摘要 (Abstract)
近一个世纪以来,量子力学虽在预测上取得了空前成功,但其本体论基础依然充满争议,高维希尔伯特空间、波函数坍缩等核心概念挑战着物理实在的直观理解。本文深入剖析了 Jacob A. Barandes 提出的“不可分割随机过程”理论,该理论旨在为量子力学提供一个根植于经典组态空间的、符合实在论的全新基础。其核心论点是,量子演化并非发生在抽象的希尔伯特空间,而是一个在我们熟悉的三维空间中进行的、在时间上具有整体性的随机过程。我们以该理论最关键的“随机-量子对应”为线索,展示了如何从经典的、实值的转移概率矩阵出发,通过引入一个复数值的“潜力”算符(演化算符 \(\Theta\)),逻辑地、系统地重构出整个量子力学的形式体系。在此框架下,长期被视为公理的玻恩定则 (\(p_i(t) = \text{tr}(P_i \rho(t))\)) 被自然推导为经典全概率公式在希尔伯特空间中的一个必然表现。同样,量子演化的幺正性也被证明是概率守恒这一基本物理要求在施廷斯普林扩张定理下的数学结果。该理论进一步揭示了两种深刻的规范不变性——舒尔-哈达玛规范变换和福尔迪-瓦肯海森规范变换。这些不变性的存在挑战了将波函数本身或其特定演化轨迹视为物理实在的观点,并促使我们严格区分物理实在本身(Beables,如不变的转移概率 \(\Gamma\))与依赖于描述方式的数学工具(Gauge Variables,如波函数 \(\Psi(t)\))。最终,该理论描绘了一幅新的量子图景:世界的“诡异”根植于动力学定律本身的时间非局域性和不可分性,而非粒子状态的神秘叠加。这一“返璞归真”的诠释不仅澄清了概念,增强了逻辑完备性,也为探索量子引力等前沿问题提供了富有启发性的新视角。
引言:一场期待已久的“返璞归真”
近一个世纪以来,我与所有物理学同行一样,深深着迷于量子力学的辉煌。它以惊人的预测精度和颠覆性的技术应用,塑造了现代文明的基石。然而,在这辉煌成就的背后,一个根本性的困扰始终如影随形:我们依然无法用一套清晰、直观、符合物理实在论的语言,来描述量子世界究竟“是”什么。波函数、希尔伯特空间、测量坍缩……这些概念构成了理论的数学骨架,却也同时构筑了一道通往理解物理实在的迷雾。我们似乎拥有了一张能够精确预测天气图上任何一点数据的“魔法地图”,却对风云雨雪背后的真实动力学过程知之甚少。
在这样的背景下,物理学家及哲学家 Jacob A. Barandes 的一篇前沿论文《量子系统作为不可分割的随机过程》宛如一股清流,为这场旷日持久的“诠释危机”提供了一个大胆而富有启发性的解决方案。该理论的核心论点极具革命性:量子力学并非根植于一个神秘的、高维的希尔伯特空间,而是可以被完全理解为一个在我们熟悉的、经典的组态空间中演化的“不可分割的随机过程”。
本文旨在对这篇论文中最核心、最关键的第三节——“随机-量子对应”(Stochastic-Quantum Correspondence)——进行一次深入的剖析与解读。我们将不仅仅是复述其内容,更是要重现并升华一场关于其核心思想的深度对话。我们的旅程将始于一个极为朴素的起点——经典概率,然后追随作者的脚步,一步步见证整个量子力学的宏伟大厦如何从这块坚实的基石上被逻辑地、系统地构建起来。我们将共同探索,波函数如何从一个本体论上的“主角”降格为一个便利的数学“工具”,而长期以来被视为基本公理的“玻恩定则”又如何能在一个更深的层次上被自然地推导出来。最终,我们将直面两种深刻的“规范不变性”,并借此对量子世界的实在性本身,提出终极的追问。
这不仅是一次对前沿物理理论的解读,更是一场思想上的冒险,一场旨在拨开数学迷雾、回归物理直觉的“返璞归真”之旅。
第一部分:世界作为随机过程——奠定新的基石
1.1 万物之始:“不可分性”的世界观
