瞬子计数

Nikita Nekrasov 教授

引言与介绍

欢迎大家参加本次系列研讨会。今天我们有幸请来了 Nikita Nekrasov 教授发表演讲。他在普林斯顿大学获得了物理学博士学位，师从诺贝尔奖得主 David Gross。从普林斯顿毕业后，Nekrasov 教授曾在哈佛大学和高等研究院担任博士后职位。他目前是石溪大学西蒙斯几何与物理中心（Simon Center for Geometry and Physics）的教授。

Nekrasov 教授以其在超对称规范理论和弦理论方面的工作而闻名。他在瞬子、磁单极子及其他拓扑对象的研究上做出了重要贡献。在此领域，他还开发了计算超对称理论配分函数的新方法。Nekrasov 教授的工作获得了多个奖项的认可，包括 Jacques Herbrand 奖、Hermann Weyl 奖和 Compositio 奖。今年，他荣获了丹尼·海涅曼数学物理奖。在此，我们对他获得这一新奖项表示祝贺。

Nekrasov 教授是数学物理领域的领军人物，他的工作对我们理解超对称规范理论和弦理论产生了深远影响。今天能邀请到 Nekrasov 教授与我们同在，是我们的荣幸。感谢您接受我们的邀请。

Nekrasov 教授：非常感谢。很高兴能以某种方式参与到拉丁美洲或其他地方的科学与文化发展中。我是拉丁美洲文化的忠实研究者和学者，所以很高兴能有所回馈。今天的讲座题为“瞬子计数”，这可以算是我过去三十多年在理论物理领域所做工作的一个总结。我将从一些非常基础的内容开始，然后逐步深入到更高级的主题。

第一部分：物理学的基础

1.1 研究自然的两种方法

如大家所知，对自然的研究大致可以分为主动方法和被动方法。在主动方法中，我们试图干预自然，观察会发生什么。在被动方法中，我们认为自己不干预，只是观察和思考。有时我们会结合这两种方法：先做一些实验，然后在很多年后思考其后果和意义。

我今天主要感兴趣的是规范理论作为基本力理论的故事，这基本上是这两种方法的结合。有大量的实验数据为理论探索提供了动力，但许多发展，特别是在上个世纪，来自于理论性的，尤其是数学性的思维方式，然后再将这些理论预测与实验进行对比。

1.2 理论的基石：玻色子与费米子振子

我们理论的基石其实非常简单，它们是玻色子振子（bosonic oscillators）和费米子振子（fermionic oscillators）。所谓的振子，我们实际上指的是最简单的代数结构之一，即其对易子为数的算符。左边的公式被称为海森堡代数（Heisenberg algebra），其右侧依赖于一个反对称矩阵，它告诉我们左侧的量是如何不对易的。

下一个代数是克利福德代数（Clifford algebra），在这里你处理的是反对易子。其右侧则依赖于一个对称矩阵。

如果标记这些代数生成元的指标数量是有限的，你通常会在描述量子力学系统（如自旋或有限数量的粒子）中找到这类代数。最简单的起点，当然是大家所熟知的，一个在谐振子势中运动的粒子。这是一个只有两个生成元的代数例子，一个通常被称为 P 帽（动量），另一个是 X 帽（坐标）。通过坐标和动量的线性组合，你可以得到产生和湮灭算符的代数，这可以在一个最简单的希尔伯特空间中表示，其基由非负整数标记。一个算符 a（湮灭算符）基本上是降低基向量的指标，并带有一个平方根因子，而另一个算符则提升它。

1.3 复相位空间与复轨迹的出现

即使在最简单的这类系统中，我们也可以观察到一些有趣的事情，这也是我们今天所要探讨的发展的源头。那就是复化的相位空间（complexified phase-space）和复轨迹（complex trajectories）的出现。

让我们看最简单的模型，并计算跃迁概率，也就是从一个点 x_initial 到另一个点 x_final 的振幅。这些是实线上的坐标，粒子在这个势中运动。这是一个跃迁振幅，换句话说，它是演化算符的矩阵元，只不过现在我会让演化算符更具一般性，即我允许时间参数——从点 x_initial 到 x_final 所需的时间——是一个普遍的复数 β。

