基于量子场内蕴对称性的引力理论

1. arXiv:2310.01460v1 [gr-qc] 2 Oct 2023

2. Mikko Partanen1 and Jukka Tulkki2

3. 1光子学组，电子与纳米工程系，阿尔托大学，P.O. Box 13500, 00076 Aalto, Finland
2工程纳米系统组，理学院，阿尔托大学，P.O. Box 12200, 00076 Aalto, Finland

4. （日期：2023年10月2日）

5. 粒子物理学的标准模型描述了电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用，这是已知的四种自然基本力中的三种[1–3]。第四种相互作用，即引力，描述了场和物质如何弯曲时空[4,5]。

6. 由于其基础理论——广义相对论和量子场论[1,6]——之间的不兼容性，引力与标准模型的统一一直是现代物理学中最具挑战性的问题之一。量子场论利用了与量子场内部矢量空间相关的对称性[1–3]，而广义相对论则基于外部时空对称性[7–12]。

7. 在此，我们利用量子电动力学的修正表述[13]中量子场的内蕴特殊酉对称性，将电磁场和狄拉克电子-正电子场与一个张量规范场耦合。我们证明，该张量规范场的动力学方程能够描述引力。在弱耦合极限下，理论可退化为广义相对论，而对于非零耦合的一般情况，则能够对黑洞和可能的时间起点等强引力场进行超越广义相对论的研究。我们的工作为在一个单一、连贯的数学框架内——即所谓的"万有理论"——构建一个包含所有基本相互作用的理论提供了可行的途径。

8. 量子场论是一个综合了经典场论、量子力学和狭义相对论的理论框架。粒子物理学的标准模型正是在此框架基础上，通过与物理系统不变量相关的酉对称性而建立的[3,14]。电动力学的规范不变性，与阿贝尔群的相位旋转变换相关，是此类对称性最简单的例子。

9. 杨-米尔斯理论将规范理论推广到非阿贝尔特殊酉对称性[3,14,15]，从而允许力载流子之间相互作用。它描述了标准模型中其他基本相互作用的行为，是电动力学与弱、强相互作用统一的核心。然而，一种类似的、基于特殊酉对称性来描述引力的方法至今仍是未知的。因此，诸如弦理论[16,17]和圈量子引力[18–20]等替代方法正在发展之中。

10. 许多作者试图通过以一种与杨-米尔斯理论兼容的方式重新表述时空对称性来解决这个问题[21–31]。然而，外部时空对称性与量子场内蕴矢量空间对称性之间的差异，对这种规范引力理论方法构成了挑战[12]。

11. 在这项工作中，我们采用了量子电动力学修正的八分量旋量表述[13]中的一种内蕴特殊酉对称性。我们利用与此对称性相关的李代数，将电磁场和狄拉克电子-正电子场与一个新的张量规范场耦合，其方式类似于标准模型中电磁、弱和强相互作用中场的规范耦合。

12. 一旦引入了新的规范场，强大的杨-米尔斯理论机制便导出了动力学方程，这些方程是广义相对论中爱因斯坦场方程的推广。随之而来的引力杨-米尔斯规范理论可以使用杨-米尔斯理论的方法进行量子化[3,14]。该规范场的量子，即引力子，是自旋为2的张量玻色子。这些量子将被加入到已知基本粒子的谱系中，从而将现有的标准模型扩展以描述引力。关于此量子化的详细研究将留待未来的工作。

13. 引力与所有场和物质耦合，无论它们是有质量还是无质量的。因此，任何场或物质都不能从引力的完整动力学描述中排除。然而，我们可以将研究范围限定在引力与电动力学之间的耦合，因为我们认为电磁场、狄拉克电子-正电子场和引力场构成的系统是一个基本的系统，足以提供获得一个与其他已知自然基本力处于同等地位的引力统一描述所需的所有洞见。一旦当前的引力-电动力学耦合问题得到解决，便可以着手将该理论扩展到引力与其他有质量和无质量场的耦合。

14. 我们从麦克斯韦电动力学理论[32]和修正的量子电动力学八分量旋量表述[13]出发。量子电动力学的八分量旋量表述揭示了量子场的内蕴特殊酉对称性与对称应力-能量张量之间的深刻联系。由于在广义相对论中，对称应力-能量张量是引力场的源，因此基于特殊酉对称性的规范理论理应描述引力相互作用，这一点变得显而易见。这是本文发展引力杨-米尔斯规范理论的基础。