在深入数学细节之前,我们必须首先理解 Barandes 理论的世界观,即“不可分性”(Indivisibility)。这是整个理论体系的大前提,是我们理解后续一切推导的逻辑起点。传统的物理过程,尤其是那些可以用马尔可夫过程描述的系统,其本质是“可分的”。想象一排多米诺骨牌,它的倾倒过程就是典型的可分过程。只要你知道第一块骨牌在某一时刻的状态(位置、速度),你就能完全预测出下一瞬间第二块骨牌的状态;知道了第二块,又能推出第三块。整个演化过程可以被精确地切割成无数个独立的、承前启后的“小演化”。物理定律在这里扮演着“步进电机”的角色,一步一步地推动系统前进。
然而,Barandes 提出的“不可分随机过程”则描绘了一幅截然不同的动力学图景。它更像是一次性的“大跳跃”或“整体性的变迁”。系统的基本动力学定律,由一个转移矩阵 \(\Gamma(t \leftarrow t_0)\) 来描述,这个定律本身就是一个不可分割的整体。它直接连接了初始时刻 \(t_0\) 和遥远的目标时刻 \(t\),却不保证能够被完美地分解为一系列中间步骤的演化。正如论文所揭示的,如果你试图强行将这个过程“切开”,比如想定义一个从中间时刻 \(t'\) 到 \(t\) 的演化,你计算出的中间“概率”甚至可能会出现负值——这在物理上是荒谬的,从而从反面印证了其“不可分”的本质。
动画1:过程的“可分”与“不可分”
生活化类比:左边是“多米诺骨牌”式的可分过程,每一步都清晰可见。右边是“量子跃迁”式的不可分过程,系统从起点到终点的演化是一个无法分割的整体,像一次瞬间的“传送”。
1.2 物理实在的起点:转移矩阵 \(\Gamma\)
在这个“不可分”的世界观下,理论的出发点异常简洁。我们唯一承认的、代表物理实在的量,就是转移矩阵 \(\Gamma(t \leftarrow 0)\)。这个矩阵的每一个元素 \(\Gamma_{ij}\),其物理意义简单明了:它代表系统从初始时刻 0 的组态 \(j\) 出发,在未来某个时刻 \(t\) 到达组态 \(i\) 的条件概率。这里的每一个元素都是一个经典的、我们能够理解的概率值——一个介于0和1之间的非负实数。它不涉及任何复数、相位或者叠加态。这块由经典概率构成的基石,是整个理论大厦中最坚固、最无可争议的部分。
1.3 关键的数学引入:“潜力”算符 \(\Theta\)
有了代表物理实在的概率矩阵 \(\Gamma\),下一步就是引入一个纯粹的数学工具来处理它。这个步骤的动机源于一个简单的数学事实:任何非负实数都可以被表示为某个复数的模长的平方。基于此,Barandes 为 \(\Gamma\) 矩阵的每一个元素 \(\Gamma_{ij}\) 引入了一个复数值的“潜力”(potential),并将其组成一个新的矩阵,称之为时间演化算符 \(\Theta(t \leftarrow 0)\)。它们之间的关系,正是这篇论文的第一个核心公式:
\[ \Gamma_{ij}(t \leftarrow 0) = |\Theta_{ij}(t \leftarrow 0)|^2 \]这个关系并非一个物理假设,而是一个数学上的定义。它的精妙之处在于,它为我们打开了一扇通往复数世界的大门。我们可以用一个生动的比喻来理解:\(\Gamma\) 矩阵就像是最终出炉的、我们可以直接品尝和测量的蛋糕,它的味道、质地(概率)都是真实的。而 \(\Theta\) 矩阵则像是烘焙这个蛋糕的秘方。秘方本身可能包含一些我们无法直接“品尝”的奇特成分(例如复数的相位),但正是这些成分的精确配比和相互作用(模长平方),最终决定了蛋糕的真实味道。
动画2:实在的概率(\(\Gamma\))与数学的潜力(\(\Theta\))
生活化类比:右侧是我们能测量的真实概率(蛋糕的味道),由色块的亮度表示。左侧是隐藏在背后的数学“秘方”——复数。每个复数都是一个旋转的指针,其长度的平方,决定了右侧对应概率的大小。
