物理学讲义 静电场

• 定义：静电学 (Electrostatics) 是研究静止电荷之间相互作用规律的物理学分支。
• 核心问题：探讨电荷是什么、电荷如何相互作用，以及如何描述这种作用。
• 历史渊源：
  • 古希腊时期：泰勒斯发现摩擦过的琥珀能吸引轻小物体，这是最早对静电现象的记录。
  • 18世纪：富兰克林通过风筝实验证明闪电是电的一种形式，并提出了正、负电荷的概念。
  • 18世纪末：库仑精确测量了电荷间的相互作用力，奠定了静电学定量研究的基础。
• 研究意义：静电学是整个电磁学理论的基石，其原理在现代科技中有广泛应用。

• 电荷 (Electric Charge)：物体所带电的多少，是物质的一种基本属性。国际单位制中，单位是库仑 (C)。
• 两种电荷：
  • 正电荷：由失去电子的原子或原子团形成。如玻璃棒与丝绸摩擦，玻璃棒所带的电。
  • 负电荷：由得到电子的原子或原子团形成。如橡胶棒与毛皮摩擦，橡胶棒所带的电。
• 电荷守恒定律：在一个孤立系统中，无论发生何种变化，电荷的总量保持不变。电荷不能被创造或消灭，只能从一个物体转移到另一个物体。
• 元电荷 (Elementary Charge)：一个质子或电子所带电荷的绝对值，用 e 表示，其值为 $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \, \mathrm{C}$。任何带电体的电荷量都是元电荷的整数倍。

• 库仑定律 (Coulomb's Law)：描述真空中两个静止点电荷之间相互作用力的规律。
• 数学表达式：两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 之间的静电力 $F$ 大小为：$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$
• 公式解析：其中 $F$ 是静电力的大小(N)；$q_1, q_2$ 是两个点电荷的电荷量(C)；$r$ 是它们之间的距离(m)；$k$ 是静电力常量，$k \approx 8.99 \times 10^9 \, \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$，也可写作 $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$。
• 力的方向：作用力的方向沿着两个点电荷的连线。同种电荷相斥，异种电荷相吸。
• 适用条件：该定律严格适用于真空中的点电荷。

• 电场 (Electric Field)：存在于电荷周围的一种特殊物质，是电荷间相互作用的介质。
• 电场强度 (Electric Field Strength)：描述电场强弱和方向的物理量，用符号 $E$ 表示。
  • 定义式：放入电场中某点的试探电荷 $q_0$ 所受的静电力 $F$ 与其电荷量的比值：$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$
  • 单位：牛顿/库仑 (N/C) 或 伏特/米 (V/m)。
  • 方向：规定为正试探电荷在该点所受电场力的方向。
• 点电荷的场强公式：真空中，点电荷 $Q$ 在距离 $r$ 处产生的电场强度大小为：$E = k \frac{|Q|}{r^2}$
• 电场叠加原理：若空间存在多个点电荷，则某点的总电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和：$\vec{E}_{总} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \dots = \sum_{i} \vec{E}_i$

• 电场线 (Electric Field Lines)：为了直观地描述电场而人为引入的曲线。主要特点：切线方向表示场强方向；疏密程度表示场强大小；起始于正电荷，终止于负电荷，不相交不闭合。
• 电势 (Electric Potential)：描述电场能量性质的物理量，用 $\phi$ 表示。
  • 定义：电荷在电场中某一点的电势能 $E_p$ 与其电荷量 $q$ 的比值。 $\phi = \frac{E_p}{q}$
  • 单位：伏特 (V)。是一个标量，有正负之分。
• 等势面 (Equipotential Surface)：电场中电势相等的点构成的面。电场线总是与等势面垂直，且从高电势指向低电势。

1. 均匀电场 (Uniform Electric Field)
   • 定义：电场中各点的电场强度大小相等、方向相同的电场。
   • 电场线：是一组间距相等、方向相同的平行直线。
   • 常见形式：由两块面积很大、正对放置的平行金属板（充电后）之间产生。
   • 电势差与场强关系：在场强方向上相距为 $d$ 的两点，电势差 $U$ 与场强 $E$ 的关系为 $U = Ed$。
2. 点电荷电场 (Point Charge Electric Field)
   • 定义：由单个静止点电荷产生的电场。
   • 电场线：
     • 正电荷：以电荷为中心向外辐射的直线。
     • 负电荷：从无穷远处指向电荷的直线。
   • 等势面：以点电荷为球心的一系列同心球面。
   • 场强与电势：场强大小 $E \propto \frac{1}{r^2}$，电势 $\phi \propto \frac{1}{r}$ (取无穷远处电势为零)。