通常在量子力学中，我们取这个参数为纯虚数，比如 i 乘以时间 t，其中 t 是实时间。或者在研究有限温度的系统时，我们会取 β 为实数，这时 β 的意义是逆温度。但从数学上讲，我们可以问这个跃迁振幅对 β 的解析依赖性是怎样的。我们可以为这个量给出路径积分的表示，对于一般的复数值 β。

思考这个问题是很有用的，因为你有时会在教科书中听到或读到，当你取 β 为实数时，意味着时间在复平面上发生了旋转，时间变成了虚数；或者当 β 是虚数时，时间变成了实数。另一方面，时间是参数化轨迹的东西，所以如果你问对于一般的复数 β，时间是什么，你可能会感到困惑。当你思考这个问题时，你会意识到时间总是一个实数，它是一个一维实数对象。如果你愿意，我们可以用一个参数 s 来参数化轨迹，s 从 0 到 1，而这个参数 β 只是乘以哈密顿量的东西。

哈密顿算符是通过量子化经典哈密顿量得到的，后者是相位空间上最简单的二次函数：P²/2（动能项）加上 ω²X²/2（势能项）。我们想了解如何计算带有一般复数参数 β 的路径积分。

这是一个二次积分，也就是高斯积分，是某个二次指数函数的积分，因此它完全由指数中鞍点（critical point）的贡献所主导。我需要道歉，我将普朗克常数 ħ 设为了 1，这是我的单位选择。

因此，我们需要解描述鞍点的方程。这些方程看起来很熟悉，但可能有点奇怪，它们看起来像哈密顿方程，但带有一些奇怪的前置因子。你可以通过转向产生和湮灭算符的经典类似物来解这些方程，我将其写为复变量 z = (ωX + iP) / √(2ω) 和 z*。这里需要注意的是，z 和 z* 仅当 X 和 P 是实数时才是复共轭。通常情况下，z 和 z* 只是独立的复数值变量。

这些哈密顿方程在 z 变量下变得非常简单，一行就能解出。我们需要满足我们问题的边界条件，即我们知道 x 坐标在轨迹的起点和终点的值。由此我们可以计算出轨迹。这里，你可能又会在教科书中读到，它形式上与粒子在普通振子势（当 β 是虚数时）或在反向振子势（当 β 是实数时）中的运动轨迹相同。然而，如果你考虑相位空间的情况，这是不正确的。即使 β 是实数，动量 P 也不是实的。对于一般的复数 β，X 或 P，或两者都是复数值。这意味着轨迹永远不会落在实相位空间中，路径积分实际上是通过将积分轮廓从实场空间变形到复值场空间来计算的。

1.4 相互作用与鞍点

如果我们加入相互作用，这一点会变得更加突出。现在我们可以考虑一个带有自相互作用的系统，比如非谐振子。我们可以加入不同类型的相互作用项。如果势在原点只有一个极小值，我们可以用一个具有某个有效频率的谐振子来近似哈密顿量，并通过微扰理论来解决这个问题。定性上，它的能级会像谐振子，但能级能量对能级数的依赖方式会略有不同。

然而，如果我们处理双阱势（double-well potential），我们可以用两个不同的谐振子来近似这个哈密顿量，一个在右边的极小值附近，一个在左边的极小值附近。在微扰理论中，我们会看到两个相同的谱。然而，系统的定性物理性质并非两个振子，而是一个单一振子。这归因于所谓的“隧穿效应”（tunneling），即波函数或态之间存在混合。

为了正确地进行计算，我们需要在路径积分中找到鞍点，就像在振子情况中一样。我们会发现，实际上有更多的鞍点轨迹，并且它们大量地利用了复相位空间。

从谐振子的教训中我们知道，这条轨迹通常位于复数 P 和 X 的空间中，因此经典能量 E 可能是一个复数。我们可以问，这个方程实际描述的是什么样的曲面？在复数 P 和 X 的空间中，这个曲面具有二维环面（torus）的拓扑结构。而作为哈密顿方程解的轨迹，将是环面上的一种缠绕路径。

在计算量子力学问题（如演化算符的迹）时，只有有理缠绕，即周期性或闭合的缠绕，才会给出非零贡献。其他非周期性轨迹的作用量是无限的，不会有贡献。在非谐振子的情况下，环面是二维的，其上的有理缠绕实际上有两个整数参数，即轨迹绕一个基本环路（A-cycle）和另一个基本环路（B-cycle）的次数。