1.4 隐藏的自由:舒尔-哈达玛规范不变性
一旦引入了复数“潜力” \(\Theta\),一个深刻而迷人的性质便立即浮现。对于任意一个复数 \(z\),它的模长平方是 \(|z|^2\)。如果我们给它乘上一个任意的相位因子 \(e^{i\theta}\)(即让它在复平面上旋转一个角度),得到的新复数 \(z \cdot e^{i\theta}\) 的模长平方依然是 \(|z|^2\),因为 \(|e^{i\theta}|^2\) 永远等于1。这个简单的事实对于 \(\Theta\) 矩阵意味着一个惊人的结论:我们可以独立地、任意地改变 \(\Theta\) 矩阵中每一个元素的复数相位,而最终计算出的、代表物理实在的概率矩阵 \(\Gamma\) 却丝毫不受影响。这种可以任意改变相位而不改变最终物理预测的自由度,Barandes 称之为一种全新的规范不变性——舒尔-哈达玛规范变换(Schur-Hadamard Gauge Transformation)。
\[ \Theta_{ij}(t \leftarrow 0) \mapsto \Theta_{ij}(t \leftarrow 0) e^{i\theta_{ij}(t)} \]这揭示了一个深刻的道理:在我们能够观测到的概率现实之下,隐藏着一个巨大的、我们通常无法感知的自由度。这意味着,产生同一个物理现实的数学“秘方”并不是唯一的。这就像一个管弦乐队的编曲,最终听众听到的是每个时刻的总音量强度(概率 \(\Gamma\))。而编曲家(物理定律)在创作时,可以选择用小提琴拉一个高音C,也可以选择用长笛吹一个同样音量的高音C。对于远处的听众来说,结果是无法分辨的。这种乐器选择的自由,就是舒尔-哈达玛规范自由度。这个隐藏的自由度,正是量子力学“神秘感”的第一个来源,也是后续理论构建的关键。
动画3:隐藏的自由度
生活化类比:你可以拖动左侧复平面中的“相位旋钮”来旋转任一元素的相位。观察左侧的指针如何旋转,但右侧代表真实概率的亮度却保持不变。这证明了产生同一现实的“秘方”不唯一。
第二部分:搭建桥梁——随机-量子对应字典
有了带有隐藏自由度的演化算符 \(\Theta\),我们现在万事俱备,可以开始搭建那座连接经典概率世界与抽象量子世界的宏伟桥梁了。这个过程的核心,是建立一本“翻译字典”。
2.1 从物理组态到数学符号:投影算符 \(P_i\)
字典的第一步,是为我们物理世界中的每一个真实的、离散的“组态”(configuration),在数学世界里找到一个唯一的“代言人”。作者选用的数学工具是投影算符 \(P_i\)。对于一个有 \(N\) 个可能组态的系统,我们构建一个 \(N\) 维的数学空间。在这个空间里,代表第 \(i\) 个组态的投影算符 \(P_i\),是一个 \(N \times N\) 的矩阵,它在第 \(i\) 行第 \(i\) 列的元素是1,其他所有元素都是0。这个算符的作用就像一个“过滤器”:当它作用于任何一个数学状态时,它只会“投影”出这个状态中属于第 \(i\) 个组态的分量,其余的都过滤掉。这些投影算符 \(P_1, P_2, ..., P_N\) 共同构成了一套完备且正交的基底,为我们的数学描述空间提供了“字母表”。
示意图1:投影算符的“过滤”作用
一个任意的数学状态(紫色箭头)可以被看作是多个基本组态(灰色坐标轴)的叠加。投影算符 \(P_2\) 的作用就是精确地“提取”出这个状态在第2个组态方向上的分量(粉色箭头)。
2.2 罗塞塔石碑:核心字典公式
现在,我们可以写下这本“字典”最核心的词条,它将是连接两个世界的“罗塞塔石碑”。Barandes 证明,我们最初定义的关系 \(\Gamma_{ij} = |\Theta_{ij}|^2\) 可以被等价地写成一种更深刻、更具结构性的形式:
