，所有基本粒子的基本相互作用都将由规范对称性所支配，并由定义在平直闵可夫斯基坐标时空中的量子场所刻画。由于所有已知的对称性群都与自然界基本构成单元（即夸克和轻子）的内禀量子数有关，我们当前考虑的引力规范理论的关键点在于，我们将区分费米子场的自旋对称性群$SP(1,3) \equiv SP(1,3)$与闵可夫斯基时空中坐标的洛伦兹对称性群$SO(1,3)$，并将自旋对称性$SP(1,3)$视为一种内禀对称性。使用$SP(1,3)$和$SO(1,3)$的记号是为了明确标记这两种不同类型的对称性。由于狭义相对论和量子力学在完善建立的原理之上有着坚实的基础，我们将基于相对论性量子场论的原理为引力的量子场论描述做出假设。主要假设是：(i) 提出一个双框架时空来描述引力的量子场论。一个框架时空是全局平直的坐标闵可夫斯基时空，它作为场运动的惯性参考系；另一个是局域平直的非坐标引力场时空，它作为场自由度的相互作用绘景框架。(ii) 所有量子场的运动学遵循狭义相对论和量子力学的原理。(iii) 所有量子场的动力学由规范对称性支配的基本相互作用所刻画。(iv) 量子引力的作用量将在所谓的引力场时空中表示，以实现坐标无关和规范不变。(v) 该理论不仅在引力场时空中定义的量子场的局域自旋和标度规范变换下不变，而且在平直闵可夫斯基时空中坐标的全局洛伦兹、标度以及平移变换下也不变。
这是整篇论文最核心、最关键的一段，作者在这里清晰地阐述了他的革命性思想和理论构建的五大基本假设（Postulates）。这五条假设，如同欧几里得几何的五条公理，是整个理论大厦的基石。
首先，作者明确了他的战场：平直的闵可夫斯基时空。这是对爱因斯坦弯曲时空范式的直接"叛离"，回归到了标准模型所在的量子场论的"主场"。
接下来是那个最关键、最具洞察力的区分：
- 坐标的洛伦兹对称性 ($SO(1,3)$)：这是我们熟悉的狭义相对论的对称性。当我们从一个惯性参考系变换到另一个时，时空坐标（t, x, y, z）会根据洛伦兹变换而改变。这是一种关于我们如何描述物理事件的外部对称性。
- 费米子场的自旋对称性 ($SP(1,3)$)：电子、夸克等费米子都具有"自旋"属性。在传统的量子场论中，当坐标进行洛伦兹变换时，粒子的自旋状态也会随之发生相应的改变，两者是锁定在一起的。作者的破局点就在于：为什么要锁定？ 他提出，我们可以将粒子的自旋看作是一种内禀的、内部的自由度，就像电荷或颜色一样。因此，描述自旋状态的对称性 ($SP(1,3)$) 应该被视为一种内部对称性，它可以独立于坐标变换而变化。
这个小小的"解耦"思想，是打开新世界的大门。一旦自旋成为一种内部对称性，我们就可以应用杨-米尔斯理论的强大武器，对其进行"规范化"，从而产生新的相互作用——作者认为，这就是引力。
基于这个核心思想，作者提出了五大假设：
- 双框架时空：这是为了容纳上述"解耦"思想而必须引入的结构。全局的平直闵可夫斯基时空（坐标时空）是我们的"绝对参考地图"，保证了能量、动量等概念有良好定义，这是量子场论得以运作的前提。而局域的、非坐标的"引力场时空"则是粒子相互作用的"实际舞台"，在这个舞台上，粒子的自旋可以自由"旋转"。
- 运动学原理：所有场（物质场、力场）的基本运动规律依然遵守我们最信任的量子力学和狭义相对论。这保证了理论的根基是牢固的。
- 动力学原理：所有相互作用的起源，都统一归结为"规范对称性"原理。没有例外，引力也是如此。这是将引力与其他三种力"置于同等地位"的宣言。
- 作用量原理：描述整个理论物理内容的数学表达式——作用量（Action），必须在那个局域的"引力场时空"中构建，并且必须是坐标无关和规范不变的。这保证了物理规律的普适性。
- 对称性原理：理论必须同时尊重两种对称性。在局域层面，它要遵守我们新提出的自旋和标度规范对称性（这是引力的来源）。在全局层面，它必须遵守我们熟知的闵可夫斯基时空的对称性，包括洛伦兹变换、平移变换（合称庞加莱对称性）以及标度变换。这确保了理论与狭义相对论的宏观观测不矛盾。
这五条假设构成了一个逻辑自洽的完整体系，为在量子场论框架内构建一个全新的引力理论铺平了道路。
我们将展示，一个基于自旋和标度规范对称性的量子引力理论，通常可以在一个坐标无关的形式中被构建，并通过一个基本的引力场自然地转换到坐标基底上。标准模型在相对论性量子场论描述上的成功，是基于一个全局的非齐次洛伦兹群或庞加莱群，它在一个全局平直的闵可夫斯基坐标时空中包含了洛伦兹群$SO(1,3)$和平移群$T^{1,3}$。也就是说，一个在相对论性量子场论框架内建立的基本理论，在一个全局的庞加莱群$P(1,3)=SO(1,3) \times T^{1,3}$对称性下是不变的。为了在相对论性量子场论框架内建立一个引力规范理论，我们假设，在一个平直的闵可夫斯基时空中保持一个全局的庞加莱群$P(1,3)$对称性仍然是至关重要的，同时通过规范化一个内禀的庞加莱群$P_G(1,3)$来引入一个局域平直的非坐标时空，以刻画费米子自由度，例如在标准模型中被视为物质基本构成单元的夸克和轻子。这种建立引力规范理论的概念性想法，与爱因斯坦的原始思想有所区别，他直接推测，那些在平直闵可夫斯基时空中在一个全局庞加莱群$P(1,3)$对称性下不变的物理定律，应该用在弯曲黎曼坐标时空中在一个局域广义线性群$GL(4,R)$对称性下不变的更普遍的形式来表示。众所周知，$GL(4,R)$群虽然包含了洛伦兹群$SO(1,3)$的对称性，但并不包含平移群$T^{1,3}$的对称性。
这一段，作者进一步深化了他的核心思想，并将其与爱因斯坦的广义相对论进行了更直接、更深刻的哲学对比。他明确指出了自己理论的对称性结构，并解释了为什么这种结构与爱因斯坦的根本不同。
首先，他强调了庞加莱群 𝑃(1,3) 的重要性。这个对称性是狭义相对论的基石，它包含了洛伦兹变换（描述不同惯性系之间的时空关系）和时空平移（描述物理规律在空间和时间上是处处相同的）。标准模型的巨大成功，正是建立在物理定律服从这个全局对称性的基础之上的。作者认为，这个被实验反复验证过的、如此基础的对称性，不应该被轻易抛弃。这是他理论的"锚点"。
