摘要
长期以来，量子理论的非经典特征，如叠加和纠缠，被认为是其与经典物理学的根本区别。然而，近期研究表明，一个更深层次的联系可能存在于量子动力学和一类特殊的随机过程之间。本文深入探讨了“不可分随机过程” (Indivisible Stochastic Processes) 的理论框架，并构建了其与量子系统之间严格的数学对应关系。我们证明，任何有限维量子系统的幺正演化都可以被一个不可分的随机过程精确建模。此过程仅依赖于一阶转移概率，但其演化算符在中间时间点不可被分解为多个有效的随机矩阵，从而体现了其“不可分”的本质。这一发现挑战了传统的马尔可夫/非马尔可夫过程的分类，并揭示了量子动力学的核心是一种内在的、不可简化的整体性。我们通过引入一个“势”矩阵 \(\Theta(t \leftarrow t_0)\)，其元素的模平方等于转移概率 \(\Gamma_{ij}(t \leftarrow t_0) = |\Theta_{ij}(t \leftarrow t_0)|^2\)，成功地将概率演化与希尔伯特空间中的演化算符联系起来。此对应关系不仅为理解量子现象提供了新的本体论视角，还可能启发在经典随机系统中模拟量子计算的新途径。我们进一步识别出一类新的规范变换，这些变换在随机过程中表现为概率的重新分配，而在量子图像中则对应于波函数的相位变换。该工作不仅弥合了随机过程理论与量子力学之间的鸿沟，还为探索量子基础问题以及开发受量子启发的计算模型开辟了新的道路。总而言之，本文论证了量子力学的线性演化结构可以从一个更基础的、关于信息和概率在时间中“不可分割”地流动的原理中涌现出来。
引言：在随机的舞蹈中窥见宇宙的秩序
他的想法其实挺简单的，柯氏塔的所有层级对于他所定义的不可分随机都是不适用的。但是也不能说他没有记忆，他的记忆就是T。时刻。没观测一次塌缩得到的都是T。时刻，除此之外不能再追溯了。这个时刻就是系统的初态。
然后他证明了如果偏要在这个不可分过程中强行塞入一个中间过程（这里他引入了转移矩阵的逆矩阵来做这个过程保证和T。关联），这个中间过程又要根据定义和T。关联，就会出现负概率，这是现实中不被允许的。自然而然所以就必须引入一个有复数的矩阵（势）来定义这个负概率现象，并用模方来做正概率。这就和波恩定则联系起来了。
也就是说我们可以生硬的切分但是切分会倒逼我们去找一个由势矩阵构成的底层原则，这个原则是自然而然出现的，并不是从量子现象本身推导的。
大家好，我是James。今天，我想邀请大家和我一起踏上一段探索之旅，去探寻一个看似随机、实则蕴含深刻秩序的世界。我们通常认为，量子世界是怪异的、反直觉的，充满了不确定性。而经典世界，比如扔骰子，虽然也有随机性，但我们觉得它的规则是清晰的。我今天要分享的，正是连接这两个世界的桥梁——一种被称为"不可分随机过程"的全新观念。
我的研究始于一个简单的问题：我们能否用一种更基础、更符合直觉的语言来描述量子力学？答案，或许就隐藏在我们对“时间”和“概率”的理解之中。传统的随机过程，就像一部电影，可以一帧一帧地播放，每一帧都只依赖于前一帧。但如果我告诉你，宇宙的演化更像一首交响乐，每一个音符的意义都取决于整个乐章，而不是仅仅前一个音符呢？这就是“不可分”思想的核心。
在接下来的内容里，特别是大家最关心的第二节，我将带你深入公式的海洋。但请别担心，我会用最生动的类比和交互式动画，将这些冰冷的符号变成你触手可及的鲜活概念。让我们一起揭开这层神秘的面纱，看看量子力学的背后，是否隐藏着一种更加纯粹和优美的随机之舞。
我们来逐点确认一下你的理解：
与柯氏塔无关：正确。这是一个全新的框架。
特殊的记忆T₀：正确。它的"记忆"就是它的起点，每一次观测都会创造一个新的起点。
强行分割失败：完全正确。你准确地描述了作者是如何通过逆矩阵的数学构造，来证明"强行分割"会导致"负概率"这个不符合物理现实的结果。
引入势矩阵：这里的理解非常接近了，只需要稍微调整一下角度。作者引入势矩阵 Θ，不是为了去"定义"那个失败的负概率现象，而是为了提出一个全新的、更底层的方案来彻底绕开这个问题。他等于是在说：'与其在概率层面打补丁，不如承认概率本身就源自于一个更深的、复数的"势"，只要规定 概率 = |势|²，那么概率就永远是正数了。'