引力生成拉格朗日量密度

15. 电磁场由一个八分量旋量描述，通过传统的三分量实值电场 $E_{\Re}$ 和磁场 $B_{\Re}$ 表示为 $\Psi_{\Re} = \sqrt{\epsilon_0/2} [0, E_{\Re}, 0, icB_{\Re}]^T$。这里的上标 T 表示转置，$\epsilon_0$ 是真空介电常数，c 是真空中的光速。四分量狄拉克旋量场 $\psi$ 以其常规形式使用。狄拉克伽马矩阵 $\gamma_{\mu}^F$ 和电磁规范协变导数 $\vec{D}_{\mu}$，其中指标 $\mu \in \{0, x, y, z\}$ 遍历四个闵可夫斯基时空维度，构成了八分量旋量 $\gamma^F$ 和 $\vec{D}$，详见"方法"部分。

16. 八分量旋量理论是用四个 $8 \times 8$ 的玻色伽马矩阵 $\gamma_{\mu}^B$ 和 $\gamma_5^B = i\gamma_0^B\gamma_x^B\gamma_y^B\gamma_z^B$ 来表述的。这些矩阵在文献[13]中有明确的表述。它们满足狄拉克代数，即克利福德代数 $C\ell_{1,3}(\mathbb{C})$。$\gamma_{\mu}^B$ 的狄拉克代数的定义性质是反对易关系 $\{\gamma_{\mu}^B, \gamma_{\nu}^B\} = 2\eta_{\mu\nu}I_8$，其中 $I_8$ 是 $8 \times 8$ 的单位矩阵，$\eta_{\mu\nu}$ 是闵可夫斯基度规张量，满足 $\eta_{00}=1$ 和 $\eta_{xx}=\eta_{yy}=\eta_{zz}=-1$。利用 $\gamma_{\mu}^B$ 和 $\gamma_5^B$，电磁场和狄拉克场的引力生成拉格朗日量密度由文献[13]给出：

$$ L_0 = \frac{\hbar c}{4g_g} \bar{\psi}(\vec{D}\bar{I}_8\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{\partial}_{\nu}I_8\gamma^F - \bar{\gamma}^F\bar{I}_8\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{\partial}_{\nu}I_8\vec{D})\psi + i\frac{g_g}{\hbar c}\bar{\Psi}_{\Re}I_8^{\dagger}\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{\partial}_{\nu}\bar{I}_8^{\dagger}\Psi_{\Re} - m_e c^2 \bar{\psi}\psi + \bar{\Psi}_{\Re}\Psi_{\Re}. \quad (1) $$

17. 此处，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$g_g$ 是本理论的引力耦合常数，单位为距离的倒数。通过方程 (1) 的前两项，狄拉克场和电磁场将作为本理论的结果与引力场耦合。第三项是众所周知的狄拉克场质量项，其中 $m_e$ 是电子的静止质量。第四项是传统电磁拉格朗日量密度的八分量旋量表示。方程 (1) 中的偏导数 $\vec{\partial}_{\nu}$ 作用于 $I_8$，而不延展到旋量 $\Psi_{\Re}$ 和 $\psi$ 上。关于各量的技术定义，请参见"方法"部分。

特殊酉对称性

18. 我们遵循传统的杨-米尔斯理论，寻找方程 (1) 中的引力生成拉格朗日量密度所保持不变的全局对称性。然后，我们引入规范场使这些对称性变为局域的。该生成拉格朗日量密度平凡地满足量子电动力学的 $U(1)$ 对称性。由于包含了电磁规范场并使用了电磁规范协变导数 $\vec{D}$，该对称性是局域满足的。

19. 接下来我们应用特殊酉对称性变换，由文献[13]给出：

$$ I_8 \rightarrow UI_8, \quad \text{其中} \quad U = e^{i\phi_{\mu}t^{\mu}}. \quad (2) $$