\[ \Gamma_{ij}(t \leftarrow 0) = \text{tr}(\Theta^{\dagger}(t \leftarrow 0)P_{i}\Theta(t \leftarrow 0)P_{j}) \]这个公式初看起来可能有些复杂,但它的物理图像却异常清晰。我们可以把它解读为一个操作序列:准备初态 (用投影算符 \(P_j\) 从系统中“过滤”出初始处于组态 \(j\) 的部分) -> 时间演化 (让这个初始状态经历时间的演化,这个过程由演化算符 \(\Theta\) 来描述) -> 测量末态 (演化结束后,再用投影算符 \(P_i\) 来“测量”系统,看看有多少成分最终到达了组态 \(i\)) -> 计算概率 (整个过程的“迹”(trace, tr),就给出了我们最初想要的那个真实的、经典的转移概率 \(\Gamma_{ij}\))。这个公式就是那座宏伟的桥梁。它的左边,\(\Gamma_{ij}\),是我们熟悉的、关于物理实在的经典概率;它的右边,则是用矩阵、算符等构建的抽象数学表达。通过这座桥,我们实现了从物理直觉到数学形式的无缝转换。
动画4:“罗塞塔石碑”公式的可视化
生活化类比:这就像一个制作果汁的过程。1. 用 \(P_j\) 从一篮水果中选出苹果(初始状态)。2. 用 \(\Theta\) 榨汁机进行加工(时间演化)。3. 用 \(P_i\) 滤网过滤出最终的苹果汁(测量末态)。4. 测量果汁的量(计算概率)。
2.3 多米诺骨牌效应:推导整个量子形式体系
一旦这座“罗塞塔石碑”被立起来,整个标准量子力学的形式体系就像一排被推倒的多米诺骨牌,一个接一个地、作为逻辑推论自然地涌现出来,而不再需要被当作神秘的公理来接受。
- 密度矩阵 \(\rho\):系统的初始概率分布 \(p(j,0)\),通过“字典”可以直接被“翻译”成初始密度矩阵 \(\rho(0)=\sum_j p_j(0)P_j\)。这是一个对角矩阵,其对角线上的元素就是系统在初始时刻处于各个组态的真实概率。
- 时间演化:系统的概率演化,现在可以被优雅地描述为密度矩阵的演化:\(\rho(t)=\Theta(t\leftarrow0)\rho(0)\Theta^\dagger(t\leftarrow0)\)。这正是量子力学中密度矩阵演化的标准形式。
- 波函数 \(\Psi\):在系统初始状态完全确定的特殊情况下(例如,系统100%处于某个组态),密度矩阵可以被简化为一个波函数(态矢量)\(\Psi\) 的外积形式,其演化也相应简化为 \(\Psi(t)=\Theta(t\leftarrow0)\Psi(0)\)。
玻恩定则:作为定理,而非公理
这是整个理论最具颠覆性的成果之一。在标准量子力学中,玻恩定则(即测量概率 \(p_i=|\Psi_i|^2\))是一条需要无条件接受的基本公理。然而,在这个框架下,它是一个可以被证明的定理。其证明的根源,恰恰是最基础的全概率公式:
\[ p_i(t) = \sum_j p(i,t|j,0) p(j,0) \]当我们把这个经典公式中的每一项都用“字典”翻译成希尔伯特空间的语言后,经过简单的线性代数运算,它就自动地、必然地变成了我们所熟知的量子形式:
\[ p_i(t) = \text{tr}(P_i \rho(t)) \]这正是密度矩阵形式的玻恩定则。这一推导的意义是深远的:它将量子世界最核心的概率规则,追溯到了经典概率论的坚实基础之上,极大地增强了理论的逻辑自洽性和物理透明度。
示意图2:量子大厦的逻辑构建
这张图展示了本理论的核心逻辑链条:从最底层的“不可分随机过程”出发,如何一步步坚实地构建出整个量子力学的上层建筑。
2.4 幺正性的起源:概率守恒的必然体现
