现代物理学的基石之一是粒子物理学的标准模型，它以惊人的精度描述了构成我们宇宙的基本粒子及其相互作用。在该模型的核心，量子色动力学（Quantum Chromodynamics, QCD）作为描述强核力的规范场论，占据了中心地位 1。强核力将夸克和胶子束缚在一起，形成了质子和中子等重子，并最终构成了原子核。然而，QCD的一个显著特征是其在低能尺度下的非微扰性质，这使得传统的微扰论方法失效。为了探索这一领域，格点规范理论（Lattice Gauge Theory），特别是格点QCD，应运而生，并成为过去几十年来研究非微扰QCD的主要计算工具 3。通过将时空离散化为一个四维欧几里得格点，格点QCD能够通过大规模蒙特卡洛模拟来计算强子质量谱等静态物理量，并取得了巨大的成功。
尽管格点QCD取得了辉煌的成就，但其理论框架和计算方法内在地存在一些根本性限制，导致某些至关重要的物理领域仍然是计算上的“禁区”。这些领域包括中子星内部的极端致密物质状态，以及宇宙早期或高能重离子碰撞中产生的夸克-胶子等离子体的动力学演化 7。这些挑战的核心在于，格点QCD依赖于对费曼路径积分的随机抽样，而这要求积分的权重是一个正实数概率分布。然而，在有限重子化学势（即高密度）或实时间演化等物理场景中，这一条件被破坏，导致了所谓的“符号问题”（sign problem）和实时间动力学模拟的困难，从而形成了一个计算上的“壁垒”，数十年来阻碍了该领域的进展。
与此同时，科学机器学习领域，特别是物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINN）的出现，为求解复杂的物理系统提供了一种全新的思路 10。与依赖随机抽样的格点方法根本不同，PINN是一种确定性的“可微求解器”。它将控制物理系统的偏微分方程（PDE）直接编码到神经网络的损失函数中，通过优化网络参数来寻找满足这些物理定律的解。近期在流体动力学等领域的研究表明，通过精心设计的网络架构和先进的训练策略，PINN能够以接近机器精度的水平发现传统数值方法难以企及的、具有重要物理意义的解 10。
本文旨在提出一个全新的计算框架——“规范对称物理信息网络”（Gauge-Symmetric Physics-Informed Network, GS-PINN）。该框架旨在将近期PINN方法在高精度求解PDE方面取得的突破性技术 10，与规范场论固有的对称性要求 12 进行深度融合。我们的核心目标是开发一种能够直接求解QCD运动方程的确定性方法，从而绕开基于路径积分抽样所面临的符号问题等根本性障碍。通过这种方式，GS-PINN有望为探索极端条件下的QCD物质相图和动力学行为开辟一条全新的、具有变革潜力的研究路径，为解决高能物理学中一些最棘手的计算挑战提供补充性乃至颠覆性的解决方案。
本章将对当前非微扰QCD计算所面临的困境进行深入、专业的评述，旨在阐明为何迫切需要如GS-PINN这样的新计算范式。
格点QCD是目前研究非微扰强相互作用最成功的理论框架。其基本思想是将连续的四维时空离散化为一个超立方晶格。在这个格点化的时空中，代表物质的夸克场定义在格点上，而传递强相互作用的胶子场则由连接相邻格点的“链接变量”（link variables）来描述 3。这种离散化方法在数学上是严谨的，并且天然地保持了规范对称性。
该理论的核心计算任务是评估费曼路径积分，它包含了所有可能的场构型的贡献。在欧几里得时空中，路径积分的权重因子为 $e^{-S_E}$，其中 $S_E$ 是欧几里得作用量。由于该权重因子是正实数，可以被解释为一个概率分布。因此，可以通过马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）等重要性抽样方法，生成一系列满足该概率分布的场构型系综，并在此系综上计算物理可观测量（如关联函数）的期望值 3。格点QCD通过这种方式，从第一性原理出发，成功地计算出了基态强子的质量谱，其结果与实验数据高度吻合，这被视为计算物理学的一大胜利 15。