20. 这里 $\phi_{\mu}$ 是一个描述对称性变换参数的实值四维矢量，对称性变换矩阵 $U$ 的行列式为1。变换生成元 $t^{\mu}$ 是无迹的厄米矩阵，以复共轭伽马矩阵的形式给出：$t^{\mu} = (\gamma_0^B\gamma_5^B\gamma_{\mu}^B)^*$。这组矩阵生成了克利福德代数 $C\ell_{4,0}(\mathbb{C})$，其反对易关系为 $\{t^{\mu}, t^{\nu}\} = 2\delta^{\mu\nu}I_8$，其中 $\delta^{\mu\nu}$ 是克罗内克符号。对易关系为 $[t^{\mu}, t^{\nu}] = if^{\mu\nu}_{\rho}t^{\rho}$，其中 $f^{\mu\nu}_{\rho} = 2\epsilon^{0\rho\mu\nu}$ 是实值常数，$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ 是列维-奇维塔符号。矩阵的迹满足 $\text{Tr}(t^{\mu}t^{\nu}) = 8\delta^{\mu\nu}$。

21. 矩阵 $t^{\mu}$ 也是一个李代数的生成元，其中对易子扮演李括号的角色，$f^{\mu\nu}_{\rho}$ 是全反对称的结构常数。这一事实使我们能够运用杨-米尔斯规范理论的强大工具[3]。因此，接下来的一切都是遵循传统量子场论方法，对方程 (2) 中对称变换的规范不变性的直接推论。

22. 虽然粒子物理学的标准模型基于酉群 $U(1)$ 和特殊酉群 $SU(2)$、$SU(3)$，但与方程 (2) 中变换对应的对称性群是 $SU(8)$ 的一个四维子群，我们将其表示为 $SU(8)_{4D}$。方程 (2) 中的变换与 $\gamma_5^B$ 和成对的伽马矩阵对易，即 $[U, \gamma_5^B] = 0$ 和 $[U, \gamma_{\rho}^B\gamma_{\sigma}^B] = 0$。这些关系对于后续规范理论中拉格朗日量密度的不变性是必需的。

23. 此外，$U$ 与张量场洛伦兹变换 $\Lambda_J = e^{\frac{1}{8}\Omega_{\rho\sigma}[\gamma_{\rho}^B, \gamma_{\sigma}^B]}$ 对易，即 $[U, \Lambda_J] = 0$，其中 $\Omega_{\rho\sigma}$ 是一个参数化洛伦兹变换的矩阵[13]。关于 $U$ 对称性性质的更详细研究将作为未来工作的主题。

规范协变导数

24. 当 $\phi_{\nu}$ 为常数时，方程 (2) 中的对称性变换是全局的。为了将这个全局对称性提升为局域对称性，我们允许 $\phi_{\nu}(t, x, y, z)$ 依赖于时空。由于对于不同的 $\phi_{\nu}$ 值，对称性变换矩阵 $U$ 不对易，该对称性变换代表了一个非对易对称性，我们的场论被称为非阿贝尔规范理论。

25. 非阿贝尔规范理论的一个典型例子是杨和米尔斯最初考虑质子-中子二重态在同位旋下变换的理论[3,14,15,33]。遵循杨-米尔斯理论的标准方法[3,14]，可以推断，当我们引入规范协变导数 $\vec{D}_{\nu}I_8$ 和 $\vec{D}_{-\nu}^{\dagger}\bar{I}_8^{\dagger}$ 时，方程 (1) 中的引力生成拉格朗日量密度可以在方程 (2) 的对称性变换下保持局域不变：

$$ \vec{D}_{\nu} = I_8 \vec{\partial}_{\nu} - i g_g h_{\nu}, \quad \vec{D}_{-\nu}^{\dagger} = I_8 \vec{\partial}_{\nu} - i g_g \bar{h}_{\nu}, \quad \text{其中} \quad h_{\nu} = h_{\mu\nu}t^{\mu}. \quad (3) $$

26. 此处，厄米规范场 $h_{\nu}$ 由 $t^{\mu}$ 和无量纲的实值分量 $h_{\mu\nu}$ 表示。规范场 $h_{\nu}$ 及其分量 $h_{\mu\nu}$ 在洛伦兹变换下是不变的，即 $\Lambda_J h_{\nu} \Lambda_J^{-1} = h_{\nu}$。洛伦兹不变性是度规张量分量的定义属性[3]。

27. 从下文推导的场方程中可以明显看出，所引入的规范场确实与度规张量相关。规范协变导数通过矩阵 $U$ 和 $\bar{U}^{\dagger}$ 进行变换，即 $\vec{D}_{\nu}I_8 \rightarrow U\vec{D}_{\nu}I_8$ 和 $\vec{D}_{-\nu}^{\dagger}\bar{I}_8^{\dagger} \rightarrow \bar{U}^{\dagger}\vec{D}_{-\nu}^{\dagger}\bar{I}_8^{\dagger}$。