教科书总是告诉我们,封闭量子系统的演化必须是幺正的(Unitary),即演化算符 \(U\) 满足 \(U^\dagger U = \mathbb{I}\)。这保证了总概率守恒。但这“必须”二字从何而来?传统上,它也是一条公理。在这个理论中,幺正性同样是一个推论。其根源在于一个深刻的数学定理——施廷斯普林扩张定理(Stinespring Dilation Theorem)。简单来说,该定理保证了任何描述概率守恒的、物理上合理的演化,总可以被看作是一个更大的、包含了环境的幺正演化的一部分。这意味着,我们可以通过在数学上引入一个虚构的、更大的希尔伯特空间(这个过程称为“扩张”),来让我们的演化算符 \(\Theta\) 变成一个完美的幺正算符 \(U\),而这个操作完全不改变任何我们能观测到的物理结果。因此,我们得到了一个惊人的结论:量子演化的幺正性,是概率守恒这个基本物理要求在希尔伯特空间中的必然数学体现。 一旦演化算符被确定为幺正的 \(U\),我们熟悉的薛定谔方程也就随之诞生,它仅仅是幺正演化在无穷小时间尺度上的微分形式。
至此,从一个简单的、不可分的随机过程出发,我们已经完整地、逻辑地重构了量子力学的全部核心数学结构。希尔伯特空间、波函数、密度矩阵、玻恩定则、幺正演化、薛定谔方程,它们不再是孤立的、需要死记硬背的公理,而是由一个统一的、更深层的物理实在图景所派生出的数学描述。
第三部分:哲学的余波——追问量子世界的实在
通过前两部分的构建,我们似乎已经完成了一项了不起的“炼金术”:从“经典概率”这块凡俗的石头中,提炼出了“量子力学”这块璀璨的黄金。然而,这场思想的革命并未就此结束。恰恰相反,这个新的框架迫使我们以一种前所未有的尖锐视角,重新审视一个困扰了物理学近百年的终极问题:量子世界的物理实在究竟是什么?
3.1 对实在论的初步辩护:波函数的轨迹即过程
在我们的探索对话中,一个非常自然且有力的“实在论”观点浮现出来:波函数 \(\Psi(t)\) 本身就是真实的物理实体,而它在希尔伯特空间中划出的那条连续轨迹,就是那个不可分的物理过程。这个观点极具吸引力。它将抽象的“不可分过程”与我们熟悉的波函数演化直接等同起来,提供了一个几何化的、可供想象的物理图像。例如,一个量子比特的状态演化可以被完美地想象为布洛赫球面上的一个点沿着一条确定的轨迹运动。从起点到终点的整个轨迹,作为一个整体,体现了动力学定律的“不可分性”。在这个诠释下,波函数是真实的,它的演化也是真实的物理过程。
3.2 第二重“魔法”:福尔迪-瓦肯海森规范变换
然而,正当我们试图安然接受上述实在论观点时,Barandes 在论文的3.6节为我们揭示了第二种,也是更为深刻的一种规范不变性——福尔迪-瓦肯海森规范变换(Foldy-Wouthuysen Gauge Transformation)。如果说第一种“舒尔-哈达玛规范变换”是允许我们独立调整秘方中每个成分的“风味细节”(相位),那么这第二种变换则更为彻底:它允许我们对整个希尔伯特空间进行一次依赖于时间的、统一的“坐标系旋转”。这种数学上的“重新描述”可以将一个波函数 \(\Psi(t)\) 变换成一个全新的、看起来完全不同的波函数 \(\Psi_V(t)\)。最关键的是,尽管 \(\Psi_V(t)\) 在希尔伯特空间中走出了一条与 \(\Psi(t)\) 完全不同的轨迹,但它所给出的所有最终物理预测(例如,在任意时刻找到粒子的概率)却与前者完全相同。这个现象的绝佳类比,正如在我们的对话中提到的,就是光子偏振的描述。我们可以选择用“水平/垂直”这对基底来描述一个光子的偏振态,也可以选择用“左旋/右旋圆偏振”这对基底来描述。我们选择的数学“语言”和“坐标系”完全不同,但我们描述的都是同一个、唯一的、真实的光子物理状态。
动画5:描述的自由与实在的唯一