联系波恩定则：完全正确。这个 Γ=∣Θ∣² 的关系，正是通往量子力学波恩定则的桥梁。
总而言之，你的理解已经非常深入和准确了。从一个看似简单的随机过程出发，我们最终看到了它与量子力学核心规则之间惊人的对应关系。
你的理解完全正确。整个逻辑就是：
我们尝试用经典的方法去**"生硬地切分"**。
这个尝试的失败（出现负概率），**"倒逼"**我们必须去寻找一个更底层的原则。
这个新原则——也就是"势"矩阵和模平方规则——是从解决"不可分性"这个问题的数学逻辑中**"自然而然出现"**的。
最终，我们惊喜地发现，这个从概率论思想出发推导出的原则，竟然和量子力学的核心规则不谋而合。
第二节深入解读：构建随机过程的语言
在我们正式进入“不可分”这个核心概念之前，我们必须先打好基础，理解物理学家和数学家是如何描述一个随时间演化的随机系统的。这就像学习一门新语言，我们需要先掌握它的字母和语法。
2.1 教科书里的随机过程：一部可以“快进”的电影
想象一下你在电脑上看一部老电影。这部电影由无数张胶片（也就是“帧”）组成。你想知道电影在某一时刻 \(t\) 的画面 \(i\) 是什么，这取决于它在更早时刻 \(t_1\) 的画面 \(j_1\)。这种依赖关系，我们用一个条件概率来表示：\(p(i,t|j_1,t_1)\)。这个表达式读作：“在时刻 \(t_1\) 画面是 \(j_1\) 的条件下，时刻 \(t\) 画面是 \(i\) 的概率是多少？”
教科书里的标准随机过程，特别是最简单的马尔可夫过程，有一个非常重要的特性：无记忆性。这意味着，电影在时刻 \(t\) 的画面，只取决于它前一帧（时刻 \(t_1\)）的画面，而与更早的 \(t_2, t_3, \dots\) 等时刻的画面无关。这就像一个记忆力很差的人走路，他下一步往哪走，只取决于他现在站的位置，而完全不记得自己是怎么来到这里的。
这种“无记忆性”导致了一个美妙的数学结果：演化是可分的 (divisible)。假设我们想知道从初始时刻 \(t_0\) 到最终时刻 \(t\) 的演化规律。我们可以把它拆分成无数个小步骤，比如从 \(t_0\) 到 \(t_1\)，再从 \(t_1\) 到 \(t_2\)，……，最后从 \(t_{n-1}\) 到 \(t\)。总的演化规律就是这些小步骤规律的简单“乘积”。
这个过程可以用一个非常核心的公式来描述。首先，我们把从一个时刻 \(t'\) 到另一个时刻 \(t\) 的所有条件概率 \(p(i,t|j,t')\) 组合成一个矩阵，称为转移矩阵 \(\Gamma(t \leftarrow t')\)。它的每一个元素 \(\Gamma_{ij}(t \leftarrow t')\) 就代表了从状态 \(j\) 转移到状态 \(i\) 的概率。于是，一个系统的概率分布 \(p(t)\)（一个列向量，每个元素是系统处于某个状态的概率）的演化就可以写成：
\[ p(t) = \Gamma(t \leftarrow t_0) p(t_0) \]对于马尔可夫过程，这个转移矩阵最重要的性质就是它的可分性。对于任何一个中间时刻 \(t'\)（\(t_0 < t' < t\)），我们都有：
\[ \Gamma(t \leftarrow t_0) = \Gamma(t \leftarrow t') \Gamma(t' \leftarrow t_0) \]这个公式（论文中的公式14）就是马尔可夫过程“可分性”的数学化身。它告诉我们，从北京到上海的整个旅程，可以被完美地分解为“从北京到南京”和“从南京到上海”两个子旅程的接续，中间没有任何神秘的“全局效应”。
动画1：记忆之路——马尔可夫 vs 非马尔可夫
生活化类比：想象两个徒步者。马尔可夫徒步者（蓝色）每一步都随机选择方向，完全忘了之前的路。非马尔可夫徒步者（紫色）则记得他最近几步走过的方向，并倾向于沿着一个趋势前进，路径更平滑。
当然，不是所有过程都像马尔可夫过程那么“健忘”。有些过程具有记忆，被称为非马尔可夫过程。比如，股票市场的价格波动，今天的价格不仅和昨天有关，可能还和前天、大前天甚至更久之前的市场情绪有关。在这种情况下，条件概率就需要考虑更久远的历史：\(p(i,t|j_1,t_1; j_2, t_2; \dots)\)。这个包含了所有历史条件的概率集合，被称为柯尔莫哥洛夫塔 (Kolmogorov tower)。马尔可夫过程可以看作是这座“塔”在第一层之后就全部坍缩（信息被“屏蔽”）的特殊情况。
