因此，我们必须认为 $C^{12}(p,pn)$ 的截面或 $Al^{27}(p,3pn)$ 的截面（或两者）的绝对值存在误差。我们相当随意地选择将我们的数据基于在420兆电子伏特下 $Al^{27}(p,3pn)$ 截面的10.8毫靶值。
段落解读：
这段话是在讨论一个核物理实验的数据处理问题。想象一下，物理学家们用高能质子去撞击碳原子核（$C^{12}$），想看看撞击后产生碳11（$C^{11}$）的概率有多大。这个概率就叫做“反应截面”，你可以把它理解成原子核的“靶子”面积，面积越大，反应就越容易发生。但是，要精确测量这个“靶子”面积很难，通常需要一个“标准参照物”来校准。这里，他们用了另一个已知的反应——质子撞击铝原子核（$Al^{27}$）——作为参照。然而，他们发现如果用这个参照物，算出来的碳反应截面和别人的结果对不上。所以，作者在这里坦诚地说明，他们的数据是建立在假设“铝反应截面是10.8毫靶”这个值是准确的基础上的。这体现了科学研究中的严谨性：明确说明自己数据分析的前提和可能的不确定性来源。
图1显示，$C^{12}(p,pn)C^{11}$ 反应的截面在这里研究的能量范围内，是入射质子能量的一个相当不敏感的函数。由于在从铝产生 $Na^{24}$、$Na^{12}$ 和 $F^{18}$ 以及从碳形成 $Be^{7}$ 的研究中也发现了类似的结果，因此，从一个小数目原子核中逐出一个小数目核子的概率，在一个从几百兆电子伏特到至少3千兆电子伏特的轰击能量范围内，基本上保持恒定，这似乎是普遍成立的。这意味着，入射粒子在与原子核的初始相互作用中留下相对较少能量（约100兆电子伏特）的概率，在所研究的宽能量范围内是相对恒定的。然而，在这个能量范围内，介子的产生随能量非常显著地增加，并成为一个可能的过程。如果原子核很大，这些介子将有很大机会在它们产生的原子核内部被重新吸收。这将导致总能量沉积谱中的最大值向更高值移动，而只有少数粒子被逐出的反应将变得不那么可能。这种效应在我们对较重原子核的研究中已经被观察到。然而，在一个小原子核中，介子的再吸收将是一种不那么重要的沉积激发能的模式，因为它们的逃逸概率更大。因此，似乎可以合理解释的是，尽管介子过程日益占主导地位会降低重靶核中相对简单反应的截面，但轻核的类似反应的截面几乎保持不变。
段落解读：
这段是对实验结果的核心分析。首先，他们观察到一个有趣的现象（如图1所示）：当你用能量越来越高的质子去撞击碳原子核时，把它撞掉一个质子和一个中子（$(p,pn)$反应）的概率（截面）并没有太大变化。这就像你扔一个球去砸一个西瓜，无论你用多大的力气（在一定的高能量范围内），只要能砸开，从里面溅出几颗瓜子的概率是差不多的。他们发现这个规律不仅对碳有效，对其他比较轻的原子核也一样。
作者对此的解释非常精彩，涉及到原子核的大小。当质子撞击原子核时，能量很高，除了撞出质子、中子（统称核子），还可能产生一种叫“介子”的新粒子。关键区别在于：
这个解释巧妙地说明了原子核的大小如何影响高能碰撞的结果，解释了为什么轻核和重核在高能粒子面前表现出不同的行为。
我们衷心感谢宇宙加速器（Cosmotron）操作人员的帮助。
作者: 杨振宁 (C. N. YANG)† 与 罗伯特·米尔斯 (R. L. MILLS)
机构: 布鲁克海文国家实验室，厄普顿，纽约
（收到于1954年6月28日）
本文指出，通常的同位旋旋转下的不变性原理与定域场的概念是不一致的。我们探讨了在定域同位旋旋转下保持不变性的可能性。这引出了同位旋规范不变性原理的建立，以及一个 b 场的存在，该场与同位旋的关系，就如同电磁场与电荷的关系一样。b 场满足非线性微分方程。b 场的量子是自旋为1、同位旋为1、电荷为+e、-e或0的粒子。
摘要解读：
