Gemini 2.5 Pro：智解IMO 2025金牌难题

由 Yichen Huang & Lin F. Yang (UCLA) 为您讲述

引言：一场人与AI的智力巅峰对话

大家好，我是黄一晨（Yichen Huang），我的合作者是杨临风（Lin F. Yang）。今天，我想和大家分享一段激动人心的探索旅程——我们如何引导Google最新、最强大的大型语言模型（LLM）Gemini 2.5 Pro，去挑战被誉为“数学世界杯”的国际数学奥林匹克（IMO）竞赛。这不仅仅是一次对AI能力的测试，更是一场关于人类智慧与机器智能如何协作、共创未来的深刻对话。

IMO的题目，绝非简单的计算或套用公式。它们是数学思想的迷宫，需要深邃的洞察力、天马行空的创造力以及无懈可击的逻辑推理。长久以来，这片领域被认为是AI难以逾越的天堑。过去的模型，即便在海量数据中“饱读诗书”，面对真正新颖、需要“灵光一闪”的IMO难题时，往往会显得捉襟见肘，甚至产生逻辑谬误，我们称之为“AI幻觉”。

而我们的工作，正是要回答一个核心问题：当拥有了像Gemini 2.5 Pro这样强大的“大脑”后，我们是否能通过巧妙的“引导”和“训练”，让它学会像一位真正的数学家那样思考？我们相信，答案的关键不在于模型本身，而在于我们如何与模型对话。我们设计了一套独特的“解题流水线”，这套方法论最终帮助Gemini 2.5 Pro成功解决了2025年IMO赛事中6道题中的5道，达到了人类金牌选手的水平。这趟旅程充满了挑战与惊喜，现在，请允许我带领大家一探究竟。

核心理念：AI不是自动解题机，而是强大的思想伙伴

我们首先要摆脱一个误区：把LLM看作一个输入问题、输出答案的黑箱。相反，我们视其为一个潜力无限、但需要悉心引导的“学生”或“研究伙伴”。它的知识库浩如烟海，但缺乏将知识串联起来、形成严谨证明的“章法”。我们的任务，就是为它提供这套章法。这套方法的核心，我们称之为“探索-改进-验证”流水线。

第一章：我们的秘密武器——“探索-改进-验证”流水线

想象一下，一位顶尖的数学家是如何解决难题的？他不会一蹴而就。他会先尝试多种思路（探索），然后对有希望的方向进行深化和修正（改进），最后，他会像最严苛的审稿人一样，逐行检查自己的证明，确保万无一失（验证）。我们的流水线，正是对这一人类智慧过程的模拟。

第一步：探索——广撒网，捕捉灵感的火花

在第一步，我们不会强求Gemini立刻给出一个完美答案。相反，我们鼓励它进行“头脑风暴”，生成多个初步的解题思路。这就像一个探险队进入未知森林，派出多路侦察兵。我们知道，大部分尝试可能会失败，但只要有一个侦察兵找到了正确的路径，我们就有了胜利的希望。我们的提示词（Prompt）在这里至关重要，我们强调“严谨性优先”，要求它诚实地报告自己能证明到哪一步，而不是伪造一个看似完整的答案。

第二步：改进——在“思考预算”内精益求精

LLM的思考过程会消耗大量的“计算资源”，我们称之为“思考预算”（Thinking Budget）。一次性解决IMO难题，往往会耗尽这个预算，导致思考半途而废。我们的流水线巧妙地解决了这个问题。在第二步，我们让Gemini“审视”自己在第一步中产出的、最有希望的草稿。这相当于给了它一次全新的、完整的“思考预算”，让它可以在已有的基础上，继续向前推进、填补逻辑漏洞、完善细节。这就像给探险队补充了给养，让他们能走得更远。

动画1：思考预算的“充电站”

生活化类比：想象一下，解决一个超级难题就像跑一场超长马拉松。一次跑完几乎不可能。我们的流水线就像在沿途设置了多个补给站，让AI可以分段冲刺，每次都精力充沛。

状态: 待开始 | 当前步骤: 0 | 预算: 100%

第三步：验证——苛刻的“AI审稿人”