尽管格点QCD取得了巨大成功，但其基于MCMC路径积分的计算框架本身也带来了一些难以逾越的根本性障碍，这些障碍限制了我们对QCD更广阔物理领域的探索。
符号问题是计算多体费米子系统时遇到的一个臭名昭著的难题，在格点QCD中尤为突出。问题的根源在于，当系统处于有限重子化学势 $\mu \neq 0$（对应有限重子密度，如中子星内部）时，路径积分权重中的费米子行列式 $\det(D)$ 不再是正实数，而是一个复数 7。这意味着权重因子 $e^{-S_E}$ 变为复数，从而破坏了其作为概率分布的物理解释，使得标准的重要性抽样MCMC算法失效。
当积分的被积函数（权重）剧烈振荡时，正负贡献几乎完全抵消，导致数值计算的信噪比随系统体积的增大呈指数级衰减 7。为了获得有意义的结果，所需的计算资源将以指数方式增长，这在实际计算中是不可行的。这一问题并非简单的技术困难，而已被证明是一个NP-hard（非确定性多项式时间困难）的计算复杂性问题 7，它像一堵高墙，几十年来一直阻碍着我们对致密夸克物质、QCD相变临界点等关键物理问题的第一性原理研究。
格点QCD的计算通常在欧几里得时空中进行，这是通过一个称为“威克转动”（Wick rotation）的数学技巧实现的。这一操作将闵可夫斯基时空中的振荡因子 $e^{iS}$ 转换为欧几里得时空中的指数衰减因子 $e^{-S_E}$，从而使路径积分在数学上良定义且适用于MCMC方法。然而，这也意味着格点QCD本质上只能计算静态的、处于热平衡态的系统的性质。
对于真实的物理过程，如高能重离子碰撞中夸克-胶子等离子体的形成与演化，我们需要在闵可夫斯基时空中进行实时间动力学模拟。从欧几里得时空的计算结果中解析延拓出实时间的动力学信息是一个极其困难的、数学上不适定的（ill-posed）逆问题 9。尽管研究人员发展了多种方法来应对这一挑战，但至今仍未有一个普适且可靠的解决方案。
为了得到物理上可靠的结果，格点计算必须在所谓的“连续极限”（continuum limit）下进行，即格点间距 $a \to 0$。然而，当格点间距趋于零时，系统中的关联长度会变得远大于格距，导致MCMC算法在生成统计独立的场构型时效率急剧下降。这种现象被称为“临界慢化”（critical slowing down），它使得模拟越来越精细的格点需要付出巨大的、甚至不成比例的计算代价 14。
综上所述，符号问题、实时间动力学模拟的困难以及临界慢化等挑战，并非格点QCD实践中的技术性瑕疵，而是与其将物理问题表述为“随机积分”这一核心思想紧密相连的。例如，符号问题的出现是MCMC方法要求概率解释与费米子体系在特定条件下作用量为复数的物理现实之间不可调和的矛盾的直接产物。
这强烈地暗示我们，为了突破这些计算壁垒，可能需要一种全新的计算范式。这种新范式应当从根本上改变问题的数学表述。一个极具吸引力的方向是，放弃对路径积分的随机抽样，转而直接处理QCD在连续时空中的运动方程——即从QCD作用量推导出的欧拉-拉格朗日方程 17。通过将寻找物理问题的解重新构建为一个确定性的优化任务（即寻找满足这些动力学方程的场构型），我们有希望从根本上绕开那些源于概率抽样的难题。这正是GS-PINN框架所要探索的道路。GS-PINN并非旨在完全取代格点QCD，后者在静态、零密度物理量的计算中仍然是无可争议的黄金标准 15。相反，GS-PINN的定位是一个强大的补充工具，其设计目标是专门攻克格点QCD方法论的“软肋”，为之前无法触及的物理领域（如高密度物质和实时间动力学）开辟新的研究窗口。
| 度量指标 | 格点蒙特卡洛 (Lattice Monte Carlo) | GS-PINN (提议框架) |
|---|---|---|
| 核心方法论 | 在离散欧几里得时空中，通过MCMC方法对费曼路径积分进行随机抽样。 | 在连续时空中，通过优化神经网络参数，确定性地求解由作用量原理导出的运动方程。 |