28. 这些关系要求 $h_{\nu}$ 的变换由 $h_{\nu} \rightarrow (Uh_{\nu} - \frac{i}{g_g}\partial_{\nu}U)U^{\dagger}$ 给出。

29. 使用规范协变导数算子 $\vec{D}_{\nu}$ 和 $\vec{D}_{-\nu}^{\dagger}$ 替代偏导数 $\vec{\partial}_{\nu}$，使得方程 (1) 中的引力生成拉格朗日量密度在方程 (2) 的局域对称性变换下保持不变。

规范不变拉格朗日量密度

30. 为了写出完整的规范不变拉格朗日量密度，我们还必须包含一个只依赖于规范场 $h_{\mu\nu}$ 的规范不变项。利用杨-米尔斯规范理论[3]，这可以从规范协变导数的对易子中获得[3,14]。

31. 关系 $[\vec{D}_{\mu}, \vec{D}_{\nu}] = -ig_g H_{\mu\nu}$ 被用来定义一个反对称的场强张量 $H_{\mu\nu}$：

$$ H_{\mu\nu} = \partial_{\mu}h_{\nu} - \partial_{\nu}h_{\mu} - ig_g[h_{\mu}, h_{\nu}] = H^{\rho}_{\mu\nu}t_{\rho}, \\ H^{\rho}_{\mu\nu} = \partial_{\mu}h^{\rho}_{\nu} - \partial_{\nu}h^{\rho}_{\mu} + g_g f^{\sigma\lambda}_{\rho}h_{\sigma\mu}h_{\lambda\nu}. \quad (4) $$

32. 该场强张量的对易子项是杨-米尔斯理论的主要新颖之处之一，因为它导致了规范场量子之间的直接相互作用[3]。

33. 场强张量 $H_{\mu\nu}$ 的规范对称性变换法则由上述关系导出，为 $H_{\mu\nu} \rightarrow UH_{\mu\nu}U^{\dagger}$。遵循杨-米尔斯理论的程序[3]，我们得到规范场 $h_{\mu\nu}$ 的规范不变拉格朗日量密度项，由 $L_g = -\frac{1}{64\kappa}\text{Tr}(H_{\mu\nu}H^{\mu\nu}) = -\frac{1}{8\kappa}H^{\rho\mu\nu}H_{\rho\mu\nu}$ 给出。

34. 此处，$\kappa = 8\pi G/c^4$ 是爱因斯坦常数，其中 $G$ 是引力常数。$L_g$ 的前置因子是通过将所得理论与广义相对论进行比较确定的，如下文所讨论。那么，方程 (1) 中引力生成拉格朗日量密度的完整规范不变推广由下式给出：

$$ L = \frac{\hbar c}{4g_g} \bar{\psi}(\vec{D}\bar{I}_8\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{D}_{\nu}I_8\gamma^F - \bar{\gamma}^F\bar{I}_8\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{D}_{\nu}I_8\vec{D})\psi + i\frac{g_g}{\hbar c}\bar{\Psi}_{\Re}I_8^{\dagger}\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{D}_{-\nu}^{\dagger}\bar{I}_8^{\dagger}\Psi_{\Re} - m_e c^2 \bar{\psi}\psi + \bar{\Psi}_{\Re}\Psi_{\Re} - \frac{1}{64\kappa}\text{Tr}(H_{\mu\nu}H^{\mu\nu}). \quad (5) $$

35. 如"方法"部分所示，在闵可夫斯基度规极限 $h_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu}$ 下，方程 (5) 中的拉格朗日量密度简化为已知的量子电动力学拉格朗日量密度。在一般情况下，规范场 $h_{\mu\nu}$ 作为下文推导的场方程的解而获得。

动力学方程

36. 通过著名的欧拉-拉格朗日方程，可以推导出方程 (5) 的拉格朗日量密度中出现的所有场的动力学方程。由此得到的电磁场和狄拉克电子-正电子场的广义麦克斯韦方程和狄拉克方程在"方法"部分中给出。