然后，他提出了一个精妙的平行结构：
- 全局的庞加莱群 $P(1,3)$：这是描述我们背景坐标时空（那张"绝对地图"）的对称性。它是全局的、刚性的，保证了能量-动量守恒等基本物理定律的成立。作者坚持保留这个对称性。
- 局域的（规范化的）庞加莱群 $P_G(1,3)$：这是描述粒子内部自由度（在那个"局部舞台"上）的对称性。作者将其"规范化"，意味着这个对称性变换可以在时空的每一点都独立进行。正是这个规范化过程，将产生引力相互作用。
通过这种方式，作者巧妙地将引力的起源与时空本身的几何属性分离开来。引力不再是背景时空的弯曲，而是源于粒子内部自由度的一种局域对称性。
接下来，他一针见血地指出了自己与爱因斯坦的根本分歧：
- 爱因斯坦的路径：从全局庞加莱对称性 ($P(1,3)$) 直接跳跃到局域的广义线性群 ($GL(4,R)$)。这个$GL(4,R)$对称性非常强大，它允许在时空的每一点进行任意的线性坐标变换（拉伸、旋转、扭曲等）。这直接导致了时空几何化和弯曲黎曼时空的概念。但作者敏锐地指出，这个强大的$GL(4,R)$群有一个"缺陷"：它不包含平移对称性 $T^{1,3}$。这意味着在广义相对论的框架里，能量-动量守恒不再是一个全局的、绝对的守恒定律，而是一个更复杂的、依赖于坐标选择的概念。这正是量子化引力时遇到的核心困难之一。
- 作者的路径：坚持保留全局的 $P(1,3)$ 对称性，同时引入一个独立的、局域的 $P_G(1,3)$ 对称性。这样做的好处是，全局的能量-动量守恒得到了保证，为量子化铺平了道路。而引力效应则由局域的 $P_G(1,3)$ 规范化来产生。
总而言之，爱因斯坦为了推广相对性原理，牺牲了全局的庞加莱对称性，走向了时空几何化。而作者则选择了一条不同的道路：坚守被量子场论证明极为成功的全局庞加莱对称性，通过引入一个平行的局域对称性来"内生"出引力。这是一个深刻的哲学抉择，决定了整个理论的走向和结构。
我们将展示，一个基于规范不变性和坐标无关性假设构建的引力规范理论，拥有一个自旋群或规范化洛伦兹群$SP(1,3)$的规范对称性，它是在一个局域平直非坐标时空中的内禀庞加莱规范群$P_G(1,3)$的一个子群。这里使用记号$P_G(1,3)$是为了与闵可夫斯基坐标时空中的全局庞加莱群$P(1,3)$对称性相区别。总的来说，所得到的引力规范理论将被证明，在引力的费米子相互作用或玻色子相互作用中，都具有一个基本的局域和全局对称性$SP(1,3) \times P(1,3)$。一个同时定义在全局平直坐标闵可夫斯基时空和局域平直非坐标时空上的新的引力场，被必要地引入，作为一个类规范场，它在自旋规范群$SP(1,3)$下齐次变换，并构成局域平直非坐标时空的一个基底。这样一个由引力场基底张开的局域平直非坐标时空，构成了一个坐标无关的引力场时空。因此，引力场被认为与旋量表示下的局域平直非坐标引力场时空中，庞加莱规范群$P_G(1,3)$的陪集$T_G^{1,3} = P_G(1,3) / SP(1,3)$中的一个规范场相关联。我们将展示，这个类规范的引力场是刻画引力相互作用的一个基本场，而自旋群$SP(1,3)$的自旋规范场则反映了一种扭转相互作用。当通过引力场将自旋规范对称性转换为 一个隐藏的规范对称性时，我们得到了一个在平直闵可夫斯基坐标时空中具有全局庞加莱对称性的引力规范理论的新形式。其结果是，广义相对论将被发现是该引力规范理论在低能极限下的一个有效理论，而广义线性群$GL(4,R)$的广义坐标不变性，则通过广义线性群的一个规范固定坐标变换，作为一个隐藏的对称性嵌入在全局庞加莱群$P(1,3)$之中。
这一段是引言的总结，作者在这里预告了论文后续章节将要展示的关键技术成果，描绘出他的理论框架如何从抽象的对称性原理，一步步构建出具体的物理内容，并最终与爱因斯坦的理论建立联系。
首先，他明确了理论的对称性结构。在局域的"内部空间"里，起主导作用的是自旋规范群 $SP(1,3)$。这个群是从更完整的局域庞加莱规范群 $P_G(1,3)$ 中分离出来的。可以这样理解：局域庞加莱群 $P_G(1,3)$ 包含了局域的"旋转"（由 $SP(1,3)$ 描述）和局域的"平移"。作者在这里暗示，局域的"旋转"部分会产生我们熟悉的引力效应，而局域的"平移"部分则与一个核心的新物理场——引力场 (gravifield) ——相关联。整个理论的对称性基础，因此是一个局域$SP(1,3)$和全局$P(1,3)$的乘积，即 $SP(1,3) \times P(1,3)$。这清晰地体现了他"内外有别"的核心思想：内部（粒子自由度）是局域动态的，外部（背景时空）是全局刚性的。
接着，他强调了引力场的核心地位。这个新场是连接内外两个世界的桥梁。它本身在局域的自旋规范变换下像一个物质场一样变换，同时它的各个分量又构成了那个局域"引力场时空"的坐标基底。这个双重身份使它成为理论的枢纽。作者进一步指出，与这个引力场相关的相互作用是我们通常理解的引力，而与自旋规范场本身直接相关的相互作用则是一种新的效应，称为扭转 (torsion)，这在爱因斯坦的理论中是不存在的。
然后，他预告了一个非常精妙的数学机制。通过引力场，原来的局域自旋对称性可以被"隐藏"起来，理论可以被改写成一个只具有全局庞加莱对称性的形式。这就像一个复杂的密码系统，表面上看是一套规则，但通过一个"密钥"（引力场），可以解密成另一套更简洁的规则。这个过程非常重要，因为它使得理论更容易处理，并且能更清晰地看到其物理内容。
最后，也是最重要的，他建立了与旧理论的联系：
- 广义相对论是低能有效理论：他将证明，在能量很低、我们日常生活的宏观尺度下，他这个复杂的新理论可以近似地简化为爱因斯坦的广义相对论。这保证了他的理论能够解释所有广义相对论已经成功解释的现象，如引力透镜、水星近日点进动等。
- 广义坐标不变性是隐藏对称性：爱因斯坦理论的核心——广义坐标不变性（𝐺𝐿(4,𝑅)对称性），在作者的理论中并没有丢失，而是作为一种"隐藏的对称性"存在。它不是理论的基本出发点，而是理论在特定条件下（通过一种称为"规范固定"的数学技巧）呈现出来的一种性质。这巧妙地解决了两者的矛盾：作者的理论从一个更基础、更适合量子化的对称性出发，但最终能够"重现"爱因斯坦理论那强大的几何对称性。