这篇摘要是整个物理学领域的一座里程碑。让我们用一个比喻来理解它。想象物理学定律是一本宇宙通用的“说明书”。
“通常的同位旋旋转下的不变性原理”：在当时的物理学家看来，质子和中子就像是同一个硬币的两个面，他们给这个“硬币”起了个名字叫“核子”，用一个叫做“同位旋”的箭头来表示它朝上（比如是质子）还是朝下（比如是中子）。当时的理论认为，只要你把宇宙中“所有”的这种箭头“一起”旋转一个角度（比如，你重新定义，箭头朝这个新方向的叫质子），物理规律“说明书”是不会改变的。这就像你在地球上，把所有的地图都一起旋转一下，地图本身还是对的。这是一种“全局”的对称性。
“与定域场的概念是不一致的”：这是杨振宁和米尔斯发现的深刻矛盾。爱因斯坦的理论告诉我们，物理学应该是“定域”的，意思是说，在一个地方发生的事情只直接影响它周围的地方。那么，凭什么我在地球上重新定义了质子，远在仙女座星系的一个外星人也要“立刻”跟着我一起改呢？这违反了定域性原理。这就像你不能要求，你家里的钟调快一小时，全世界所有的钟都得瞬间跟着你一起调快。
“探讨了在定域同位旋旋转下保持不变性的可能性”：他们提出了一个大胆的想法：如果我们要求，在宇宙的“每一个点”，都可以“独立地”、“自由地”去定义哪个是质子、哪个是中子，那么物理“说明书”要怎么写才能保持不变呢？
“引出了同位旋规范不变性原理的建立，以及一个 b 场的存在”：这是他们给出的答案。为了让每个点都能自由选择自己的“质子方向”而物理规律不变，就必须引入一种新的“力场”（他们称之为 b 场，也就是后来的杨-米尔斯场）。这个场的作用，就像是一个“联络员”，负责协调不同地点之间“质子方向”的定义差异，从而保证物理规律的统一。这个思想，完全是模仿电磁场来的。在电磁学里，每个带电粒子波函数的相位可以在时空每一点自由选择，为了抵消这种自由选择带来的不一致，必须引入电磁场。所以，b 场与同位旋的关系，就如同电磁场与电荷的关系一样。这是一个全新的、描述强相互作用（把质子和中子捆绑在原子核里的力）和弱相互作用的数学框架。
“b 场满足非线性微分方程...量子是自旋为1...”：这个新力场的数学方程（麦克斯韦方程组的推广）是“非线性”的，这意味着这个场的粒子（比如传递强作用力的胶子）之间会相互作用，这和光子（电磁场的量子）之间不直接作用完全不同，也解释了为什么强作用力那么复杂。这些传递力的粒子，自旋为1，跟光子一样。
近年来，同位旋守恒是一个被广泛讨论的概念。历史上，同位旋参数首先由海森堡在1932年引入，用以描述核子的两种电荷状态（即中子和质子）。中子和质子对应于同一粒子的两种状态的观点在当时被提出，是因为它们的质量几乎相等，并且轻的稳定偶核包含相同数量的中子和质子。然后在1937年，布赖特、康登和普雷森特指出了在 $^1S$ 态下，$p-p$（质子-质子）和 $n-p$（中子-质子）相互作用的近似相等性。假设这种相等性在 $n-p$ 和 $p-p$ 系统都可及的其他态中也成立，似乎是自然的。在这样的假设下，人们得出了在核子-核子相互作用中总同位旋守恒的概念。近年来关于轻核能级的实验强烈表明，这一假设确实是正确的。这意味着所有强相互作用，例如π介子-核子相互作用，也必须满足相同的守恒定律。这一点，加上我们知道π介子有三种电荷态，并且π介子可以单个地与核子场耦合，得出的结论是π介子具有单位同位旋。这一结论的直接验证来自希尔德布兰德的实验，该实验比较了过程 $n+p\rightarrow\pi^{0}+d$ 的微分截面与先前测量的过程 $p+p\rightarrow\pi^{+}+d$ 的微分截面。
段落解读：
这一段是在回顾“同位旋”这个概念是怎么来的，以及为什么物理学家们相信它是守恒的。你可以把这看作是论文的“历史背景介绍”部分。