• 电通量 (Electric Flux)：通过某个曲面的电场线的“数量”，用 $\Phi_E$ 表示。对于均匀电场， $\Phi_E = E S_{\perp}$，其中 $S_{\perp}$ 是曲面在垂直于电场方向上的投影面积。
• 高斯定理 (Gauss's Law)：
  • 内容：穿过任意闭合曲面的总电通量，等于该曲面内所有电荷代数和的 $\frac{1}{\epsilon_0}$ 倍。
  • 数学形式：$\Phi_{E, \text{net}} = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$
  • $Q_{\text{in}}$ 是闭合面S内部的总电荷。
• 应用：高斯定理是计算具有高度对称性（球对称、轴对称、面对称）的电荷分布所产生的电场强度的有力工具。应用步骤：选择合适高斯面 → 计算电通量 $\Phi_E$ → 计算内部总电荷 $Q_{\text{in}}$ → 求解场强 $E$。

• 静电平衡状态下的导体：具有三个特点：内部场强为零 ($E_{in}=0$)；整个导体为等势体；净电荷只在外表面分布，尖端密度大（尖端放电）。
• 静电屏蔽 (Electrostatic Shielding)：利用静电平衡导体的特性，将外部电场阻挡在导体壳之外，使得导体空腔内部不受外部电场影响的现象。例如法拉第笼。
• 电容器 (Capacitor)：能够储存电荷和电能的元件。
  • 构造：由两个相互靠近且彼此绝缘的导体组成。
  • 电容 (Capacitance)：描述电容器储存电荷能力的物理量，用 $C$ 表示。定义式为 $C = \frac{Q}{U}$，其中Q是电容器所带电荷量，U是两极板间电势差。单位是法拉 (F)。
  • 平行板电容器：电容大小为 $C = \frac{\epsilon S}{4\pi k d} = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 S}{d}$。

• 电介质 (Dielectric)：绝缘体。在电场作用下，其内部会发生一些电学性质的变化。
• 电介质的极化 (Polarization)：
  • 现象：当电介质置于外电场中，其内部无自由移动的电荷，但束缚电荷会在外电场作用下重新排列。
  • 结果：在电介质的两个相对表面上出现等量异号的感应电荷（极化电荷）。
  • 内部电场：极化电荷会产生一个与外电场方向相反的附加电场 $E'$，从而使介质内部的总电场 $E = E_{外} - E'$ 减弱。
• 相对介电常数 ($\epsilon_r$)：描述电介质减弱电场能力的物理量。$\epsilon_r = \frac{E_{外}}{E_{内}}$。对于真空，$\epsilon_r=1$。
• 对电容器的影响：在电容器两极板间充满电介质后，
  • 电容增大：由于内部场强减弱，导致相同电荷量下极板间电势差 $U$ 减小。根据 $C = Q/U$，电容 $C$ 增大为原来的 $\epsilon_r$ 倍：$C' = \epsilon_r C_{真空}$。

• 电势能 (Electric Potential Energy)：电荷在电场中由于其位置而具有的能量。电场力做功等于电势能的减少量：$W_{AB} = E_{pA} - E_{pB}$。
• 静电场的能量：电场本身就是能量的载体。建立电场的过程，就是储存能量的过程。
• 电容器的储能：充电后的电容器储存的能量等于充电过程中外力克服电场力所做的功。
  • 计算公式：$W = \frac{1}{2}QU = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{Q^2}{2C}$
• 电场能量密度 (Energy Density)：单位体积的电场空间内所储存的电场能量。
  • 公式：对于任意电场，其能量密度 $w_e$ 为：$w_e = \frac{1}{2}\epsilon_0 \epsilon_r E^2$
  • 意义：这个公式表明，电场的能量是弥散在整个电场空间中的。电场强的地方，能量也更集中。

• 验电器 (Electroscope)：
  • 原理：利用同种电荷相互排斥的原理。
  • 用途：检验物体是否带电，以及粗略判断所带电荷的种类和多少。
• 库仑扭秤 (Torsion Balance)：
  • 原理：通过测量金属丝的扭转角度来精确测定微小作用力的大小。
  • 历史意义：库仑正是利用它首次精确地测定了电荷间的作用力，从而得出了库仑定律。
• 静电计 (Electrometer)：
  • 原理：指针偏转角与两金属导体间的电势差成正比。
  • 用途：测量电势差，常用于研究平行板电容器电容与各因素关系的实验。
• 感应起电机 (Induction Machine)：如范德格拉夫起电机，利用静电感应原理，可以持续不断地产生并积累大量电荷，获得很高的电压。

静电在生活和生产中既有需要防止的危害，也有广泛的应用。

• 静电的应用 (Utilization)：
  • 静电除尘：利用高压静电使空气电离，烟尘颗粒带电后被吸附到集尘极上，有效净化空气。
  • 静电喷涂：使涂料微粒带电，在电场力作用下均匀附着在工件表面，节省涂料且质量高。
  • 静电复印：利用光电导材料（如硒）曝光后电阻变化的特性，实现图像的静电吸附和转印。
  • 农业领域：静电喷雾技术可以使农药液滴带电，提高其在作物表面的附着率。
• 静电的防止 (Prevention)：
  • 主要危害：电击、引发火灾和爆炸（如在油库、面粉厂）、干扰电子设备正常工作。
  • 防护措施：良好接地、增加环境湿度、使用防静电材料、安装静电消除器等。