图1：柯尔莫哥洛夫塔 (Kolmogorov Tower)
这张图展示了随机过程的“记忆深度”。一个过程的未来，可以只依赖于最近的过去（一阶，马尔可夫），也可以依赖于更久远的历史（二阶、三阶……，非马尔可夫）。
2.2 不可分随机过程：一曲无法暂停的交响乐
现在，我们终于来到了最激动人心的部分。如果我告诉你，存在一种过程，它的演化规律被一个“铁律”——从初始时刻 \(t_0\) 到任意未来时刻 \(t\) 的转移矩阵 \(\Gamma(t \leftarrow t_0)\)——完全锁定，但这个“铁律”却不允许被拆分成更小的时间步呢？
这就是不可分随机过程 (Indivisible Stochastic Process) 的核心思想。它的“动力学法则”非常简洁：只提供一个连接“现在” \(t\) 和某个被称为“分割事件” (division event) 的特定过去时刻 \(t_0\) 的一阶转移矩阵 \(\Gamma(t \leftarrow t_0)\)。没有更高阶的条件概率，没有柯尔莫哥洛夫塔。它的全部法则，就是那个从 \(t_0\) 到 \(t\) 的“一步到位”的演化。
你可能会问：这怎么可能？我不能在中间时刻 \(t'\) 测量一下系统状态，然后从那里继续演化吗？当然可以！但问题在于，当你试图从数学上定义一个从 \(t'\) 到 \(t\) 的“中间”转移矩阵 \(\tilde{\Gamma}(t \leftarrow t')\) 时，奇怪的事情发生了。我们很自然地会这样定义它（论文中的公式22）：
\[ \tilde{\Gamma}(t \leftarrow t') \equiv \Gamma(t \leftarrow t_0) \Gamma(t' \leftarrow t_0)^{-1} \]这个定义看起来天衣无缝，它保证了 \(\Gamma(t \leftarrow t_0) = \tilde{\Gamma}(t \leftarrow t') \Gamma(t' \leftarrow t_0)\)，形式上满足了可分性。然而，魔鬼在细节中：计算出来的这个 \(\tilde{\Gamma}(t \leftarrow t')\) 矩阵，它的某些元素可能是负数！
一个包含负数的矩阵，绝对不能被称作“概率”转移矩阵，因为概率不可能是负的。我们称这种矩阵为伪随机矩阵 (pseudo-stochastic matrix)。这意味着，虽然整个从 \(t_0\) 到 \(t\) 的演化是完全符合物理规律的（所有概率都非负），但你无法将它“分割”成两个或更多个同样符合物理规律的、只包含非负概率的子过程。这就像一首完美的交响乐，你可以欣赏从头到尾的完整体验，但如果你在中间任意一个点暂停，然后试图从那里“无缝”地续上后半段，你可能会发现音乐的和声变得怪异、不协和——这个“续上”的操作本身在音乐的内在逻辑中是不被允许的。
动画2：不可分割的演化
生活化类比：想象一个量子粒子（紫色球）的演化。它的总演化路径（从左到右）是确定的。但如果你想在中间（虚线处）强行插入一个“观测站”，并计算从该站到终点的“子路径”概率，你会发现计算结果中出现了“负概率”（红色粒子），这是物理上不允许的。这表明这个过程是作为一个整体存在的，无法被分割。
这个“不可分性”，正是连接随机过程和量子力学的关键！量子力学中的波函数演化，由薛定谔方程描述，也是一个从初始状态到最终状态的、线性的、确定性的演化。我们接下来会看到，量子系统的演化算符，恰恰可以被看作是这种不可分随机过程的“根”。
简单来说，一个不可分随机过程的本质在于：它的动力学法则是整体性的、全局性的。你不能通过观察它的片段来完全理解它的整体。这与量子世界中的“非局域性”和“整体性”思想不谋而合。这或许暗示着，我们宇宙的演化，其本质可能并非一步一个脚印的“马尔可夫链”，而更像是一个宏大而不可分割的“量子跃迁”。
图2：转移矩阵 \(\Gamma(t \leftarrow t_0)\)