37. $h_{\mu\nu}$ 的欧拉-拉格朗日方程为 $\partial\mathcal{L}/\partial h_{\mu\nu} - \partial_{\rho}[\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_{\rho}h_{\mu\nu})] = 0$。经过一番代数运算，我们得到动力学方程：

$$ \partial_{\rho}H^{\mu\rho\nu} + g_g f^{\mu\lambda}_{\rho}h_{\lambda\sigma}H^{\rho\sigma\nu} = 2\kappa \bar{T}^{\mu\nu}. \quad (6) $$

38. 方程 (6) 右侧的源项由所谓的迹反转应力-能量张量 $\bar{T}^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}T$ 给出，其中 $T^{\mu\nu}$ 是电磁场和狄拉克场的总对称应力-能量张量[13]。此处及下文的张量缩并简记为省略指标，如 $T=T^{\rho}_{\rho}$。

39. 用电磁场和狄拉克场旋量表示，我们得到：

$$ \bar{T}^{\mu\nu} = \frac{i\hbar c}{4}\bar{\psi}(\vec{D}\gamma_5^B\gamma^{\nu}t^{\mu}\gamma^F - \bar{\gamma}^F\gamma_5^B\gamma^{\nu}t^{\mu}\vec{D})\psi + \bar{\Psi}_{\Re}t^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma_5^B\Psi_{\Re}. \quad (7) $$

40. 如文献[13]所示，$\bar{T}^{\mu\nu}$ 的两项分别与众所周知的狄拉克场和电磁场的迹反转应力-能量张量一致[3]。

41. 定义 $R^{\mu\nu} = \partial_{\rho}H^{\mu\rho\nu} + g_g f^{\mu\lambda}_{\rho}h_{\lambda\sigma}H^{\rho\sigma\nu}$ 并降低张量指标，方程 (6) 可紧凑地写为 $R_{\mu\nu} = \kappa \bar{T}_{\mu\nu}$。此外，我们可以将此方程写成以 $T_{\mu\nu}$ 而非其迹反转形式为源项的形式。通过缩并张量指标，我们得到 $R = \kappa \bar{T} = -\kappa T$。将此关系乘以 $-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}$ 并逐项加到 $R_{\mu\nu} = \kappa \bar{T}_{\mu\nu}$ 上，我们得到：

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}R = \kappa T_{\mu\nu}. \quad (8) $$

42. 方程 (6) 和 (8) 表明，应力-能量张量在规范场 $h_{\mu\nu}$ 的动力学中充当源项。此外，方程 (8) 让人联想到在没有宇宙学常数的情况下广义相对论的爱因斯坦场方程。

43. 区别在于，目前理论尚未定义动力学度规张量，因此方程 (8) 中出现的是闵可夫斯基度规张量。这一观察与一个事实有关：在广义相对论中，可以局部地将时空视为闵可夫斯基时空。局域闵可夫斯基时空对应于四维时空流形的切空间。

44. 只有在全局考虑时，时空因物质存在而弯曲才变得清晰。由于与爱因斯坦场方程的相似性，我们提出规范场 $h_{\mu\nu}$ 描述了引力场。

讨论

45. 为了阐述场方程 (6) 和 (8) 的物理内涵，我们考虑耦合常数趋于零的极限 $g_g \rightarrow 0$。此时，方程 (6) 变为 $\partial_{\rho}\partial^{\rho}h^{\mu\nu} - \partial_{\rho}\partial^{\nu}h^{\mu\rho} = 2\kappa \bar{T}^{\mu\nu}$。使用谐和规范[34]会很方便，在此规范下我们设 $\partial_{\rho}h^{\mu\rho} = 0$。然后，取迹反转并记为 $\bar{h}^{\mu\nu} = h^{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}h$，我们得到一个张量场波动方程：

$$ \partial_{\rho}\partial^{\rho}\bar{h}^{\mu\nu} = 2\kappa T^{\mu\nu}. \quad (9) $$

46. 在应力-能量张量为零的情况下，该方程描述了以光速在真空中传播的引力波[35]。方程 (9) 在形式上等价于著名的引力波方程[4,34]。

47. 接下来，我们考虑经典牛顿极限。方程 (9) 中的迹反转规范场可近似为对闵可夫斯基度规的偏离，即 $\bar{h}^{\mu\nu} = \bar{\eta}^{\mu\nu} + \Delta\bar{h}^{\mu\nu}$，其中 $\Delta\bar{h}^{\mu\nu}$ 代表偏离量。假设应力-能量张量只有一个非零且不随时间变化的分量 $T^{00} = \rho c^2$，其中 $\rho$ 是质量密度。