这段总结展示了作者理论的完备性和野心：它不仅提出了新的物理图像，还清晰地规划了如何从新理论回到旧理论，构成了一个逻辑自洽的闭环。
我们的论文组织如下：在本节进行简要介绍之后，我们将在第二节中，在平直闵可夫斯基时空的量子场论框架内，将基本费米子场的全局自旋和标度对称性扩展为局域自旋和标度规范对称性，这使我们能够将引力与其他三种基本力置于同等地位。其结果是，不可避免地需要同时引入一个双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$，它定义在全局平直的闵可夫斯基时空上，并取值于局域平直的非坐标时空中。在第三节中，将展示双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$在刻画引力相互作用中是至关重要的，并将简称为引力场。所谓的引力场${\chi_\mu}^a(x)$可以构成一个引力场基底${\chi^a}$。这个引力场基底描述了局域平直的非坐标时空，该时空被命名为引力场时空。基于局域平直的引力场时空，我们能够构建一个坐标无关且规范不变的引力规范理论作用量，其中费米子场和规范场分别属于自旋对称性群$SP(1,3)$的旋量表示和矢量表示。在第四节中，我们通过简单地将引力场基底转换为坐标基底，自然地将引力规范理论的作用量表示在全局平直的闵可夫斯基时空中。以全局平直的闵可夫斯基时空作为描述所有量子场运动的参考惯性系，我们明确地获得了它们在存在引力相互作用时的运动方程，这使得我们原则上能够研究包括引力效应在内的所有量子场的动力学。由于该作用量在量子场论框架内基于规范对称性为所有基本力提供了统一的描述，它为动量和能量做出了有意义的定义，并允许我们在第五节中讨论该理论在局域规范不变性和全局变换不变性下的基本守恒律。我们将证明，作为爱因斯坦广义相对论方程的替代，引力场张量的运动方程被直接与能量-动量张量联系起来，这根据能量-动量守恒导出了引力场张量流的一个基本守恒律。在第六节中，我们基于自旋和标度规范场在实验上未被观测到这一事实，讨论了引力规范对称性的破缺。我们假设自旋和标度规范对称性破缺到全局的洛伦兹和标度对称性，这导致了一个由背景场描述的背景结构。从背景场的运动方程中，我们获得了一组由一个具有非零宇宙学质量标度的宇宙学矢量所刻画的精确洛伦兹不变解。在第七节中，一个规范不变的线元在局域平直的引力场时空中用引力场基底来定义，标度标量场确保了该线元在局域和全局的标度变换下都不变。结果表明，引力规范对称性破缺后的背景结构产生了一个背景引力场时空，它与一个由背景共形标度场支配的共形平直闵可夫斯基时空相吻合。这个共形标度场在共形固有时下，在宇宙学视界处变得奇异。然后我们展示，在宇宙固有时下，基于背景引力场时空的演化宇宙变得共形暴胀或收缩。这样得到的宇宙通常不是各向同性的；只有一个在宇宙固有时与协动洛伦兹时间直接相关的协动参考系中，宇宙才看起来是均匀和各向同性的。在第八节中，我们描述了基于引力场时空背景结构的引力规范理论的量子化。通过应用规范理论的通常计数规则分析了物理量子自由度。在路径积分方法中，我们给出了规范固定对引力理论量子化的贡献以及法捷耶夫-波波夫鬼场项。我们明确给出了主导的有效作用量，以便写下量子引力理论的费曼规则。讨论了理论的可重整化性。然后我们演示了量子效应如何导致早期宇宙的暴胀，并通过有效背景标量势中的自发标度对称性破缺来结束暴胀宇宙。在第九节中，通过自旋规范场和引力场，构建了一个定义在平直闵可夫斯基时空中的替代性时空规范场，其中显示了自旋规范对称性变成了一个隐藏的对称性，而引力场则表现为一个类戈德斯通场，它将局域自旋规范对称性转换为全局洛伦兹对称性。然后我们给出了量子引力作用量的一个替代形式，并显示玻色引力相互作用可以由类戈德斯通引力规度场和时空规范场来描述。在第十节中，我们明确显示引力方程可以导出两种类型的方程；一种类型是爱因斯坦广义相对论方程的推广，另一种是刻画扭转和挠率效应的新型方程。这表明引力规范理论的作用量对于局域线性坐标变换$GL(4,R)$有一个隐藏的对称性。爱因斯坦的广义相对论被认为是该理论的一个有效的低能理论。我们的结论和评述将在最后一节中给出。
这段文字是论文引言的最后一部分，它详细地勾勒了整篇论文的结构和内容安排。这相当于在带领读者进入一个宏伟的建筑之前，先给出一份详细的导览图，告诉读者每一层、每个展厅的主题是什么，它们之间又是如何关联的。对于我们这些试图理解这个复杂理论的学生来说，这是一份极其宝贵的指南。
- 第二、三节：奠定基础。这是理论的出发点。作者将从最基本的费米子（如电子、夸克）出发，把它们的"自旋"和"标度"（尺寸）从一种全局属性提升为一种可以在时空每一点独立变化的局域属性。为了维持物理规律在这种变化下的不变性（即规范不变性），一个关键的新角色——双协变矢量场 ${\chi_\mu}^a(x)$——必须被引入。这个场就是后文所说的"引力场"，它将成为整个理论的核心。第三节将正式定义由这个场构成的"引力场时空"，并在这个新舞台上建立引力理论的数学形式（作用量）。
- 第四、五节：推导物理规律。有了数学形式，就要看它能导出什么物理内容。第四节将从作用量出发，推导出所有粒子（包括引力场本身）在引力影响下的运动方程。第五节则探讨理论的守恒律，特别是能量和动量如何守恒。作者特别提到，他将得到一个与爱因斯坦方程不同的、直接与物质的能量-动量张量相关的引力场方程。
- 第六、七节：连接宇宙学。理论必须能解释我们观测到的世界。第六节将讨论对称性破缺。因为我们现实中并没有观测到局域的自旋和标度力，所以这个高度对称的状态必须在宇宙早期"破缺"了，演变成了我们今天这个样子。作者将求解破缺后的宇宙背景解，并发现它由一个"宇宙学矢量"描述。第七节将探讨这个背景解的几何性质，并证明它自然地导出了一个在早期会发生暴胀或收缩的宇宙模型，这与现代宇宙学的主流观点相契合。