这个矩阵是随机过程的“引擎”。它的元素 \(\Gamma_{ij}\) 代表系统从初始状态 \(j\)（列）演化到最终状态 \(i\)（行）的概率。对于一个有效的随机矩阵，所有元素必须非负，并且每一列的元素之和必须等于1（代表从任何一个初始状态出发，系统必然会转移到所有可能最终状态中的一个）。
动画3：宇宙的流场
这是一个由柏林噪声驱动的粒子流场。它没有简单的、可预测的路径，但整体上又展现出一种宏大而和谐的结构。这或许可以作为一个视觉上的类比，来感受那种既随机又充满内在秩序的“不可分”过程。
技术附录：深入数学细节
1. 随机矩阵的严格定义
一个 \(N \times N\) 的实数矩阵 \(\Gamma\) 被称为（列）随机矩阵，如果它满足以下两个条件：
- 非负性：所有矩阵元素 \(\Gamma_{ij}\) 都必须大于或等于零。即 \(\Gamma_{ij} \ge 0\) 对所有的 \(i, j \in \{1, \dots, N\}\) 成立。这对应于概率的非负性。
- 列归一化：矩阵的每一列的所有元素之和必须等于1。即 \(\sum_{i=1}^{N} \Gamma_{ij} = 1\) 对所有的 \(j \in \{1, \dots, N\}\) 成立。这对应于全概率定理：从任何一个确定的初始状态出发，系统必须转移到所有可能的目标状态之一。
只有同时满足这两个条件的矩阵才能描述一个物理上可实现的概率演化过程。
2. 伪随机矩阵的来源
为什么 \(\Gamma(t \leftarrow t_0) \Gamma(t' \leftarrow t_0)^{-1}\) 会产生负值？根本原因在于，随机矩阵的集合在常规矩阵乘法下不构成一个群。一个集合要构成群，必须满足封闭性、结合律、有单位元和每个元素都有逆元。随机矩阵的问题出在“逆元”上。一个随机矩阵的逆矩阵，通常不是一个随机矩阵。
论文中给出了一个简洁的证明：假设 \(X\) 和 \(Y=X^{-1}\) 都是随机矩阵。因为它们的元素都非负，而它们的乘积 \(XY=I\)（单位矩阵）中有很多零，这就对矩阵的元素施加了极强的约束。例如，\(X\) 的第一行与 \(Y\) 的第二列的点积为零。由于所有元素非负，这意味着如果 \(X\) 的第一行第 \(k\) 个元素非零，那么 \(Y\) 的第二列第 \(k\) 个元素必须为零。将这个逻辑推广，可以证明 \(X\) 和 \(Y\) 必须是置换矩阵（Permutation matrices）——即每行每列只有一个1，其余都是0。置换矩阵描述的是确定性的、一一对应的状态重排，不包含任何真正的“随机性”。
因此，只要一个随机过程包含任何非平凡的概率（即存在不为0或1的转移概率），它的转移矩阵就不是置换矩阵，其逆矩阵几乎必然会包含负元素，从而导致“不可分性”。
3. “分割事件” (Division Event) 的物理意义
“分割事件” \(t_0\) 是一个非常深刻的概念。它不是一个全局统一的“宇宙初始时间”，而是与特定系统相关的。你可以把它想象成系统与环境发生了一次特殊的相互作用，这次作用“重置”了系统的记忆，使其后续的演化可以从这个点开始，用一个单一的、有效的转移矩阵来描述。例如，一次精密的物理测量就可以被视为一个分割事件。在测量之后，我们获得了系统状态的确定信息，系统的演化就从这个新的起点“重新开始”。不可分性指的是，在两次这样的分割事件之间，系统的演化是浑然一体的，无法再被细分。
动画4：简单随机行走（马尔可夫）
这个动画展示了一个最基础的马尔可夫过程：一个粒子在网格上随机移动。每一步，它向上、下、左、右移动的概率都是均等的（各25%），这个决定与它之前的路径完全无关。这直观地展示了“无记忆性”。
动画5：演化的可分性
这里我们可视化了公式 \(\Gamma(t \leftarrow t_0) = \Gamma(t \leftarrow t') \Gamma(t' \leftarrow t_0)\)。蓝色代表从 \(t_0\) 到 \(t'\) 的演化，绿色代表从 \(t'\) 到 \(t\) 的演化。对于马尔可夫过程，将这两个矩阵相乘（代表两个过程的接续），其结果（紫色）与直接从 \(t_0\) 演化到 \(t\) 的结果完全相同。