生活化类比:想象两张地图(左/右画布)描述同一片海洋的暗流。两张地图上的粒子轨迹(数学描述 \(\Psi(t)\))看起来截然不同。但是,如果你在两张地图的相同地理位置设置“测量站”(虚线),你会发现通过测量站的粒子数量在统计上是完全一致的。这表明,无论我们如何“画地图”,底层的物理现实(测量结果)是唯一的。
左画布通过数: 0 | 右画布通过数: 0
3.3 对实在论的终极挑战
福尔迪-瓦肯海森规范变换的存在,对“波函数的特定轨迹就是物理实在”这一观点构成了致命的挑战。如果我们可以通过一个纯粹的数学变换,将波函数的演化轨迹变得面目全非,而所有可观测的物理结果却保持不变,那么我们还有什么理由相信,那条最初的、或者任何一条特定的轨迹,是唯一“真实”的物理过程呢?这就好比两份使用不同语言书写的航海日志,它们描述了完全不同的航行路线,但都准确地预测了船只每天到达的港口。在这种情况下,我们还能相信其中某一条航线是“真实”的吗?一个更合理的结论是,船只的真实运动或许是某种我们无法直接用“航线”来描述的东西,而这两份日志只是对这个真实过程的两种有效的、但依赖于描述方式的记录。
3.4 物理实在的真容:Beables vs. Gauge Variables
这一挑战最终将我们引向论文最深刻的哲学结论:我们需要严格区分什么是物理实在本身(贝尔称之为“Beables”,本真实在量),什么是依赖于我们描述方式的数学变量(Gauge Variables)。
- 物理实在 (Beables):在这个理论中,真正的物理实在,是那个底层的、不可分的随机动力学定律本身。它的最直接代表,是那个在所有规范变换下都保持不变的转移概率矩阵 \(\Gamma\)。它编码了系统从任何初态到任何末态的真实概率,这是理论中唯一不依赖于我们主观描述方式的“硬通货”。
- 数学工具 (Gauge Variables):而我们熟悉的波函数 \(\Psi(t)\),以及它在希尔伯特空间中的具体轨迹,则属于数学工具的范畴。它们是极其强大和便利的计算设备,但它们本身并非物理实在。它们的具体形式,就像电磁学中的“规范势”一样,是依赖于我们选择的“描述仪表”(gauge)的。
因此,波函数并未被彻底否定,而是被请下神坛。它不再是世界的本体论基石,而是一个连接我们理论计算与物理实在之间不可或缺的桥梁。我们不能脱离波函数来进行计算,但我们或许不应该再执着于追问“波函数本身是什么”这个问题了。
示意图3:冰山下的实在
我们能直接计算和使用的波函数 \(\Psi_1, \Psi_2, ...\) 就像海面上的冰山一角,它们形态各异(依赖于规范选择)。但它们都源自于海面下那个巨大、唯一且不变的物理实在——由概率定律 \(\Gamma\) 所描述的动力学过程。
结论:一场回归物理直觉的胜利
通过对 Barandes 论文第三节的深度探索,我们共同完成了一次激动人心的思想旅程。我们从一个极其简单的物理图像——一个在经典组态空间中发生的、具有时间整体性的随机过程——出发,最终逻辑地、必然地重构了整个量子力学的数学大厦。这场“返璞归真”的革命,其核心价值在于它深刻地重塑了我们对量子理论的理解:
- 基础的转变:它将量子理论的基础从抽象、非直观的希尔伯特空间公理,转移到了更符合物理直觉的经典概率和动力学定律之上。
- 逻辑的澄清:它将玻恩定则、幺正演化等核心量子规则从“需要信仰的公理”转变为“可以证明的定理”,极大地增强了理论的内在逻辑自洽性。
- 实在的剖析:它通过揭示深刻的规范不变性,为我们提供了一把锋利的手术刀,使我们能够清晰地剖开理论的数学形式,区分哪些是物理实在本身,哪些仅仅是依赖于我们描述方式的便利工具。
最终,这篇论文为我们描绘了一幅全新的量子世界图景。在这个图景中,量子世界的“诡异”之处,或许并不在于粒子能够“同时”处于多个地方(叠加态),而在于支配它们运动的动力学定律本身是“诡异”的——它是一种不可分割的、具有时间整体性的概率法则。世界的基本构成或许依然是我们熟悉的经典“组态”,但连接这些组态的“法则”却遵循着一种前所未见的、非经典的逻辑。