- 第八节：量子化与暴胀机制。这是论文的高潮部分。作者将正面迎击最困难的问题：引力的量子化。他将使用路径积分的方法，详细讨论如何处理理论中的冗余自由度（规范固定），并引入"鬼场"来保证量子计算的自洽性。他会分析理论中真正的物理粒子是什么（引力子和自旋子），并讨论理论是否是可重整化的（这是判断一个量子场论是否有意义的关键标准）。最后，他将展示，正是量子效应本身驱动了宇宙的暴胀，并使其自然结束。
- 第九、十节：回归与超越。在展示了新理论的威力之后，作者将回过头来，重新审视它与传统理论的关系。第九节将展示理论可以被改写成一种更简洁的形式，其中引力场扮演着类似"戈德斯-通场"的角色。第十节将明确推导出两种引力方程：一种是爱因斯坦方程的推广，包含了新的效应（如扭转）；另一种是全新的方程。他还将证明，爱因斯坦理论的基石——广义坐标不变性，实际上作为一种隐藏对称性蕴含在他的理论之中。
- 第十一节：总结。最后，对全文进行总结和展望。
这份路线图清晰地展示了一个物理理论从基本假设出发，到建立数学框架，再到解决物理问题（量子化、宇宙学），最后与已有理论建立联系的完整过程，逻辑严谨，环环相扣。
II. 量子场论中的规范对称性与引力场
在标准模型中，物质的基本构成单元是夸克和轻子，它们都是具有半整数自旋的费米子量子场。夸克和轻子之间的三种基本力——电磁、弱和强相互作用——都由规范对称性$U(1)_Y \times SU(2)_l \times SU(3)_c$分别支配。这些对称性群与夸克和轻子的内禀量子数有关。为了一般性地考虑，让我们从一个包含规范相互作用的狄拉克费米子作用量开始：
这里我们使用了定义：
其中${\delta_a}^\mu$是克罗内克符号，$\gamma^a$是狄拉克矩阵。量子场$\psi_n(x)$ (n=1,2,...)表示狄拉克费米子，它们可以是标准模型中的夸克和轻子，而$\mathcal{A}_\mu(x)=g_A\mathcal{A}_\mu^I(x)T^I$ (I=1,2,...)代表规范场，其中$T^I$是规范群G的生成元，$g_A$是规范相互作用的耦合常数。生成元满足群代数$[T^I, T^J]=if^{IJK}T^K$，迹归一化为$\text{tr}T^IT^J=\frac{1}{2}\delta^{IJ}$。$\mathcal{A}_\mu^I$可以被看作是标准模型中规范群$G=U(1)_Y\times SU(2)_l\times SU(3)_c$的伴随表示下的量子规范场。希腊字母$(\mu,\nu=0,1,2,3)$和拉丁字母$(a,b=0,1,2,3)$被用来区分坐标时空和非坐标时空中的四维矢量指标。由于本文讨论的理论基于全局平直和局域平直的时空，希腊和拉丁指标都由常数度规矩阵升降，即$\eta^{\mu\nu}$和$\eta^{ab}$，其符号差为-2，$\eta^{\mu\nu}$或$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$以及$\eta^{ab}$或$\eta_{ab}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$。因此，矢量和张量的标量积是通过与常数度规矩阵$\eta_{\mu\nu}$和$\eta_{ab}$进行缩并得到的，即$\mathcal{A}^\mu\mathcal{A}_\mu=\eta^{\mu\nu}\mathcal{A}_\mu\mathcal{A}_\nu$和$\gamma^a\gamma_a=\eta_{ab}\gamma^a\gamma^b$。我们选择的单位制使得$c=\hbar=1$。
这一部分是论文的技术性起点。作者首先为我们写下了在没有引力的情况下，描述物质（费米子）和力（规范场）的"标准剧本"——量子场论的拉格朗日作用量。理解这个起点，对于明白他后面如何引入引力至关重要。
让我们来解读这个核心公式(1)：𝑆 = ∫ 𝑑^4𝑥 ℒ。物理学中的作用量𝑆是一个描述系统全部动力学信息的量，物理现实会沿着使𝑆取极小值（最小作用量原理）的路径演化。被积分的ℒ是拉格朗日密度，它像一个"配方"，告诉我们宇宙中各种"食材"（场）是如何混合和相互作用的。
这个"配方"ℒ包含两大部分：
- 物质部分：𝛹̅(𝑥)½𝛾^𝑎{𝛿_𝑎}^𝜇𝑖𝐷_𝜇𝛹(𝑥)+𝐻.𝑐.。
- 𝛹(𝑥)：这就是物质的基本构成，比如电子场或夸克场。它是一个狄拉克费米子场。
- 𝛹̅：是𝛹的共轭，它们成对出现，描述粒子的产生和湮灭。
- 𝑖𝐷_𝜇：这是最关键的部分，叫做"协变导数"。它由两项构成：𝑖∂_𝜇代表粒子的自由运动（动能项），而𝒜_𝜇(𝑥)则代表粒子与力的相互作用。如果没有相互作用，𝒜_𝜇为零，这就是一个自由粒子。𝒜_𝜇就是规范场，比如电磁场（光子），它传递相互作用。
- $\gamma^a$：狄拉克矩阵，它们是描述费米子自旋属性的数学工具。
- 力的部分：½𝑔_𝐴^2Tr𝒻_𝜇𝜈(𝑥)𝒻_𝜇′𝜈′(𝑥)。
- $\mathcal{F}_{\mu\nu}$：这是场强张量，由规范场$\mathcal{A}_\mu$计算得出。你可以把它想象成电场和磁场。它描述了力场本身的能量和动力学。例如，在没有电荷的地方，电磁波（光）依然可以传播，这部分就描述了力场自身的行为。
作者还细致地解释了各种符号的含义：
- 两种指标：他特意使用了希腊字母𝜇, 𝜈和拉丁字母𝑎, 𝑏。这是一个伏笔。目前，他用一个克罗内克符号{𝛿_𝑎}^𝜇将它们等同起来，表示此时"坐标时空"和"内部自旋空间"是完全一致的。很快，他就会打破这个等同关系，而这正是引力登场的时刻。
- 对称性群：𝑈(1)_𝑌 × 𝑆𝑈(2)_𝑙 × 𝑆𝑈(3)_𝑐是标准模型的三大支柱，分别对应电磁-弱统一理论中的超荷、弱同位旋，以及强相互作用的"颜色"对称性。规范场𝒜_𝜇就是这些对称性的守护者。
总而言之，公式(1)和(2)是现代粒子物理学的基石。它用一种极其紧凑和优美的数学语言，描述了除引力外所有已知的基本粒子和相互作用。作者从这里开始，就是要告诉我们，这个成功的范式，经过巧妙的推广，同样可以用来描述引力。