48. 因此，$\Delta\bar{h}^{\mu\nu}$ 只有一个非零分量 $\Delta\bar{h}^{00}$，使用方程 (9) 可得 $\Delta\bar{h}^{00} = -4\phi/c^2$，其中 $\phi$ 是经典引力势。因此，方程 (9) 可重写为 $\nabla^2\phi = 4\pi G\rho$，这是以质量密度形式表示的著名牛顿引力方程。

49. 另一个有趣的考虑是在具有度规张量 $g_{\mu\nu}$ 的曲线坐标系中研究方程 (8)。方程 (4) 和 (6) 中的偏导数被替换为对应于仿射联络的坐标协变导数，方程 (8) 中的闵可夫斯基度规张量被替换为 $g_{\mu\nu}$。

50. 然后，寻找方程 (8) 右侧为零的真空解，我们发现在 $g_g \rightarrow 0$ 的极限下，方程 (8) 有一个非平凡的精确解 $h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu}$。因此，爱因斯坦场方程的任何解，例如著名的史瓦西解[36]和克尔解[37]，在本理论 $g_g \rightarrow 0$ 的极限下也是解。

51. 因此，在此极限下，本理论再现了爱因斯坦场方程经实验验证的预言，例如水星近日点的进动[4]、光线被太阳弯曲[38]以及光的引力红移[39]。在此极限下，我们也恢复了广义相对论的等效原理。

52. 将等效原理推广到 $g_g$ 非零的本理论中的最终可能性，是未来工作的一个课题。

53. 尽管在 $g_g \rightarrow 0$ 的极限下，本理论的预言与广义相对论的预言一致，但这两个理论在根本上是不同的。预计在强引力场极限下，当耦合常数 $g_g$ 非零时，即使它很小，方程 (4) 中场强张量的对易子项也会变得显著。

54. 这种强引力场存在于黑洞和可能的时间起点处。因此，我们的理论可能为研究超越广义相对论适用范围的强引力场提供一个工具。

55. 很明显，方程 (6) 可以使用量子化杨-米尔斯理论的方法进行量子化[3,14,40,41]。场的量子化结果应该是基本粒子。由于本规范场是一个张量场，其量子必须是自旋为2的张量玻色子[4]。

56. 因此，与规范场 $h_{\mu\nu}$ 相关的粒子必须是引力子，即引力的力载体。作为杨-米尔斯理论的特征，引力子通过场强张量的对易子项相互作用。

57. 在用相应的量子算符替换经典场之后，方程 (6) 和 (8) 可以被看作是广义相对论爱因斯坦场方程的量子场论推广。这种量子化是未来工作的一个课题。

结论

58. 量子电动力学八分量旋量表述[13]的内蕴 $SU(8)_{4D}$ 对称性导出了引力的杨-米尔斯规范理论。该理论基于引力的生成拉格朗日量密度，这与应力-能量张量的守恒有关，并且可以通过引入一个张量规范场，使其在特殊酉变换下保持局域不变。

59. 标准模型中的弱相互作用、强相互作用以及相关的粒子和场仍有待加入到本理论中。由于基础理论的形式相似，这被认为是一个技术性的工作。然后，包括引力在内的已知粒子和场的全部动力学，可以通过一个宇宙主拉格朗日量，以统一的方式通过欧拉-拉格朗日方程来描述。

60. 因此，我们的工作开启了引力量子科学的新纪元。在使用已知的量子化杨-米尔斯理论的方法对本理论进行严格量子化之后，物理学家可能最终拥有了长期寻求的工具，用于研究黑洞中的强引力场和可能的时间起点。

61. 本理论包含一个未确定的参数，即耦合常数 $g_g$。确定该参数的值具有重大意义。

方法

各量的技术定义

62. 方程 (1) 和 (5) 中传统电磁拉格朗日量密度的八分量旋量表示可以另外写为 $\bar{\Psi}_{\Re}\Psi_{\Re} = -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$，其中 $F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\Re\nu} - \partial_{\nu}A_{\Re\mu}$ 是电磁张量，$\mu_0$ 是真空磁导率[13]。