第二部分：对称性、约化与规范理论

2.1 量子力学中的对称性

在量子力学系统中，我们不仅处理振子和微扰，有时也处理具有对称性的理论。拥有一个对称性群 G，它通过幺正变换作用于量子力学的希尔伯特空间，并且这些变换与哈密顿量对易，这时我们有几个选择。

一种是把对称性视为一种冗余，并宣布物理希尔伯特空间实际上是在更大的场空间中群作用下的不变量空间。我们只保留在对称变换下不变的向量。这被称为辛商（symplectic quotient）。经典上，这对应于将动量矩（moment map）设为零，然后除以群 G 的作用。

另一个选择是，我们可以利用对称性群来根据态的变换方式对其进行分类。我们可以将希尔伯特空间分解为对称性群 G 的不可约表示。然后，原始的量子力学问题就简化为在一系列更小的量子力学问题上的求解。

我们可以用一个例子来说明这一点。对于 N 个全同的谐振子，我们可以对 U(1) 对称性进行约化，这意味着施加一个约束，即所有振子的粒子数之和等于一个固定的数 R。由此产生的约化系统将具有 SU(N) 对称性，并且其状态空间是 SU(N) 群的一个不可约表示。

2.2 从量子力学到场论：电磁学

在对这些预备知识进行了相当琐碎但重要的讨论之后，我们可以尝试将系统推广到具有无限自由度的情况，这就是所谓的量子场论（quantum field theory）。让我们从经典场论开始，而我们将要开始的经典理论是电磁学理论。

描述经典电磁现象的麦克斯韦方程组可以用一个反对称的二阶张量场 F 来数学地表述。方程表明二形式 F 是闭合的，并且它的霍奇对偶（Hodge dual）也是闭合的。

我想以类似于我们之前讨论的方式来处理这些方程。我想说明的是，这可以看作是无限个谐振子的集合。我们将看到，我们之前讨论过的概念，实际上都在电磁学的构建中出现并扮演了角色。

我们可以在哈密顿形式下表述电磁学。在这种方法中，我们暂时忘记相对论不变性，将时空分解为空间 R³ 和时间 R 的乘积。电磁学的坐标，在第一近似下，是矢量势的三个空间分量，而动量则是电场的三个分量。但这不是一个简单的系统，这是一个具有规范对称性（gauge symmetry）的系统，这种对称性实际上是一种冗余。

物理态是所有矢量势和电场空间的商，并受到动量矩方程的约束。电磁学的动量矩被称为高斯定律（Gauss's law），即电场的散度为零。因此，电磁学的实际相位空间是满足高斯定律的 (E, A) 对的空间，然后除以该动量矩生成的对称性，即通常的规范变换。

现在我想讨论麦克斯韦理论中的全局问题。我们将在紧致三维流形（compact three-manifold）而不是 R³ 上工作。现在，我们的相位空间变量是三维流形 M³ 上的规范场，它局部是一个 1-形式，但全局上不是。共轭变量 π 是一个 2-形式。

第三部分：杨-米尔斯理论与超对称

3.1 非谐振子的类比：杨-米尔斯理论

到目前为止，我们一直在讨论麦克斯韦理论，尽管它有些微妙，但仍然是一个自由场理论，只描述了非相互作用的粒子。我们希望讨论麦克斯韦理论的非谐振子类比，而在某种意义上，最简单的非谐类比是杨-米尔斯理论（Yang-Mills theory），在这里，我们将之前使用的阿贝尔规范群 U(1) 替换为一个一般的李群 G，在我的故事中，我们将处理一般的酉群 U(N)。

杨-米尔斯理论的时空拉格朗日量是两项之和：一个是杨-米尔斯作用量，它前面有一个耦合常数 g²；另一个是拓扑项，它不需要时空度规的选择，但需要一个定向的选择。物理学家感兴趣的问题是，如果我基于这个经典拉格朗日量定义一个量子场论，那么它的有效理论，即我们在低能下会看到的理论，会是什么？

我们之所以问这个问题，是因为我们在自然界中没有看到无质量的非阿贝尔规范场，但我们确实相信非阿贝尔规范理论是描述强相互作用和弱相互作用的正确框架。因此，从微观的非阿贝尔规范场理论到我们看不到这些自由度的有效场论，必然发生了某种转变。