故事开始于1932年，伟大的物理学家海森堡（就是提出“不确定性原理”的那位）发现质子和中子的质量惊人地接近。他想，这会不会不是巧合？也许它们根本就不是两种完全不同的粒子，而是同一种粒子“核子”的两种不同“状态”？就像一个硬币，正面是质子，反面是中子。为了描述这种状态，他引入了一个数学工具，叫做“同位旋”。“同位旋”这个名字有点误导，它和我们平时说的旋转没什么关系，只是数学形式上很像描述自旋的数学而已。你可以把它想象成一个箭头，箭头朝上代表质子，朝下代表中子。
后来，更多的证据浮现了。物理学家发现，把原子核里的质子和中子之间的力（强相互作用力）拿出来比较，发现质子和质子之间的力，与质子和中子之间的力，强度几乎一模一样（除去电磁力之后）。这进一步支持了“质子和中子是同一粒子两面”的看法。如果强作用力“看不出”质子和中子的区别，那么在只有强作用力参与的过程中，这个“同位旋箭头”的总指向和总长度就应该是守恒的。这就好比动量守恒：如果一个系统不受外力，总动量就不会变。在这里，如果强作用力不改变“同位旋”，那么在强相互作用中，总同位旋就守恒。
最后，这个想法被实验完美证实。比如，一个中子和一个质子碰撞，可以产生一个π零介子和一个氘核（$n+p\rightarrow\pi^{0}+d$）；两个质子碰撞，可以产生一个π正介子和一个氘核（$p+p\rightarrow\pi^{+}+d$）。通过同位旋守恒定律，物理学家可以精确地预测这两个反应发生的概率关系，而实验测量结果与预测完全吻合。这使得同位旋守恒从一个漂亮的猜想，变成了描述强相互作用的一条基本定律。
同位旋的守恒与在同位旋旋转下所有相互作用保持不变的要求是等同的。这意味着，当我们忽略电磁相互作用时（我们此后将假设如此），同位旋的方向没有物理意义。区分中子和质子因而是一个纯粹任意的过程。然而，通常的看法是，这种任意性受到以下限制：一旦在某个时空点选择好了什么叫质子、什么叫中子，那么在其他的时空点就不能自由地做任何选择了。
段落解读：
这一段开始切入本文的核心矛盾，也就是旧理论的“不完美之处”。
“同位旋守恒”听起来很物理，但它背后有一个更深刻的哲学思想，叫做“对称性”或“不变性”。物理定律的美妙之处就在于对称性。比如，物理定律在空间平移下是对称的（在这里做实验和在10米外做实验，定律不变），这导致了动量守恒。同样，“同位旋守恒”等价于说，物理定律（特指强相互作用）在“同位旋空间”的旋转下是不变的。
那个“同位旋箭头”可以在一个抽象的空间里指向任意方向。强作用力定律不依赖于这个箭头的具体指向。这就像牛顿的万有引力定律不依赖于你的实验室是朝东还是朝南一样。因此，到底把“箭头朝上”定义为质子，还是把“箭头朝某个斜上方45度角”定义为质子，完全是“任意”的，是人为的约定，不影响物理结果。
但是，旧理论在这里有一个“霸王条款”：这种任意性是“全局”的。意思是，你可以在开始做物理研究前，为“整个宇宙”选定一个统一的“质子方向标准”。一旦你选定了（比如你规定，同位旋箭头指向北极星方向的叫质子），那么全宇宙的每一个角落，都必须遵守这个统一标准，不能再变了。这就是“一旦在某个时空点选择好...在其他的时空点就不能自由地做任何选择了”。
杨振宁和米尔斯在这里敏锐地嗅到了一丝“不对劲”的味道。这个“全局统一标准”的要求，听起来像是一种“超距作用”，与现代物理学的“定域性”精神格格不入。这正是他们要挑战的旧观念。
这似乎与通常物理理论基础的定域场概念不一致。在本文中，我们希望探讨这样一种可能性，即要求所有相互作用在所有时空点的同位旋独立旋转下保持不变，从而使得两个时空点之间同位旋的相对取向成为一个没有物理意义的量（电磁场被忽略）。
段落解读：
这一段是论文的“宣言”，正式提出了革命性的新思想。