该作用量在规范变换$g(x) \in G$下是不变的：
在没有引力相互作用时，该作用量在全局洛伦兹变换下是不变的，其中规范场和狄拉克费米子在平直闵可夫斯基时空中分别变换为洛伦兹群的矢量表示和旋量表示：
其中
这里$\Sigma^{ab}$是旋量表示下自旋群$SP(1,3)\sim SO(1,3)$的生成元，
该作用量在坐标的平行移动变换下也是不变的：
这一部分，作者详细阐述了标准模型作用量所遵守的两种基本对称性：规范对称性和时空对称性（洛伦兹对称性）。正是这两种对称性，构成了我们物理定律的底层逻辑。理解它们的区别，是理解作者核心创新的关键。
- 规范对称性 (公式3)：这是一种内部对称性。
- 想象一个粒子𝛹(𝑥)在时空的每一点𝑥都有一个内部的"表盘"。规范变换𝑔(𝑥)就是在这个表盘上进行一次"旋转"。这个旋转可以是𝑈(1)的相位旋转（对应电磁学），也可以是更复杂的𝑆𝑈(2)或𝑆𝑈(3)旋转（对应弱力和强力）。
- "局域"是这里的关键词，因为变换𝑔(𝑥)依赖于时空点𝑥。这意味着你可以在北京对粒子进行一种旋转，同时在上海进行另一种完全不同的旋转。
- 物理定律（作用量𝑆）要求在这种任意的、局域的内部旋转下保持不变。为了实现这一点，就必须引入一个"联络员"——规范场𝒜_𝜇。当𝛹旋转时，𝒜_𝜇也必须进行相应的、更复杂的变换（如公式3所示），来精确地"抵消"掉这种局域旋转带来的影响，从而保证物理规律的统一性。这个"联络员"就是传递力的粒子。
- 时空对称性 (公式4-7)：这是一种外部对称性，即庞加莱对称性。
- 洛伦兹变换 (公式4)：这描述的是我们从一个惯性参考系（比如地面）切换到另一个惯性参考系（比如高速飞行的火箭）时，我们对物理事件的描述是如何改变的。坐标𝑥^𝜇、矢量场𝐴_𝜇（如电磁四维矢势）和旋量场𝛹（电子场）都会按照特定的规则进行变换。
- "全局"是这里的关键词。变换矩阵$L$是一个常数矩阵，不依赖于时空点$x$。这意味着整个宇宙都必须按照同一种规则进行变换。你不能在北京用一个速度切换参考系，而在上海用另一个速度。
- 自旋的变换 (公式5)：当坐标发生洛伦兹变换时，费米子的自旋状态也必须随之进行相应的变换$S(L)$。$\Sigma^{ab}$是描述自旋变换的数学工具（生成元）。在标准理论中，$S(L)$完全由坐标变换$L$决定，两者是死死绑定的。
- 平移不变性 (公式7)：物理定律不因你在宇宙中的位置而改变。在北京做的实验和在月球上做的实验，遵循相同的物理规律。
作者在这里清晰地展示了传统理论的现状：内部的规范对称性是局域的，而外部的时空对称性是全局的。这种不对称的状况，正是作者试图突破的地方。他即将提出的革命性思想是：我们能否将时空对称性的一部分——即自旋对称性——也提升为一种局域的规范对称性？如果可以，会发生什么？
𝑎^𝜇是常数矢量，并且在坐标和量子场的全局标度变换下也不变：
其中$\lambda$是常数标度因子。 在讨论引力之前，让我们简要分析一下标准模型是如何引入电磁、弱和强相互作用这些基本力的，它们由相应的内禀规范对称性$U(1)_Y \times SU(2)_l \times SU(3)_c$所支配。这些规范对称性实际上反映了刻画夸克和轻子内禀属性的量子数之间的关联。$U(1)_Y$规范群反映了粒子和反粒子的荷量子数，$SU(2)_l$规范群刻画了夸克和轻子两种同位旋量子数之间的对称性，而$SU(3)_c$规范群的引入是为了描述每种味夸克的三种色量子数之间的对称性。 夸克和轻子作为狄拉克费米子，都携带自旋和手征性量子数，这被知晓是由自旋对称性群$SP(1,3) \sim SO(1,3)$来刻画的。在标准模型中，夸克和轻子的这种对称性必须是一个全局对称性，以便它与平直闵可夫斯基时空中坐标的全局洛伦兹对称性$SO(1,3)$相吻合，从而确保狭义相对论中作用量的洛伦兹不变性和协变性。 与为夸克和轻子之间的电磁、弱和强相互作用引入内禀规范对称性$U(1)_Y \times SU(2)_l \times SU(3)_c$相类比，将夸克和轻子的自旋对称性群$SP(1,3)$作为一个内禀规范对称性是自然的，它支配着一种自旋规范相互作用的基本力。相应的自旋规范场和场强定义如下：
其中$g_s$是耦合常数。
这是论文中思想飞跃的转折点。作者在回顾了标准模型的成功逻辑之后，提出了一个极其大胆而又自然而然的类比，这个类比是整个理论的基石。
首先，他补充了另一种全局对称性——标度不变性 (公式8)。在经典理论中，某些物理系统具有这种性质，即如果你把所有长度都放大或缩小一个固定的比例𝜆，物理规律的形式保持不变。这是一种关于尺寸的对称性。和洛伦兹对称性一样，在标准理论中，它也是全局的。
接着，作者进行了一次深刻的"逻辑溯源"。他问：标准模型中的那些力，它们到底是怎么来的？
- 电磁力 (𝑈(1)) 来自于电荷的对称性。
- 弱力 (𝑆𝑈(2)) 来自于弱同位旋的对称性。
- 强力 (𝑆𝑈(3)) 来自于颜色的对称性。
结论是：所有的力都源于物质粒子内禀属性（量子数）的对称性。
然后，作者提出了那个价值连城的问题：粒子还有一个极其重要、极其普遍的内禀属性——自旋。为什么它就特殊呢？ 在标准模型里，自旋对称性 (𝑆𝑃(1,3)) 被迫与坐标的洛伦兹对称性 (𝑆𝑂(1,3)) 保持同步，作为一个全局对称性存在。作者认为，这是一种"人为的限制"。
于是，他做出了那个关键的类比： 既然电荷、同位旋、颜色这些内部量子数的局域对称性可以产生电磁力、弱力和强力，那么，为什么自旋这个内部量子数的局域对称性不能产生一种新的力呢？
这个类比一旦做出，后面的步骤就顺理成章了。作者完全模仿杨-米尔斯理论的"配方"，为这个新的"自旋规范对称性"引入了相应的"力"：
- 自旋规范场 Ω_𝜇(𝑥) (公式9)：这就是传递"自旋力"的粒子，完全对应于传递电磁力的光子𝒜_𝜇。它是一个新的规范场，数学结构由自旋生成元Σ_𝑎𝑏决定。它的出现，就是为了补偿当我们在时空每一点独立"旋转"粒子自旋时对物理规律的破坏。