题目：真空中，边长为 $a$ 的等边三角形ABC的三个顶点上，分别放置着电荷量为 $+q, +q, -q$ 的点电荷。求三角形中心O点的电场强度大小和方向。

解析：

• Step 1: 分析对称性。 顶点A, B处的两个$+q$电荷在O点产生的场强大小相等，方向关于竖直轴对称。
• Step 2: 计算各场强大小。 O点到各顶点的距离 $r = \frac{a/\sqrt{3}}{ \cos(30^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$。每个电荷在O点产生的场强大小为 $E_A = E_B = E_C = k \frac{q}{r^2} = k \frac{3q}{a^2}$。
• Step 3: 矢量合成。
  • $E_A$ 和 $E_B$ 的合场强 $E_{AB}$ 方向竖直向下，大小为 $2 E_A \cos(30^\circ) = 2 \cdot k \frac{3q}{a^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = k \frac{3\sqrt{3}q}{a^2}$。
  • C处的$-q$在O点产生的场强 $E_C$ 方向也是竖直向下，大小为 $k \frac{3q}{a^2}$。
• Step 4: 求总场强。 O点的总场强是 $E_A, E_B, E_C$ 的矢量和，方向均竖直向下。$E_O = E_{AB} + E_C = 2 \cdot E_A \cos(60^\circ) + E_C = 2(k\frac{q}{r^2})(\frac{1}{2}) + k\frac{q}{r^2} = 2k\frac{q}{r^2} = 2k\frac{3q}{a^2} = \frac{6kq}{a^2}$ 最终总场强大小为 $E_O = E_{AB} + E_C = k\frac{3q}{a^2} + k\frac{3q}{a^2} = \frac{6kq}{a^2}$，方向由O指向C。

题目：在场强为 $E$ 的匀强电场中，将一个电荷量为 $+q$ 的粒子，从A点移动到B点，再从B点移动到C点。已知AB间距离为 $d_1$，且AB连线与电场线平行；BC间距离为 $d_2$，且BC连线与电场线垂直。求整个过程中电场力做的功和粒子电势能的变化。

解析：

• 分析A到B过程：
  • 电场力 $F=qE$，方向与位移方向相同。
  • 电场力做功 $W_{AB} = F \cdot d_1 = qEd_1$。
  • 电场力做正功，电势能减少，$\Delta E_{p,AB} = -W_{AB} = -qEd_1$。
• 分析B到C过程：
  • 电场力方向与位移方向垂直。
  • 电场力做功 $W_{BC} = F d_2 \cos(90^\circ) = 0$。
  • 电场力不做功，电势能不变，$\Delta E_{p,BC} = 0$。
• 分析全过程 (A到C)：
  • 总功等于各段功的代数和：$W_{AC} = W_{AB} + W_{BC} = qEd_1 + 0 = qEd_1$。
  • 总电势能变化：$\Delta E_{p,AC} = \Delta E_{p,AB} + \Delta E_{p,BC} = -qEd_1$。
• 结论：电场力做功只与初末位置有关，与路径无关。BC两点在同一个等势面上。

掌握这些技巧，可以有效避免失分，提高解题效率。

• 常见误区 (Common Mistakes)：
  • 混淆标量与矢量：电场强度、电场力是矢量，需要进行矢量合成；电势、电势能是标量，直接代数求和。
  • 忘记适用条件：库仑定律用于点电荷，$U=Ed$ 用于匀强电场。
  • 电势正负判断：电势是相对量，其正负与零电势点的选取有关。但电势差是绝对量。正电荷在电势高处电势能大，负电荷相反。
• 解题技巧 (Problem-Solving Skills)：
  • 对称性分析：对于对称的电荷分布，优先考虑利用对称性简化计算，如寻找场强为零的点。
  • 整体法与隔离法：处理带电体系统平衡问题时，灵活运用整体受力分析和对单个物体的隔离分析。
  • 功能关系：涉及电荷运动、速度变化的问题，优先考虑动能定理或能量守恒定律。电场力做功等于电势能的减少，合外力做功等于动能的增加。

本章小结：

• 我们从最基本的电荷概念出发，学习了其守恒和量子化的特性。
• 通过库仑定律定量描述了电荷间的相互作用力。
• 为了更好地描述这种作用，我们引入了电场和电势的概念，它们分别描述了电场的力和能的性质。
• 我们探讨了导体和电介质在电场中的行为，引出了静电屏蔽和电容器等重要应用。
• 最后，我们认识到电场是能量的载体，学习了如何计算电场能。

思考题：

1. 为什么下雨天打雷时，躲在汽车里比躲在树下更安全？请用本章所学知识解释。
2. 一个带正电的物体靠近一个不带电的金属球，它们之间是否存在相互作用力？为什么？