63. 电场和磁场通过传统关系与电磁四维势 $A_{\Re}^{\mu} = (\phi_{e\Re}/c, -\mathbf{A}_{\Re})$ 相关联：$\mathbf{E}_{\Re} = -\nabla\phi_{e\Re} - \frac{\partial}{\partial t}\mathbf{A}_{\Re}$ 和 $\mathbf{B}_{\Re} = \nabla \times \mathbf{A}_{\Re}$，其中 $\phi_{e\Re}$ 和 $\mathbf{A}_{\Re}$ 分别是标量势和矢量势[32]。

64. 在八分量旋量表示法中，这些关系被写成一个单一的方程 $\Psi_{\Re} = -\gamma^{\nu}_B\partial_{\nu}\Theta_{\Re}$[13]。狄拉克和电磁的伴随旋量表示为 $\bar{\psi} = \psi^{\dagger}\gamma_0^F$ 和 $\bar{\Psi}_{\Re} = \Psi_{\Re}^{\dagger}\gamma_0^B$，其中 $\psi^{\dagger}$ 和 $\Psi_{\Re}^{\dagger}$ 是厄米伴随。对于一个通用矩阵 $M$，相应的伴随操作定义为 $\bar{M} = \gamma_0^B M^{\dagger} \gamma_0^B$。

65. 方程中的矢量箭头指示了微分算符作用的方向。如果没有箭头，算符按常规向右作用。电磁规范协变导数旋量算符 $\vec{D} = [0, \vec{D}_x, \vec{D}_y, \vec{D}_z, -\vec{D}_0, 0, 0, 0]^T$ 及其伴随 $\overleftarrow{D} = [0, \overleftarrow{D}_x, \overleftarrow{D}_y, \overleftarrow{D}_z, \overleftarrow{D}_0, 0, 0, 0]$ 是根据传统的电磁规范协变导数算符 $\vec{D}_{\mu} = \vec{\partial}_{\mu} + iq_eA_{\Re\mu}/\hbar$ 和 $\overleftarrow{D}_{\mu} = \overleftarrow{\partial}_{\mu} - iq_eA_{\Re\mu}/\hbar$ 定义的，其中 $q_e = \pm e$ 是电荷，$e$ 是基本电荷。

66. 量 $\gamma^F = [0, \gamma_x^F, \gamma_y^F, \gamma_z^F, \gamma_0^F, 0, 0, 0]^T$ 是由狄拉克伽马矩阵构成的旋量。相应的伴随旋量由 $\bar{\gamma}^F = [0, \gamma_x^F, \gamma_y^F, \gamma_z^F, -\gamma_0^F, 0, 0, 0]$ 给出[13]。

拉格朗日量密度的闵可夫斯基度规极限

67. 在闵可夫斯基度规极限下，$h_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu}$，我们可以写出 $\vec{D}_{\nu}I_8 = -ig_g\eta_{\mu\nu}t^{\mu}$ 和 $\vec{D}_{-\nu}^{\dagger}\bar{I}_8^{\dagger} = -ig_g\eta_{\mu\nu}\bar{t}^{\mu}$。

68. 此外，使用这些关系，我们得到 $\bar{I}_8\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{D}_{\nu}I_8\gamma^F = -2ig_g\gamma^F$, $\bar{I}_8\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{D}_{\nu}I_8\vec{D} = -2ig_g\vec{D}$，以及 $I_8^{\dagger}\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B\vec{D}_{-\nu}^{\dagger}\bar{I}_8^{\dagger}\Psi_{\Re} = 0$。将这些关系代入方程 (5)，我们得到：

$$ L_{\text{QED}} = \frac{i\hbar c}{2}\bar{\psi}(\bar{\gamma}^F\vec{D} - \overleftarrow{D}\gamma^F)\psi - m_e c^2 \bar{\psi}\psi + \bar{\Psi}_{\Re}\Psi_{\Re}. \quad (10) $$

69. 如文献[13]中详细所示，这是众所周知的量子电动力学拉格朗日量密度的八分量旋量表示。请注意，引力的生成拉格朗日量密度 $L_0$（方程 (1)），若不先引入规范场 $h_{\mu\nu}$ 然后再取闵可夫斯基度规极限，是无法推导出方程 (10) 中的 $L_{\text{QED}}$ 的。

70. 这突显了引力规范场对于整个时空结构的基础性作用。

广义麦克斯韦方程

71. 电磁势旋量场 $\bar{\Theta}_{\Re}$ 的欧拉-拉格朗日方程为 $\partial L/\partial\bar{\Theta}_{\Re} - \partial_{\rho}[\partial L/\partial(\partial_{\rho}\bar{\Theta}_{\Re})] = 0$。