这是我们流程中最具创新性的一环。我们再次利用Gemini 2.5 Pro，但这次，我们让它扮演一个全新的角色——一个极其严苛、吹毛求疵的数学竞赛裁判。我们称之为“验证器”（Verifier）。验证器的唯一任务，就是逐字逐句地检查“改进”步骤生成的解决方案，找出其中所有“致命错误”（Critical Errors，即逻辑上完全错误的步骤）和“论证跳跃”（Justification Gaps，即结论可能正确但缺少严格证明的步骤）。

这个过程会反复迭代。验证器生成一份“bug报告”，然后模型再根据这份报告去修复自己的证明。这个过程就像是学术界的同行评审（Peer Review），通过不断的批判和修正，让最终的证明千锤百炼，坚不可摧。有趣的是，验证器有时也会犯错，但我们的系统设计得足够鲁棒，可以让模型在后续迭代中识别并纠正这些“误判”，这本身也模拟了科学研究中健康的学术辩论过程。

动画2：AI验证器的工作流程

生活化类比：这就像一个顶级的代码审查员在检查一份复杂的程序。他不仅要找出导致程序崩溃的致命bug，还要指出那些虽然能运行但不够健壮、可能存在隐患的代码。我们的AI验证器就是这样一个角色。

状态: 待开始 | 发现问题: 0

第二章：实战演练——破解IMO 2025难题

为了确保评测的公正性，我们特地选用了刚刚发布的IMO 2025题目。这能最大限度地避免“数据污染”——即模型在训练时已经“背”下了答案。这保证了我们看到的是模型真正的推理能力，而非记忆力。

案例分析1：组合几何的智慧 (Problem 1)

第一题是一个关于平面上直线覆盖点的组合问题。它要求我们判断，用n条直线覆盖特定点集时，有多少条“晴天线”（sunny lines，即斜率不为0、无穷或-1的线）是可能的。这类问题充满了各种可能性，很容易让人陷入枚举的泥潭。

我们给模型的初始提示非常简单：“让我们尝试用归纳法。” 这并非泄题，因为数学归纳法是解决这类问题的标准武器。这相当于告诉探险队：“试试沿着河流行进，可能会有发现。” Gemini 2.5 Pro迅速抓住了这个核心思想，通过巧妙的归纳推理，将一个复杂的n维问题，一步步简化（我们称之为“降维”）为一个核心问题，即分析$k=0, 1, 2, 3$等小规模情况。最终，它完美地证明了只有当晴天线的数量$k$为0、1或3时，才存在满足条件的构型。

动画3：晴天线的覆盖游戏

生活化类比：想象你在玩一个连线游戏，棋盘上有很多钉子，你需要用最少的、特定颜色的绳子穿过所有钉子。这个问题就是要找出哪些颜色的绳子组合是可行的。

状态: 待开始 | 已覆盖点: 0 / 6

案例分析2：解析几何的力量 (Problem 2)

第二题是一道复杂的欧几里得几何证明题，涉及到两个相交的圆、外心、垂心等众多几何元素。对于人类选手来说，这通常需要精妙的几何变换或找到某个隐藏的共圆关系。而对于AI，这却是一个绝佳的展示其“计算暴力美学”的舞台。

我们给出的提示是：“尝试用解析几何。” 这相当于把一个需要空间想象的几何问题，翻译成了一门代数语言。我们建立坐标系，将所有点和线都用代数方程表示。接下来的事情，虽然繁琐，但对于Gemini 2.5 Pro来说却是小菜一碟：大量的代数展开、化简、替换。模型像一台不知疲倦的符号计算引擎，一步步推导，最终证明了结论。虽然这个过程缺少了纯粹几何的优雅，但它展示了AI在处理大规模、高复杂度符号运算方面的超凡能力。它用一种完全不同的方式，抵达了同样的真理之巅。

动画4：几何问题的代数“翻译器”

生活化类比：想象一下，你不会说某种外语，但需要理解一篇该语言的文章。你使用了一个强大的翻译软件，将它转换成你熟悉的母语。解析几何就是AI的“翻译软件”，将复杂的几何关系翻译成它擅长的代数语言。

状态: 几何视图

案例分析3：数论函数的边界探索 (Problem 3)