| 费米子符号问题处理 ($\mu \neq 0$) | 遭遇严重障碍。费米子行列式变为复数，破坏了概率解释，导致信噪比指数衰减。 | 从原理上规避。该方法不依赖于路径积分的概率解释，而是直接最小化作用量，该过程对作用量是否为复数不敏感。 |
| 实时间动力学模拟 | 极其困难。需要从欧几里得时空数据进行不适定的解析延拓。 | 在概念上直接可行。该框架直接处理闵可夫斯基时空中的微分方程，无需威克转动。 |
| 解的性质 | 提供物理可观测量的统计期望值。 | 提供满足运动方程的经典或半经典场构型，可直接用于分析动力学和结构。 |
本章将从方法论的层面，深入剖析近期在其他物理领域取得成功的PINN技术 10，并将其提炼为一个可推广的、用于构建高精度物理求解器的通用蓝图。我们将重点关注其成功的三个核心支柱：将物理先验知识嵌入网络设计、采用高精度优化算法以及实施多阶段训练策略。
在最近关于流体动力学奇点发现的研究中 10，PINN并非被用作一个通用的偏微分方程求解器，而是作为一个高度专业化的“发现工具”。其目标是寻找那些对传统数值方法而言极其难以捕捉的、但具有深刻物理意义的解，例如不稳定的自相似解。这种定位对于QCD研究至关重要，因为我们的目标同样是探索传统方法无法触及的新物理现象。
该研究的成功揭示了实现高精度求解的三个关键要素：
这三个支柱协同作用，构成了一个强大的框架，能够将神经网络从一个通用的函数拟合器转变为一个为特定物理问题量身定制的高精度求解器。
将物理约束直接构建到网络架构中，而非仅仅作为损失函数中的惩罚项，是提升PINN性能和效率的关键策略。这极大地缩小了网络的搜索空间，引导优化过程朝向物理上有意义的解。
物理问题常常涉及无限或半无限的定义域，这给数值计算带来了挑战。一个有效的处理方法是采用坐标变换，将无限域映射到一个有限的归一化区间，例如 $[0,1]$ 或 $[-1,1]$ 10。例如，对于一个从 $r \in [0, \infty)$ 的径向坐标，可以通过一个简单的变换，如 $z = \frac{1}{1+r}$ 或 $z=\tanh(r)$，将其映射到网络输入 $z \in [0,1]$。网络在此有限、归一化的坐标空间中学习解的函数形式，通常会比在原始坐标系中更容易，因为函数的剧烈变化（如奇点或快速衰减）已被变换本身部分吸收。
另一项强大的技术是为网络的输出设计一个“解的包络”（solution envelope）或“拟设”（ansatz）。这通常是一个解析函数，它与神经网络的输出相乘，从而强制最终的解满足特定的边界条件、对称性或渐近行为 10。例如，在10的研究中，为了强制解 $\Omega(y_1, y_2)$ 具有关于 $y_1$ 的奇对称性并且在无穷远处以特定幂律衰减，他们构建了如下形式的拟设（ansatz） 10：
$$ \Omega(y_1, y_2) = \underbrace{\frac{y_1}{1+|y|^2}}_{\text{奇对称性与部分衰减}} \cdot \underbrace{q(y_1, y_2)}_{\text{渐近衰减}} \cdot \underbrace{NN_{\Omega}[q, \beta]}_{\text{网络学习的剩余部分}} $$在这里，$NN_{\Omega}$ 是一个神经网络，其输入是经过变换的坐标 $q$ 和 $\beta$。整个表达式通过解析前因子，硬性地编码了奇对称性和正确的渐近衰减率。这种方法将学习全局物理约束的重担从优化器转移到了网络架构本身，使得神经网络可以集中其学习能力来拟合解中更复杂的局部特征。
达到机器精度的解需要一个远超标准深度学习实践的训练流程。这包括使用更强大的优化器和一种系统性的误差修正机制。
标准的基于一阶梯度的优化器，如Adam或L-BFGS，虽然在大多数机器学习任务中表现出色，但在求解复杂的科学计算问题时，往往会在一个相对较高的残差水平（例如 $10^{-3}$ 到 $10^{-5}$）停滞不前 10。为了突破这一瓶颈，采用二阶优化方法至关重要。