作者明确指出了旧理论的“病根”：那个“全局统一标准”的要求，违背了“定域场”的概念。什么是“定域场”？这是从法拉第、麦克斯韦到爱因斯坦一脉相承的核心思想，即宇宙中没有“鬼魅般的超距作用”。一个地方发生的事，只能影响到它紧邻的周边，然后像涟漪一样一圈圈扩散出去，最快的速度是光速。你不可能在地球上动一下开关，就瞬间改变月亮上的某个场的值。
既然如此，旧的同位旋理论就显得非常可疑。它要求你在A点定义了质子，B点（不管多远）的定义就立刻被锁定了。这不就是超距作用吗？
于是，作者提出了一个大胆得多的新要求，这就是“定域对称性”：我们能不能让物理定律更强大、更优美，以至于在宇宙的“每一个点”，我们都可以“独立地”、“随心所欲地”旋转同位旋坐标轴来定义什么是质子？如果即便在这种极端自由的情况下，物理定律的形式依然保持不变，那这条定律就拥有了更深刻的对称性。
在这个新的图景里，A点的“质子方向”和B点的“质子方向”之间的“相对角度”本身是毫无意义的，因为每个点都可以自己说了算。这就好比每个国家都可以自由定义自己的货币（人民币、美元、欧元），货币之间的“汇率”是可以变化的，而不是规定全世界必须使用同一种货币。那么，为了在这种“自由”之下还能进行全球贸易，就需要一个“金融体系”（比如银行、汇率机制）来协调。同样，为了在每个点都能自由定义质子的情况下物理学还能正常工作，也需要一个新的机制来协调，而这个机制，就是即将登场的“规范场”。
我们希望指出，一个完全相似的情况出现在一个由复数波函数 $\psi$ 描述的带电场的普通规范不变性中。规范的改变意味着相位的改变 $\psi\rightarrow\psi^{\prime}$，$\psi^{\prime}=(exp\,i\alpha)\psi$，这种改变没有任何物理后果。由于 $\alpha$ 可以依赖于 $x, y, z$ 和 $t$，因此在两个不同时空点的 $\psi$ 的相对相位因子是完全任意的。换句话说，选择相位因子的任意性是定域的。
段落解读：
为了让读者理解他们那个看似疯狂的想法，杨和米尔斯在这里举了一个已经存在于物理学中的、完全类似的例子——电磁学中的“规范不变性”。这是天才的一步，因为它告诉人们：我们不是在凭空想象，而是在推广一个已经被证明非常成功的思想。
在量子力学中，一个带电粒子（比如电子）由一个“波函数” $\psi$ 来描述。波函数是一个复数，它既有大小（振幅），也有方向（相位）。我们知道，波函数的绝对值平方 $|\psi|^2$ 代表粒子在某处出现的概率，这是可以测量的。但是，波函数的“相位”本身是无法直接测量的。你可以把波函数 $\psi$ 想象成一个时钟的指针，指针的长度是固定的（振幅），但它可以指向任何方向（相位）。
电磁学的“规范不变性”说的就是：你可以把这个“时钟”的指针在“每一个时空点”都“独立地”旋转任意一个角度 $\alpha(x,y,z,t)$，而所有你能测量的物理结果（比如概率、能量）都完全不受影响。$\psi$ 变成 $\psi' = e^{i\alpha}\psi$（在复平面上旋转一个角度 $\alpha$），这就是一次“规范变换”。因为这个旋转角 $\alpha$ 可以随地点和时间变化，所以这种对称性是“定域”的。
作者在这里强调：看吧，在电磁学里，我们早就接受了“每个时空点都可以有自己独立的、任意的相位选择”这个事实。我们现在想对同位旋做的，不过是把电磁学里对“相位”的这种定域自由，推广到同位旋的“方向”上而已。这个类比，为他们即将引入的新力场铺平了道路。
我们定义同位旋规范为在所有时空点选择同位旋轴方向的任意方式，这与电磁规范代表在所有时空点选择带电场的复相位因子的任意方式相类似。然后我们提议，所有物理过程（不涉及电磁场）在一个同位旋规范变换下是不变的，即 $\psi\rightarrow\psi^{\prime}$，$\psi^{\prime}=S^{-1}\psi$，其中S代表一个依赖于时空的同位旋旋转。