第三题是一个关于“bonza函数”的数论问题，要求我们找到一个常数$c$的上界。这类问题需要对函数的性质进行极其细致的分类讨论和分析。我们的流水线在这里再次显示了威力。在“探索”阶段，Gemini生成了多种对函数性质的猜测。在“改进”和“验证”的循环中，它逐步排除了不正确的分类，最终将所有可能的“bonza函数”归结为三大类。最精彩的部分在于，它不仅找到了上界$c=4$，还构造出了一个具体的函数，证明了这个上界是可以达到的。这充分展示了模型从理解、分类到构造的完整数学思维能力。

动画5：寻找函数的“天花板”

生活化类比：想象你在一个巨大的房间里放飞气球，气球可以自由漂浮。现在，你不断地增加天花板和墙壁（函数的约束条件），气球的活动空间越来越小，最终它们都会被限制在一个特定的高度之下。这个高度就是我们要求的常数c。

状态: 自由函数 | 约束条件: 0

结论：迈向通用人工智能的一大步

我们的研究表明，像Gemini 2.5 Pro这样的前沿模型，已经具备了解决顶尖数学难题的潜力。然而，要将这种潜力转化为实实在在的成果，关键在于设计出能够有效引导其进行深度、严谨、多步推理的交互框架。我们的“探索-改进-验证”流水线，就是这样一种成功的尝试。

这不仅仅是关于数学。IMO问题是测试通用人工智能（AGI）高级推理能力的绝佳试金石。我们在这项任务上取得的成功，预示着在不远的将来，AI将能够在更多需要创造力和严谨逻辑的领域——如科学发现、药物研发、法律分析等——成为人类不可或-缺的强大伙伴。

当然，我们的旅程才刚刚开始。AI依然有其局限性，例如它对抽象概念的深层理解仍有待提升。但我们有理由相信，随着模型能力的不断增强和我们交互策略的日益成熟，人与AI协作的边界将被无限拓宽。我们正站在一个新时代的黎明，一个人类智慧与机器智能携手，共同攀登科学与思想高峰的时代。

附录：技术细节与问题原文

我们的核心提示词设计理念

在与Gemini 2.5 Pro的交互中，我们精心设计了两类核心提示词（Prompts）：

  • 解题提示词 (Step 1 & 2): 这类提示词的核心是“严谨至上”和“诚实原则”。我们明确指示模型，一个带有瑕疵的“完整答案”是不可接受的。如果无法完成证明，它必须清晰地陈述自己能严格证明的、最重要的部分结论。这有效抑制了模型的“幻觉”现象。
  • 验证提示词 (Step 3): 这类提示词要求模型切换角色，成为一名“IMO阅卷人”。我们指示它“只验证，不修正”，并对错误进行严格分类。这种角色分离的设计，使得验证过程更加客观和聚焦。

IMO 2025 问题原文 (节选)

Problem 1

A line in the plane is called sunny if it is not parallel to any of the $x$-axis, the $y$-axis, and the line $x+y=0$. Let $n \ge 3$ be a given integer. Determine all nonnegative integers $k$ such that there exist $n$ distinct lines in the plane satisfying both the following:

  • For all positive integers $a$ and $b$ with $a+b \le n+1$, the point $(a, b)$ is on at least one of the lines; and
  • Exactly $k$ of the lines are sunny.

Problem 2

Let $\Omega$ and $\Gamma$ be circles with centers $M$ and $N$, respectively, such that the radius of $\Omega$ is less than the radius of $\Gamma$. Suppose circles $\Omega$ and $\Gamma$ intersect at two distinct points $A$ and $B$. Let $MN$ intersect $\Omega$ at $C$ and $\Gamma$ at $D$, such that points $C, M, N,$ and $D$ lie on the line in that order. Let $P$ be the circumcenter of triangle $ACD$. Line $AP$ intersects $\Omega$ again at $E \ne A$. Line $AP$ intersects $\Gamma$ again at $F \ne A$. Let $H$ be the orthocenter of triangle $PMN$. Prove that the line through $H$ parallel to $AP$ is tangent to the circumcircle of triangle $BEF$.

Problem 3

Let $\mathbb{N}$ denote the set of positive integers. A function $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ is said to be bonza if $f(a) | b^a - f(b)^{f(a)}$ for all positive integers $a$ and $b$. Determine the smallest real constant $c$ such that $f(n) \le cn$ for all bonza functions $f$ and all positive integers $n$.