高斯-牛顿（Gauss-Newton）方法是一种针对非线性最小二乘问题的经典二阶优化算法 10。它通过使用损失函数残差的雅可比矩阵来近似计算海森矩阵（Hessian matrix），从而避免了直接计算和求逆完整海森矩阵的巨大开销。其更新步骤形式上为：
$$ \theta_{t+1} = \theta_t - (J^T J + \gamma I)^{-1} J^T r $$其中，$\theta$ 是网络参数，$r$ 是PDE残差向量，$J$ 是残差关于参数的雅可比矩阵，$\gamma$ 是一个正则化（或阻尼）系数。与一阶方法相比，高斯-牛顿法利用了问题的曲率信息，能够提供更优的下降方向，从而实现更快、更稳定的收敛，尤其是在接近极小值点时。10的研究表明，该方法能够将解的残差降低到 $10^{-8}$ 甚至更低，显著优于Adam等方法 10。对于PINN这类网络参数量相对较少（数千到数万）的应用场景，计算全矩阵的高斯-牛顿更新是完全可行的 10。
即便使用了强大的二阶优化器，单次训练仍然会受到网络表达能力和浮点数精度等因素的限制。多阶段训练（Multi-stage training）提供了一种系统性地突破这一精度壁垒的迭代式修正方案 10。其核心思想是将复杂的求解任务分解为一系列更简单的子任务。
该过程如下：
这个过程可以重复进行，每一阶段都致力于修正前一阶段留下的、频率通常更高的残差。10的研究表明，通过两阶段训练，解的残差可以再降低5个数量级，从 $10^{-8}$ 降至 $10^{-13}$，达到了双精度浮点数的机器精度 10。为了更好地学习高频残差，后续阶段的网络可以采用特殊的架构，如傅里叶特征网络（Fourier Feature Networks），其超参数可以根据前一阶段残差的频谱特性来确定，进一步提升了修正效率 10。
这种方法的成功并非偶然，它体现了一种深刻的协同效应。首先，通过架构设计嵌入物理先验，极大地简化了优化问题的景观，将搜索范围限定在物理相关的区域。接着，高斯-牛顿优化器凭借其利用曲率信息的能力，能够高效地找到这个简化景观中的深层极小值。最后，当单次优化达到极限时，多阶段训练就像一个“显微镜”，聚焦于剩余的微小误差，并通过一个专门的线性化问题对其进行精确修正。这是一个在函数空间中进行的多尺度优化策略，其通用性使其成为一个可以从流体力学移植到量子场论的强大蓝图。
本章是本提案的技术核心，我们将把第二章中提炼出的高精度可微求解器蓝图，具体化、专业化地应用于解决量子色动力学（QCD）这一复杂而独特的物理问题。我们将详细阐述GS-PINN的场表示、损失函数定义、核心的规范协变网络架构，以及为适应强子物理特性而设计的自适应采样策略。
在GS-PINN框架中，我们不再使用离散的格点，而是直接在连续的四维时空中对QCD的基本场进行参数化。这些基本场包括：
我们将使用独立的神经网络来参数化这些场的分量，例如 $A_\mu^a(x) = NN_{A, \mu, a}(x)$，其中 $a$ 是SU(3)李代数的指数。
与标准PINN将PDE残差作为损失函数不同，我们采用一个更基本、更优雅的物理原理——最小作用量原理——来构建我们的损失函数。QCD的动力学行为完全由其拉格朗日密度 $\mathcal{L}_{\text{QCD}}$ 决定，其作用量 $S$ 是拉格朗日密度在时空中的积分：
$$ S[\psi, \bar{\psi}, A_\mu] = \int d^4x \, \mathcal{L}_{\text{QCD}}(x) $$其中，$\mathcal{L}_{\text{QCD}}$ 的形式为 1：
$$ \mathcal{L}_{\text{QCD}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F_a^{\mu\nu} + \sum_f \bar{\psi}_f(i\gamma^\mu D_\mu - m_f)\psi_f $$这里，$F_{\mu\nu}^a$ 是胶子场强张量，$D_\mu = \partial_\mu - ig_s T^a A_\mu^a$ 是协变导数，$\psi_f$ 代表不同味的夸克场。