虽然这一诠释框架所做出的实验预测与标准量子力学完全一致,但它在概念上的清晰性和逻辑上的完备性,无疑为我们思考更深层次的物理问题(如量子引力)提供了全新的视角和语言。这场返璞归真的思想革命,或许正是我们最终揭开量子世界神秘面纱的关键一步。
技术附录:深入细节
A.1 关于施廷斯普林扩张定理的直观理解
施廷斯普林扩张定理(Stinespring Dilation Theorem)是数学中算子代数领域的一个强大工具,但其核心思想可以被直观地把握。它告诉我们,任何“行为良好”的线性映射(在我们的例子中,是描述概率演化的 \(\Theta\) 算符),即使它本身不是完美的(比如非幺正),也总能被“扩张”到一个更大的空间中,使其成为一个完美算符(幺正算符 \(U\))的一部分。
想象一个不完美的投影仪(我们的 \(\Theta\)),它投射出的图像有些失真和亮度损失(非幺正,概率不完全守恒于子系统)。施廷斯普林定理说,我们可以构建一个更大、更完美的3D全息投影系统(幺正演化 \(U\)),其中包含了我们的二维投影仪。这个3D系统本身是完美的,能量/信息完全守恒。当我们只观察它在特定二维平面(我们的原始希尔伯特空间)上的投影时,我们看到的就是那个不完美的图像。因此,任何物理上合理的(完全正定、保持迹的)演化,都可以被视为一个更大的、与环境发生了信息交换的幺正演化过程的局部表现。这为将所有物理演化都统一在幺正框架下提供了坚实的数学基础,而无需将其作为一条独立的物理公理。
A.2 福尔迪-瓦肯海森变换的物理意义
福尔迪-瓦肯海森(Foldy-Wouthuysen, FW)变换最初是在相对论量子力学中为解决狄拉克方程的“负能解”问题而提出的。狄拉克方程的直接解包含了电子和正电子,它们的耦合使得单个电子的图像变得复杂。FW变换的本质是一系列依赖于时间的幺正变换,其目的是“解耦”这些正负能部分,从而得到一个更清晰的、更接近我们经典直觉的单粒子图像(例如,一个定义清晰的位置算符)。
在Barandes的理论中,这种变换被推广为一种普适的规范自由度。它的深刻之处在于,它表明了我们如何将希尔伯特空间中的“状态”分解为我们熟悉的概念(如位置、动量),本身就存在巨大的模糊性和选择性。一个在某个“表示”(representation)或“绘景”(picture)下看起来是粒子在空间中平滑运动的波函数,在经过FW变换后,可能在另一个绘景下看起来像是在剧烈振荡(Zitterbewegung,颤动)。然而,由于所有可测量的概率(比如在某个区域找到粒子的概率)在变换前后保持不变,这两种截然不同的“轨迹”描述的是同一个物理现实。这强有力地说明,波函数在希尔ōbert空间中的具体轨迹,更像是我们选择的“坐标系”或“语言”的产物,而非物理实在本身。
A.3 与其他量子诠释的简要对比
- vs. 哥本哈根诠释:本理论避免了哥本哈根诠释中模糊的“测量”概念和波函数“坍缩”公理。演化是统一的,玻恩定则源于经典概率,没有经典世界和量子世界的割裂。
- vs. 多世界诠释:本理论不需要引入指数级增长的平行宇宙来解释测量结果。世界线是单一的,但其演化遵循随机法则。不确定性是本体论的,而非源于我们在哪个“分支”。
- vs. 隐变量理论(如玻姆力学):与玻姆力学不同,本理论不引入任何额外的“隐变量”(如粒子真实位置)或“量子势”来引导粒子。随机性是内禀的,根植于动力学定律本身,而非源于我们对隐变量的无知。此外,它天然地符合相对论,没有超光速信号问题。
总而言之,Barandes的理论提供了一条中间道路。它坚持物理实在论(存在一个独立于观察的现实世界),但将量子力学的非经典性归因于动力学定律的“不可分性”和时间整体性,而非粒子状态的奇异属性或观察者的介入。这是一个深刻且富有启发性的视角,值得物理学和哲学界进行更深入的探讨。