- 自旋场强 ℛ_𝜇𝜈(𝑥) (公式9)：这对应于电磁场中的电场和磁场，描述了自旋规范场自身的能量和动力学。
通过这个简单的类比，作者打开了一扇全新的大门。他不再将引力视为时空的几何属性，而是将其视为一种源于粒子最基本属性——自旋——的规范相互作用。这使得引力第一次在理论结构上，与其它三种基本力站在了完全平等的地位上。这是一种思想上的深刻解放。
要求作用量在规范场和狄拉克费米子的自旋规范变换$S(x)=e^{i\alpha_{ab}(x)\Sigma^{ab}/2} \in SP(1,3)$下具有$SP(1,3)$规范不变性：
以同样的考虑，我们将把狄拉克费米子的全局标度对称性作为一个局域标度规范对称性。也就是说，狄拉克费米子在局域标度规范变换下变换如下：
而内禀规范场$\mathcal{A}_\mu(x)$和自旋规范场$\Omega_\mu(x)$在局域标度规范变换中保持不变。 类似地，当将量子场的全局标度对称性扩展为一个局域标度规范对称性，但保持坐标的全局标度对称性时，我们将引入外尔规范场 $W(x)$，它支配着一种标度规范相互作用的基本力，并在局域标度规范变换下变换如下：
在上一段提出了将"自旋"规范化的核心思想后，作者在这一段将其付诸于数学实现，并如法炮制，将"标度"也进行了规范化。
1. 自旋的局域规范变换 (公式10) 这是将上一段的物理思想翻译成精确的数学语言。
- 𝛹(𝑥) → 𝑆(𝑥)𝛹(𝑥)：费米子场𝛹在每一点𝑥都可以经历一次独立的自旋"旋转"𝑆(𝑥)。这里的𝑆(𝑥)依赖于𝑥，是局域的，这与之前全局变换中不依赖于𝑥的𝑆(𝐿)形成了鲜明对比。
- $\Omega_\mu(x) \rightarrow \ldots$：为了让物理定律在这种局域旋转下保持不变，我们新引入的自旋规范场$\Omega_\mu$必须进行一种特定的、补偿性的变换。这个变换规则与杨-米尔斯理论中规范场的变换规则完全一样。这再次印证了作者的意图：将自旋力完全纳入规范理论的统一框架。
- $S^{-1}(x)\gamma^a S(x)={\Lambda^a}_b(x)\gamma^b$：这个公式描述了在自旋旋转下，狄拉克矩阵$\gamma^a$是如何变换的。它将变换为一个由${\Lambda^a}_b(x)$描述的新组合。这个${\Lambda^a}_b(x)$是一个依赖于时空点的洛伦兹变换矩阵。
2. 标度的局域规范变换 (公式11, 12) 作者接着对"标度对称性"做了同样的操作。
- 物理思想：之前我们说，全局标度对称性意味着将宇宙万物（包括坐标）的尺寸都统一放大或缩小一个常数比例𝜆，物理规律不变。现在作者提出，我们能否让这种尺寸的缩放也变成局域的？也就是说，在时空的每一点𝑥，我们都可以用一个独立的比例因子𝜉(𝑥)来缩放场的大小，而物理规律依然保持不变。
- 𝛹(𝑥) → 𝜉^{3/2}(𝑥)𝛹(𝑥) (公式11)：费米子场𝛹在每一点𝑥都按照一个局域的比例因子𝜉(𝑥)进行缩放。指数3/2是根据场的量纲决定的，以保证作用量形式的正确性。
- 外尔规范场 𝑊_𝜇(𝑥) (公式12)：同样，为了补偿这种局域的、任意的缩放，必须引入一个新的规范场，作者称之为外尔规范场 𝑊_𝜇。它的变换规律（公式12）是典型的阿贝尔规范场（类似于电磁场）的变换形式。这个场将传递一种与"尺寸"或"标度"相关的新的相互作用。
通过这两步操作，作者已经为他的理论引入了两种新的、源于局域规范原理的相互作用：一种与自旋相关，另一种与标度相关。他坚信，这两种相互作用的结合，就构成了我们所知的引力。
然而，一个巨大的挑战出现了：我们已经将粒子的内部对称性（自旋、标度）与外部坐标的对称性分离开来。那么，我们该如何在一个统一的数学框架里，将这两者重新联系起来，写出一个自洽的物理理论呢？这正是下一段要解决的核心问题。
由于局域标度变换是一个阿贝尔规范对称性，其场强可以简单地由下式给出：
在要求作用量同时在量子场的自旋规范变换和坐标的全局洛伦兹变换下不变，即，保持作用量在平直闵可夫斯基时空中具有狭义相对论的协变形式时，有必要引入一个双协变矢量场，它定义在局域平直的非坐标时空上，并取值于平直闵可夫斯基时空中洛伦兹群$SO(1,3)$的矢量表示中，即：
它在局域自旋和标度规范变换下分别变换为：
并在全局洛伦兹和标度变换下分别变换为：
其中变换满足以下性质：
这是整篇论文在数学构造上最核心、最关键的一步。作者在这里引入了一个全新的数学对象——双协变矢量场 𝜒̂_𝑎{}^𝜇(𝑥)，它正是解决上一段提出的挑战的"钥匙"。这个新场的引入，不是凭空猜测，而是由理论的内在逻辑所必然要求的。
让我们来理解为什么必须引入这个场。我们现在面临一个困境：
- 我们有一个描述粒子运动的动能项，形式上是这样的：$\bar{\psi} \gamma^a \partial_\mu \psi$。
- 问题出在指标上：狄拉克矩阵$\gamma^a$的指标$a$生活在局域的、可以自由旋转的"自旋空间"（作者称之为非坐标时空）。而微分算符$\partial_\mu$的指标$\mu$生活在全局的、刚性的"坐标时空"（闵可夫斯基时空）。
- 这两个指标$a$和$\mu$分属不同的"世界"，它们之间无法直接"求和"或缩并。这就好比你不能把一个美元数和一个欧元数直接相加一样。在之前的标准理论中，这两个世界是锁死的（通过${\delta_a}^\mu$），所以没问题。但现在我们把它们解耦了，就必须找到一个新的"汇率换算机制"。
这个"汇率换算机制"，就是双协变矢量场 𝜒̂_𝑎{}^𝜇(𝑥)。
- 它的名字："双协变"（bicovariant）已经暗示了它的身份。它有两个指标，一个拉丁指标𝑎和一个希腊指标𝜇。它就像一个"翻译官"，一只手伸向自旋空间，另一只手伸向坐标时空，负责在这两个世界之间传递信息。
- 它的数学本质：在每一点𝑥，𝜒̂_𝑎{}^𝜇(𝑥)都是一个4 × 4的矩阵。它把自旋空间的一个基矢量（由指标𝑎标记）映射成坐标空间的一个矢量（由指标𝜇标记）。
- 它的变换性质 (公式15, 16)：这正是它设计的精妙之处。