我们的核心思想是，将通过神经网络参数化的场代入作用量表达式，并在一个精心选择的时空点集（称为配置点）上对作用量进行数值积分。这个积分值就是我们整个优化问题的损失函数。通过最小化这个作用量损失函数，根据变分原理，神经网络将被训练去寻找一个满足QCD欧拉-拉格朗日运动方程的场构型。这种方法将求解复杂的、耦合的场方程组的问题，转化为一个优化单一标量函数的任务，这在概念上更为简洁和稳健。
在QCD中，最重要的物理约束是局域SU(3)规范对称性。这意味着物理定律在一个时空点进行任意的局域SU(3)变换下保持不变。一个标准的神经网络，如多层感知机（MLP）或卷积神经网络（CNN），其内部运算（如加权求和）会破坏这种对称性，因此直接使用它们来参数化规范场是物理上不正确的 23。
为了解决这个根本性问题，GS-PINN的核心必须是一个规范协变（gauge-equivariant）的神经网络架构。规范协变性要求，当输入场按照规范变换规则进行变换时，网络中每一层的输出特征以及最终的输出场，都必须以一种可预测的、协变的方式进行相应的变换。
我们提议的架构借鉴了近年来在格点理论和几何深度学习领域发展起来的规范协变卷积网络（Lattice Gauge Equivariant CNNs, L-CNNs）的思想 6。其关键机制是引入平行输运（parallel transport）的概念来定义网络层之间的信息传递。具体实现如下：
这种架构巧妙地融合了连续场论和离散格点理论的精髓。我们虽然在连续时空中求解问题（配置点可以任意选取，不局限于固定格点），但在网络内部的运算层面，我们借鉴了格点理论中处理规范对称性的成熟工具（链接变量），从而构建了一个在物理上自洽的、端到端的学习框架。
| 组件 | 描述 | 数学实现 |
|---|---|---|
| 输入层 | 接收时空坐标 $x$ 作为输入。 | 一个标准的MLP，将 $x \in \mathbb{R}^4$ 映射到一个初始特征向量。 |
| 规范协变模块 (重复L次) | 在保持局域SU(3)规范对称性的前提下，处理和传播场的信息。 | 包含多个规范协变层。例如，一个协变卷积层通过以下步骤实现：(1) 对邻域点的特征向量，使用链接变量 $U_\mu$ 进行平行输运；(2) 将输运后的特征与中心点特征进行聚合；(3) 应用一个共享的卷积核（权重矩阵）并加上非线性激活函数。 |
| 场输出层 | 将最后一层协变模块的输出特征映射到物理场（夸克和胶子场）的各个分量。 | 通常是一个线性变换层（例如 1×1 卷积），确保输出的场也具有正确的协变性质。 |
| 损失计算 | 根据网络输出的场构型，计算QCD作用量。 | (1) 从输出的胶子场 $A_\mu$ 计算出场强张量 $F_{\mu\nu}$ 和链接变量 $U_\mu$。(2) 从夸克场 $\psi$ 和胶子场计算协变导数 $D_\mu \psi$。(3) 在一系列自适应选择的配置点上计算拉格朗日密度 $\mathcal{L}_{\text{QCD}}$。(4) 通过数值积分（如蒙特卡洛积分）估算总作用量 $S$，并将其作为最终的损失函数进行最小化。 |
在QCD中，物理现象通常是高度局域化的。例如，一个质子的夸克和胶子场主要集中在约 $1 \text{ 飞米（fm）}$ 的空间范围内，在此之外场迅速衰减为零。如果我们在整个时空中均匀或随机地选择配置点来计算作用量积分，那么绝大多数点将位于场几乎为零的“真空”区域，对损失函数的贡献微乎其微，这将导致极低的计算效率。
为了解决这个问题，我们提出一种自适应采样（adaptive sampling）策略 25。该策略的核心思想是在训练过程中，利用网络自身的中间结果来指导下一轮迭代的采样。具体步骤如下：