段落解读：
在上一段用电磁学做了类比之后，这一段就正式提出了核心概念和要求。
首先，他们给自己的新思想起了个名字，叫做“同位旋规范”（Isotopic Gauge）。这个名字就是从电磁学的“电磁规范”（Electromagnetic Gauge）直接借鉴过来的。“规范”（Gauge）这个词，在物理学里特指这种可以在时空每一点自由选择的、不影响物理实在的“标尺”或“约定”。
然后，他们提出了这篇论文最核心的物理原理，可以称之为“同位旋规范不变性原理”：所有（强相互作用的）物理过程，必须在“同位旋规范变换”下保持不变。
这里的变换 $\psi' = S^{-1}\psi$ 就是对描述核子（或其他带同位旋的粒子）的波函数 $\psi$ 进行一次“旋转”。关键在于，这个旋转操作 $S$ 本身是依赖于时空坐标 $(x,y,z,t)$ 的，这就是“定域”的含义。$S$ 是一个数学对象（一个2x2的幺正矩阵），它在每个时空点都可以是不同的，代表了在那个点的同位旋空间里做了一个独特的旋转。
这个原理是一个极强的要求。它意味着，无论你在宇宙的哪个角落，以何种方式去定义质子和中子，描述强相互作用的物理方程都应该长得一模一样。这是一种深刻得多的对称性，它将引出必然的物理结果。
为了保持不变性，我们注意到在电动力学中，有必要通过引入电磁场 $A_{\mu}$ 来抵消 $\alpha$ 随 $x,y,z,t$ 的变化，该电磁场在规范变换下的变化为：
$$A_{\mu}' = A_{\mu} + \frac{1}{e}\frac{\partial\alpha}{\partial x_{\mu}}$$以完全类似的方式，我们在同位旋规范变换的情况下引入一个B场，以抵消S对 $x,y,z,t$ 的依赖性。我们将看到，这种自然的推广几乎没有留下任何任意性。由我们称之为b场的B场的十二个独立分量所满足的场方程，以及它们与任何具有同位旋的场的相互作用，都被本质上确定了，这与自由电磁场及其与带电场的相互作用由规范不变性要求本质上确定的方式非常相似。
段落解读：
这一段揭示了实现“定域不变性”的“代价”和“回报”。
作者继续沿着与电磁学的类比进行推理。在电磁学里，如果你对电子的波函数做了一个随时间和空间变化的相位旋转（规范变换），那么包含导数项（比如动能项）的物理方程就会出现一些“多余的、不想要”的项，导致方程形式发生改变，不变性就被破坏了。然而，物理学家发现了一个绝妙的解决方法：如果在宇宙中预先存在一个“电磁场”$A_\mu$（它包含了电势和磁矢势），并且规定当波函数做相位旋转时，这个电磁场也必须按照上面公式（$A'_\mu = ...$）的方式跟着一起“变身”，那么它“变身”后产生的新项，会“恰好地”、“完美地”抵消掉波函数那边产生的“多余项”，最终使得整个物理方程的形式保持不变！
结论就是：要求“定域相位不变性”，其逻辑上的必然结果就是“必须存在电磁场”。电磁场是定域规范对称性的守护者。
杨和米尔斯将此逻辑完美地移植过来：
要求“定域同位旋不变性”，其逻辑上的必然结果就是“必须存在一个新的规范场”，他们称之为B场（其量子是b场粒子）。
这个B场就是那个“联络员”，专门负责抵消掉在每个点自由旋转同位旋方向所带来的“破坏”。这种推广惊人地“自然”，而且几乎是唯一的选择。一旦你接受了定域同位旋不变性这个原理，那么这个新力场应该长什么样，它应该如何与质子、中子等粒子相互作用，其数学形式基本上就被完全确定下来了，就像拼图一样严丝合缝。这就是对称性原理的巨大威力：它不是去“解释”力的存在，而是从一个更基本的哲学原理出发，“预言”了力的必然存在和其形式。