- 在局域变换下 (公式15)：当我们在内部的自旋空间进行一次旋转Λ_𝑎^𝑏(𝑥)或缩放𝜉(𝑥)时，这个场的拉丁指标𝑎会相应地变换。这保证了它能正确地"感受"到内部空间的变化。
- 在全局变换下 (公式16)：当我们在外部的坐标时空进行一次洛伦兹变换𝐿^𝜇_𝜈时，这个场的希腊指标𝜇会相应地变换。这保证了它在我们的宏观参考系里表现得像一个正常的物理场。
通过引入$\hat{\chi}_a{}^\mu(x)$，我们现在有了一个工具，可以把自旋空间的指标"翻译"成坐标空间的指标，反之亦然。例如，我们可以用它来构造一个新的微分算符 $\hat{\chi}_a{}^\mu(x) \partial_\mu$，这个算符作用在$\psi$上时，可以通过$\gamma^a$与之正确地作用。
这个新引入的场，就是作者理论中的"引力场"的雏形。它不是凭空出现的，而是为了调和"内部局域对称性"和"外部全局对称性"这一对核心矛盾而逻辑上必须存在的产物。它是整个理论大厦的房梁。
将双协变矢量场𝜒̂_𝑎^𝜇(𝑥)视为一种矩阵场，并定义其逆矩阵，我们得到了一个对偶双协变矢量场{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)，它满足以下正交归一条件：
只要$\hat{\chi}_a^\mu(x)$的行列式非零，这样一个双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$就存在，即：
显然，双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$在局域自旋和标度规范变换下分别变换为：
并在全局洛伦兹和标度变换下分别变换为：
这一部分是上一段的技术性延续。作者在引入了核心的"翻译官"𝜒̂_𝑎{}^𝜇(𝑥)之后，现在定义了它的"逆向翻译官"{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)，并阐明了其性质。这为后续构建完整的物理理论（作用量）做好了最后的数学准备。
- 逆矩阵的存在 (公式18, 19)：在数学上，如果一个方阵的行列式不为零，那么它就存在一个唯一的逆矩阵。作者将𝜒̂_𝑎{}^𝜇(𝑥)看作一个4 × 4的矩阵（指标𝑎为行，𝜇为列），并假设其行列式𝜒̂(𝑥)不为零。这个假设在物理上是合理的，它保证了"自旋空间"和"坐标时空"之间的映射是可逆的、非简并的，即信息不会丢失。这个逆矩阵就是{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)。
- 正交归一条件 (公式18)：这两个公式是矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵的数学表述。它们在物理上的意义是，来回进行两次"翻译"（比如从自旋空间到坐标时空，再从坐标时空回到自旋空间），最终会回到原点，不做任何改变。这保证了翻译过程的自洽性。
- 对偶场的变换性质 (公式20, 21)：作者详细列出了这个逆矩阵场{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)在各种对称性变换下的行为。这些变换规则可以通过对𝜒̂_𝑎{}^𝜇(𝑥)的变换规则求逆得到。
- 局域变换 (公式20)：在局域自旋旋转下，{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)的拉丁指标𝑎以相反的方式变换（对比公式15，这里是Λ_𝑏^𝑎而不是Λ_𝑎^𝑏的逆）。在局域标度变换下，它以倒数𝜉^{-1}(𝑥)的方式缩放。这都是作为逆矩阵的必然结果。
- 全局变换 (公式21)：同样，在全局洛伦兹变换下，它的希腊指标𝜇也以相反的方式变换。
现在，我们拥有了一对功能强大的工具：
- 𝜒̂_𝑎{}^𝜇(𝑥)：可以将一个"自旋空间"的矢量（带拉丁指标）转换成一个"坐标时空"的矢量（带希腊指标）。
- {𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)：可以将一个"坐标时空"的矢量（带希腊指标）转换成一个"自旋空间"的矢量（带拉丁指标）。
有了这对"翻译官"，我们现在终于可以弥合内部对称性与外部对称性之间的鸿沟，写出一个在两种变换下都表现良好、逻辑自洽的物理作用量了。在广义相对论中，这个场{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)被称为"标架场"或"四足场"（tetrad/vierbein），它起着连接弯曲时空切空间（局域平直）和坐标流形的作用。作者在这里赋予了它全新的、源于规范原理的物理内涵。
${\chi_\mu}^a(x)$可以被看作是定义在全局平直闵可夫斯基时空上，并取值于局域平直非坐标时空中$SP(1,3)$矢量表示的双协变矢量场，
可见，双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$或其对偶双协变矢量场$\hat{\chi}_a^\mu(x)$在全局平直的坐标闵可夫斯基时空和局域平直的非坐标时空上都以协变形式变换。这里我们想强调，引入双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$是为了与通常用$e_\mu^a(x)$表示的所谓四足场相区别，后者在爱因斯坦的广义相对论中被要求是在广义坐标变换下的一个广义协变矢量场。双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$将被证明构成局域平直非坐标时空的一个基底，以及在全局平直闵可夫斯基坐标时空中的一个基本引力场。 根据以上分析，我们将能够构建一个在量子场的局域自旋和标度规范变换下不变，并且也在坐标的全局洛伦兹和标度变换下不变的作用量。让我们首先检验一下狄拉克费米子的作用量，因为目前已知的自然界构成单元是夸克和轻子。该作用量可以简单地写成如下形式：
其中定义为
以及