这种自适应采样方法类似于传统数值方法中的自适应网格加密（adaptive mesh refinement），它能够显著提升训练效率和解的精度，特别是对于描述束缚态（如质子、介子）这类具有局域化结构的物理问题。
为了验证GS-PINN框架的有效性并展示其解决重大物理问题的潜力，本章将设计一个具体的、具有高影响力的基准应用：在传统格点QCD方法因符号问题而失效的领域，计算有限重子密度下的QCD物态方程。
我们将要解决的核心问题是：在给定温度 $T$（特别是 $T=0$ 的极限情况）下，寻找QCD真空的基态（即能量最低的场构型）如何随重子化学势 $\mu$ 的变化而变化。这个问题的解直接关系到致密核物质的物态方程（Equation of State, EoS），即压强与能量密度的关系。该物态方程是理解中子星结构、质量-半径关系以及中子星合并等天体物理现象的关键输入。
正如第一章所详述，这正是符号问题最为严重的物理场景。在有限 $\mu$ 下，格点QCD的蒙特卡洛模拟会遭遇指数级的信噪比衰减，使得从第一性原理出发进行可靠计算变得异常困难甚至不可能 7。因此，选择这个问题作为GS-PINN的首次亮相，不仅能够直接挑战该领域最核心的难题，也为新方法的有效性提供最严苛的检验。
我们将采用一个分阶段的实施计划，以确保项目的稳步推进和风险控制。
在直接处理复杂的4维SU(3) QCD之前，我们将在一个更简单、但保留了规范对称性核心特征的“玩具模型”上开发和测试GS-PINN框架。备选模型包括二维量子电动力学（QED）或U(1)格点规范理论 24。在这些模型上，我们可以：
在玩具模型上取得成功后，我们将把整个框架扩展到真实的4维SU(3) QCD理论。这将涉及实现更复杂的SU(3)代数运算、处理费米子旋量场，以及应对更高的计算复杂度。
训练过程将严格遵循第二章中阐述的高精度流程，即结合高斯-牛顿优化器和多阶段残差修正方案。
一个关键的创新在于，我们将借鉴10研究中用于寻找特定参数的“漏斗推断”（funnel inference）方法，并将其改造为一种探索QCD相图的强大工具 10。具体而言，我们将化学势 $\mu$ 视为一个可调参数，类似于10中的自相似标度因子 $\lambda$。我们的探索策略如下：
对于一个全新的计算方法，建立其结果的可信度至关重要。为此，我们设计了一套严格的多层次验证与确认（Verification and Validation, V&V）策略。
通过这套结合了外部基准比较、内部一致性检验和理论极限验证的V&V策略，我们将能够系统性地评估GS-PINN框架的准确性和可靠性，为其在未知领域的探索奠定坚实的基础。
本章将阐述GS-PINN框架的长远愿景及其可能带来的变革性影响，不仅局限于其首个基准应用，更将探讨其在未来研究中的发展轨迹，以及其作为一种新兴计算范式在理论物理学中的定位。
GS-PINN框架最直接、最重要的影响在于，它有望为解决高能核物理和天体物理学中的一个核心难题——确定极端致密物质的物态方程——提供第一性原理的计算支持。目前，对中子星内部物质状态的理解在很大程度上依赖于唯象模型和外推，缺乏来自QCD基础理论的严格约束。如果GS-PINN能够成功地在格点QCD无法企及的高密度、低温度区域进行可靠计算，它将：
GS-PINN框架的成功建立将开启一系列新的研究方向，其潜力远不止于计算静态的物态方程。
综上所述，我们提出的规范对称物理信息网络（GS-PINN）框架，不仅仅是将一种流行的机器学习技术应用于一个物理学难题。它代表了一种构建计算场论的“第三条道路”，与传统的计算范式形成互补，并有望在它们最薄弱的环节发挥关键作用。
我们可以将计算场论的工具箱总结如下：
通过将物理学第一性原理（如对称性和作用量原理）与现代计算科学的前沿工具（如深度学习和自动微分）深度融合，GS-PINN有望成为未来理论物理学家探索宇宙最深层次奥秘的强大新武器。这项工作不仅可能解决一些长期存在的具体问题，更有可能启发一种全新的、以可微编程为核心的物理建模与仿真范式，为整个计算科学领域带来深远的影响。