在接下来的两节中，我们记下上面讨论的同位旋规范不变性思想的数学表述。然后我们继续对b场的场方程进行量子化。在最后一节，我们讨论了b场量子的性质。
段落解读：
这是论文的路线图。作者告诉读者接下来要做什么：首先，用严格的数学语言把前面那些思想写下来；然后，像处理其他场（如电磁场）一样，对这个新的b场进行“量子化”，看看这个场的“粒子”是什么样子的；最后，讨论一下这些新粒子的性质（比如质量、电荷、自旋等）。
让 $\psi$ 是一个描述具有 $1/2$ 同位旋场的两分量波函数。在同位旋规范变换下，它变换为：
$$\psi = S\psi' \quad (1)$$1. 直觉目的：这个公式定义了最基本的操作：如何对一个“核子”的波函数进行“同位旋旋转”。这是整个理论的出发点。
2. 符号释义：
3. 逻辑骨架：这是一个标准的线性变换。它声明了在新的“坐标系”下看粒子($\psi'$)，和在旧的“坐标系”下看粒子($\psi$)，两者是通过一个旋转矩阵 $S$ 联系起来的。这和你在线性代数里学的坐标变换是完全一样的道理，只不过这里的“坐标系”是在抽象的“同位旋空间”里。
4. 关系网络：
根据前一节的讨论，我们要求，与电磁情况类似，$\psi$ 的所有导数都以下列组合形式出现：
$$(\partial_{\mu}-i\epsilon B_{\mu})\psi$$$B_{\mu}$ 是 $2\times2$ 矩阵，对于 $\mu=1,2,3$，$B_{\mu}$ 是厄米矩阵，而 $B_{4}$ 是反厄米矩阵。不变性要求：
$$S(\partial_{\mu}-i\epsilon{B_{\mu}'})\psi'=(\partial_{\mu}-i\epsilon B_{\mu})\psi \quad (2)$$1. 直觉目的：这个公式是实现“定域不变性”的核心技巧。它定义了一个新的“导数”，叫做“协变导数”，并要求这个新的导数在同位旋旋转下，其整体变换方式要像波函数 $\psi$ 本身一样简单。这是确保物理方程形式不变的关键一步。
2. 符号释义：
3. 逻辑骨架：这个等式是一个定义性的要求。它不是被推导出来的，而是作为一个基本原理被提出来的。这个原理规定了协变导数应该具有什么样的变换性质，才能保证物理定律的不变性。
4. 关系网络：
结合(1)和(2)，我们得到 $B_{\mu}$ 的同位旋规范变换：
$${B_{\mu}'}=S^{-1}B_{\mu}S+\frac{i}{\epsilon}S^{-1}\frac{\partial S}{\partial x_{\mu}} \quad (3)$$1. 直觉目的：这个公式告诉我们，作为“补偿场”的 $B_\mu$ 应该如何“变身”，才能完美地完成它的补偿任务。这个“变身”规则是整个理论的动力学核心。
2. 符号释义：
3. 逻辑骨架：这个公式是从公式(2)和公式(1)中直接推导出来的。它不是一个假设，而是前两个原理的必然数学结果。它的结构（旋转项 + 平移项）揭示了杨-米尔斯场的两个重要特性：1. 场本身也带“荷”（这里的荷是同位旋）；2. 它的存在是为了保证定域规范不变性。
4. 关系网络：
最后一项类似于电磁势规范变换中的梯度项。为了类比在电磁情况下获得规范不变场强的方法，我们现在定义：
$$F_{\mu\nu}=\frac{\partial B_{\mu}}{\partial x_{\nu}}-\frac{\partial B_{\nu}}{\partial x_{\mu}}+i\epsilon(B_{\mu}B_{\nu}-B_{\nu}B_{\mu}) \quad (4)$$人们可以轻易地从(3)证明：