其中$\mathcal{D}_\mu$是包含了通常的内禀规范对称性和自旋规范对称性的协变导数，而$D_\mu$是只包含通常内禀规范对称性的导数。很容易证明，上述作用量在通常的内禀和自旋规范变换下，以及在平直闵可夫斯基时空中的全局洛伦兹和标度变换下都是不变的。有趣的是，作用量的厄米性自动确保了在标度规范变换下的不变性，这意味着标度规范场由于厄米性的要求，实际上与费米子场没有相互作用。
这是第二节和第三节开头的总结性段落，也是作者理论构建的第一个里程碑。在完成了所有必要的数学铺垫之后，作者终于写下了他理论中第一个具体的物理方程——包含新型引力相互作用的费米子作用量𝑆_𝐹（公式23）。
首先，作者再次强调了他的新场{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)与广义相对论中的四足场𝑒_𝜇^𝑎(𝑥)的根本区别。虽然它们在形式上很像，但"出身"完全不同。爱因斯坦的四足场是为了适应"广义坐标不变性"这个几何原理而引入的。而作者的{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)（他称之为引力场）则是为了满足"局域自旋规范不变性"这个量子场论原理而引入的。前者服务于几何，后者服务于规范对称性。
接下来，我们来剖析这个核心的作用量公式 (23)。这个公式宣告了物质（费米子𝛹）是如何在作者的新引力理论中运动和相互作用的。
- ∫ 𝑑^4𝑥 𝜒(𝑥) …：积分项前面的𝜒(𝑥)是引力场矩阵的行列式。在广义相对论中，类似的位置是√-𝑔，代表了弯曲时空中的体积元。在这里，它扮演着类似的角色，但其起源是动力学的引力场，而非时空几何。
- 𝛹̅(𝑥) 𝜒̂^𝜇(𝑥) 𝑖𝒟_𝜇 𝛹(𝑥)：这是作用量的核心。让我们与没有引力时的𝛹̅ 𝛾^𝜇 𝑖𝐷_𝜇 𝛹对比一下。
- 关键的改变：原来的$\gamma^\mu$被替换成了$\hat{\chi}^\mu(x) \equiv \frac{1}{2}\gamma^a \hat{\chi}_a{}^\mu(x)$。这正是"翻译官"起作用的地方！微分算符$\mathcal{D}_\mu$带着坐标时空的希腊指标$\mu$，通过引力场$\hat{\chi}_a{}^\mu(x)$，这个指标被"翻译"成了自旋空间的拉丁指标$a$，从而可以与狄拉克矩阵$\gamma^a$正确地作用。引力相互作用，就蕴含在这个"翻译"过程之中。
- 全新的协变导数 (公式25)：协变导数𝒟_𝜇现在包含了三部分：
- 𝑖∂_𝜇：自由运动。
- 𝒜_𝜇(𝑥)：与标准模型三种力的相互作用。
- Ω_𝜇(𝑥)：与新的自旋规范场的相互作用。
这个协变导数的结构深刻地体现了作者的统一思想：从一个费米子的视角看，它感受到的所有力（标准模型力 + 新的自旋力）都被平等地、统一地包含在一个总的协变导数$\mathcal{D}_\mu$之中。这在数学上实现了将引力（的自旋部分）与其他三种力"置于同等地位"的承诺。
最后，作者指出了一个有趣的技术细节：由于作用量必须是厄米的（物理上要求概率守恒），这自动导致了标度规范场𝑊_𝜇与费米子没有直接的相互作用。这是一个理论自身的内在约束给出的非平庸预言。
至此，作者已经成功地为物质如何在他的新引力理论中运动和相互作用，给出了一个自洽的、满足所有他提出的对称性要求的数学描述。这是构建整个理论大厦的第一块坚实基石。
III. 引力场时空与引力规范理论
这不同于规范化费米子场的通常内禀对称性，例如夸克的同位旋和色对称性。当在平直的坐标闵可夫斯基时空中规范化费米子场的自旋和标度对称性时，双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$或其逆$\hat{\chi}_a^\mu(x)$是一个关键的组成部分，目的是为了区分费米子场的局域自旋和标度规范变换与坐标的全局洛伦兹和标度变换。我们将展示，双协变矢量场${\chi_\mu}^a(x)$是刻画引力相互作用的一个基本场。
这一小段是第三部分的开场白，作者在这里再次强调了他理论中最核心、最具原创性的思想，并为本章即将展开的内容定下了基调。
他首先做了一个非常重要的对比，以凸显自己工作的独特性：
- 规范化"通常的"内禀对称性：比如标准模型中的颜色（𝑆𝑈(3)）或同位旋（𝑆𝑈(2)）。这些对称性是纯粹"内部"的。一个夸克的颜色从"红"变成"蓝"，这与它在时空中的位置、速度或我们观察它的参考系完全无关。因此，规范化这些对称性，只需要引入相应的规范场（如胶子）就足够了。
- 规范化"自旋和标度"对称性：这两种对称性在传统观念里，是与时空紧密相关的。自旋的朝向依赖于你的参考系，物体的尺度也与坐标的定义有关。
作者的理论之所以新颖和复杂，正在于他试图规范化的对象，恰恰是这些传统上被认为是"时空属性"的对称性。他坚持将它们视为粒子的"内禀属性"来进行处理。
这就带来了一个必然的后果，也是他理论的关键：必须引入一个"中间人"来调和内部空间和外部时空的矛盾。这个"中间人"就是他反复强调的双协变矢量场 {𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)。它的使命，就是作为一个"缓冲"和"翻译"，使得我们可以在不干扰外部全局时空对称性（狭义相对论）的前提下，自由地在内部对粒子的自旋和标度进行局域变换。
因此，{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)不仅仅是一个数学工具，作者在这里明确宣告，它本身就是一个基本的物理场，是引力相互作用的载体。在爱因斯坦的理论中，引力的载体是时空度规𝑔_𝜇𝜈，它描述时空的弯曲。而在作者的理论中，引力的载体是这个"翻译场"{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)，它描述了内部自旋/标度空间与外部坐标时空之间的动力学关联。
本章接下来的内容，就是要围绕这个核心的引力场{𝜒_𝜇}^𝑎(𝑥)，来构建一个全新的时空图景（引力场时空）和一套完整的引力理论（引力规范理论）。