3.2 超对称杨-米尔斯理论

事实证明，在四维空间中对一个相互作用的非阿贝尔规范理论进行精确计算是可能的，但不是在最简单的理论中，而是在一个包含更多场的理论中，那就是超对称杨-米尔斯理论。它可以被看作是在一个更复杂的时空上的杨-米尔斯理论，这个时空不仅有通常的对易坐标，还有反对易的格拉斯曼代数（Grassmann algebra）坐标。

这个奇特的结构非常有用，因为如果你考虑这个扩展时空上的场，你可以将其展开为一个有限的幂级数，而展开的系数将是我们普通四维时空上的普通场。但它们以一种统一的方式被组合在一起，这就是超对称方法。

我们将处理一个具有 N=2 超对称的最小超对称杨-米尔斯理论。在这个理论中，场包括规范场、一个复伴随标量场 φ，以及伴随值的费米子。

第四部分：瞬子计数的核心

4.1 瞬子与模空间

和之前一样，我们需要分析将主导路径积分的鞍点。尽管这是一个相当复杂的问题，但超对称性以某种方式帮助了我们，它选择了一类特殊的鞍点轨迹。这些被称为“瞬子”（instantons），它们是一阶偏微分方程的解。这些方程 F = -*F 在真实的闵可夫斯基时空中没有实数解，但我们可以找到复数解，或者说我们可以让时间变为虚数。

当我们考虑所有解，并识别出那些通过规范变换相关的解时，我们最终得到一个有限维的解空间，称为“瞬子模空间”（moduli space of instantons）。它的维度取决于一个被称为“瞬子荷”（charge）的整数 K 和规范群 U(N)。一个非凡的事实是，这个瞬子解的参数空间本身就是某个辅助经典力学系统的复化相位空间的一个例子。

这个模空间可以通过对一组矩阵施加动量矩约束来识别，然后除以剩余的对称性。然后，规范理论的路径积分精确地简化为在这些模空间上对某个闭合微分形式的积分之和。

4.2 配分函数的计算

通过一些技术手段，这个在瞬子模空间上的积分可以进一步简化，并可以通过不动点公式（fixed-point formula）来计算。这类似于我们之前为谐振子系统的特征标所使用的不动点公式，只是现在不动点由 N 个杨图（Young diagrams）的集合来标记，这些杨图的总方格数等于瞬子荷 K。

每个不动点的贡献可以统一地写成一个指数形式，其中包含了杨图集合的轮廓信息，以及一个由双伽马函数（Barnes G-function）构成的显式有理函数。

通往有效理论的路径是计算这个配分函数（partition function），然后研究当形变参数 ε₁ 和 ε₂ 趋于零时的渐近行为，因为这时我们回到了原始理论。事实证明，这个配分函数是指数化的，其主导的渐近行为给出了一个函数 F，这个函数决定了低能有效理论中标量场和光子的有效动能项。

为了找出这个函数 F 是什么，我们研究了一类特殊的可观测量。通过分析这些可观测量，我们证明了某些组合没有极点，这使得我们可以将来自不同瞬子扇区的路径积分贡献联系起来。这些关系被称为非微扰的戴森-施温格方程（Dyson-Schwinger equations），它们允许我们在不同的瞬子扇区之间跳跃。

当形变参数趋于零时，这些方程变成了一个代数方程。这个代数方程定义了一条曲线，这条曲线实际上是某个可积系统（integrable system）的谱曲线（spectral curve）。

4.3 与其他理论的联系

这个故事可以推广到更一般的规范理论，而不仅仅是最小的超对称杨-米尔斯理论。此外，我们最初为了方便引入了形变参数 ε，但事实证明，在有限 ε 下的理论也相当有趣。

• 当 ε₁ = -ε₂ 时，四维规范理论的配分函数与某个局部卡拉比-丘三维流形（Calabi-Yau threefold）上的拓扑弦论（topological string theory）计算相吻合。
• 当 ε₂ = 0 而 ε₁ 有限时，我们得到与经典可积系统的量子化相关的东西。
• 当 ε₁ 和 ε₂ 都不为零时，瞬子的配分函数计算了二维共形场论（conformal field theory）中的某些量。

我们还可以将四维理论提升到五维和六维，这将分别引出相关的可积系统。甚至可以提升到更高维度，这将引出晶体融化模型、量子时空泡沫和唐纳森-托马斯理论（Donaldson-Thomas theory）等。