$${F_{\mu\nu}'}=S^{-1}F_{\mu\nu}S \quad (5)$$1. 直觉目的：$B_\mu$ 场像电磁学中的“势”（电势和磁矢势），它不是直接能测量的物理量。我们需要从它构造出真正能测量的、有物理意义的“场”，就像从电势和磁矢势可以计算出电场和磁场一样。公式(4)就是用来定义这个物理场 $F_{\mu\nu}$ 的，它相当于杨-米尔斯理论里的“电场”和“磁场”的集合。公式(5)则说明了这个物理场 $F_{\mu\nu}$ 具有非常好的变换性质，确保了它是“物理的”。
2. 符号释义：
3. 逻辑骨架：公式(4)是基于与电磁学的类比和数学上的简洁性要求而“构造”出来的。物理学家发现，只有构造成这样，它才能在公式(3)的变换下具有公式(5)这种漂亮的“协变”性质。这个构造是天才的洞见。
4. 关系网络：
为了写下b场的场方程，我们显然只想使用同位旋规范不变的量。因此，类比电磁情况，我们写下以下的拉格朗日密度：
$$-\frac{1}{4}f_{\mu\nu}\cdot f_{\mu\nu}$$由于包含一个具有同位旋的场是说明性的，并且不会使事情复杂化很多，我们将使用以下的总拉格朗日密度：
$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}f_{\mu\nu}\cdot f_{\mu\nu}-\overline{\psi}\gamma_{\mu}(\partial_{\mu}-i\epsilon\tau\cdot b_{\mu})\psi-m\overline{\psi}\psi \quad (11)$$1. 直觉目的：这个公式是整个杨-米尔斯理论的“宪法”。在现代物理学中，所有的基本定律都可以从一个叫做“拉格朗日量”（$\mathcal{L}$）的单一表达式中推导出来。这个公式就写出了包含核子（$\psi$）和新的规范场（$b_\mu$）的系统的总拉格朗日量。它像一个浓缩的密码本，包含了这两种粒子如何运动、如何相互作用的全部信息。
2. 符号释义：
3. 逻辑骨架：这个拉格朗日量由三部分组成：纯规范场的能量 + 核子场的能量和相互作用能 + 核子场的质量能。每一项都是根据对称性原理（洛伦兹不变性和同位旋规范不变性）精心构造的。通过对这个 $\mathcal{L}$ 应用最小作用量原理（变分法），就可以推导出所有相关的运动方程，即下面的公式(12)。
4. 关系网络：
我们接下来讨论b量子的质量问题，对此我们没有一个满意的答案。有人可能会说，没有核子场，拉格朗日量中将不包含任何具有质量量纲的量，因此在这种情况下b量子的质量为零。然而，这个论点受到了这样的批评：像所有场论一样，b场也充满了发散，量纲分析并不能令人满意。
段落解读：
这里触及了杨-米尔斯理论在当时面临的一个巨大难题：规范粒子的质量问题。作者们非常诚实地承认了这一点。
从理论的对称性出发，最自然、最简单的结论是，传递力的规范粒子（b量子）的质量应该是零，就像传递电磁力的光子一样。因为一旦你在拉格朗日量里手动加入一个质量项，就会立刻破坏理论赖以建立的基石——定域规范不变性。所以，理论本身强烈“暗示”b量子是零质量的。
但这立刻就与实验事实产生了尖锐的矛盾。我们知道，强相互作用和弱相互作用都是短程力，这意味着传递它们的粒子必须有质量。如果它们是零质量的，那么力的作用范围就应该是无穷远，就像电磁力一样。我们从未在实验中观测到过零质量的、带“同位旋荷”的粒子。
作者在这里提到了理论中的“发散”（无穷大）问题，暗示也许通过某种更复杂的量子效应（重整化），质量可以被“创造”出来。但当时他们并没有找到解决方法。这个质量问题，成为了杨-米尔斯理论发展道路上的一大障碍，困扰了物理学界近20年，直到后来希格斯机制的提出，才通过“对称性自发破缺”的方式完美地解决了这个问题，并预言了希格斯玻色子的存在。这篇开创性的论文，也为后来的标准模型的建立埋下了最重要的基石和最棘手的难题。