72. 使用 $\Psi_{\Re} = -\gamma^{\nu}_B\partial_{\nu}\Theta_{\Re}$ 和 $\Phi_{\Re} = q_e(2\epsilon_0)^{-1/2} \bar{\psi}(\gamma^F)\psi$，经过一番代数运算，我们得到：

$$ \gamma^{\rho}_{B}(I_8 + h_{\mu\nu}\gamma_5^B t^{\mu}\gamma_{\nu}^B)\partial_{\rho}\Psi_{\Re} = -\frac{1}{2}h_{\mu\nu}\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B t^{\mu}\Phi_{\Re}. \quad (11) $$

73. 该方程是当前引力的杨-米尔斯规范理论中所有麦克斯韦方程的推广。

74. 在闵可夫斯基度规极限 $h_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu}$下，我们有 $\eta_{\mu\nu}\gamma^{\rho}_B\gamma_5^B t^{\mu}\gamma_{\nu}^B\partial_{\rho}\Psi_{\Re} = 0$ 和 $\eta_{\mu\nu}\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B t^{\mu}\Phi_{\Re} = 2\Phi_{\Re}$。

75. 因此，方程 (11) 变为 $\gamma^{\rho}_B\partial_{\rho}\Psi_{\Re} = -\Phi_{\Re}$。如文献[13]所示，这个旋量光子方程等价于常规的麦克斯韦方程。

广义狄拉克方程

76. 狄拉克场 $\bar{\psi}$ 的欧拉-拉格朗日方程为 $\partial L/\partial\bar{\psi} - \partial_{\rho}[\partial L/\partial(\partial_{\rho}\bar{\psi})] = 0$。

77. 经过一番代数运算，我们得到：

$$ i\frac{\hbar c}{2} h_{\mu\nu} \bar{\gamma}^F \gamma_5^B \gamma_{\nu}^B t^{\mu} \vec{D}\psi - m_e c^2 \psi = 0. \quad (12) $$

78. 该方程是量子电动力学中常规狄拉克方程的推广。

79. 在闵可夫斯基度规极限 $h_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu}$下，我们有 $\eta_{\mu\nu}\gamma_5^B\gamma_{\nu}^B t^{\mu}\vec{D} = 2\vec{D}$。

80. 因此，我们得到 $i\hbar c\bar{\gamma}^F\vec{D}\psi - m_e c^2\psi = 0$。该方程等价于常规的狄拉克方程[13]。

常规电动力学规范理论

81. 为了凸显当前引力的杨-米尔斯规范理论与传统量子场论之间的完全类比，我们接下来简要介绍常规电动力学规范理论的推导过程。

82. 与方程 (1) 中的 $L_0$ 相类比，我们从量子电动力学的生成拉格朗日量密度开始，即在没有电磁场的情况下狄拉克场的拉格朗日量密度，由下式给出：

$$ L_{\text{QED},0} = i\frac{\hbar c}{2} \bar{\psi}(\gamma_{\mu}^F \vec{\partial}_{\mu} - \overleftarrow{\partial}_{\mu}\gamma_{\mu}^F)\psi - m_e c^2 \bar{\psi}\psi. \quad (13) $$

83. 该生成拉格朗日量密度满足全局酉对称性 $U(1)$。与此对称性相关的酉变换，与方程 (2) 相类比，由下式给出：

$$ \psi \rightarrow U_e\psi, \quad \text{其中} \quad U_e = e^{i\theta}. \quad (14) $$

84. 此处 $\theta$ 是单个实值对称性变换参数。为将常数 $\theta$ 的全局对称性提升为时空相关的 $\theta$ 的局域对称性，方程 (13) 中 $L_{\text{QED},0}$ 的偏导数被替换为电磁规范协变导数，与方程 (3) 相类比，由下式给出：

$$ \vec{D}_{\mu} = \vec{\partial}_{\mu} + i\frac{q_e}{\hbar}A_{\Re\mu}. \quad (15) $$

85. 电磁四维势 $A_{\Re\mu}$ 是规范场。电磁规范协变导数的变换方式为 $\vec{D}_{\mu}\psi \rightarrow U_e\vec{D}_{\mu}\psi$。

86. 此关系要求 $A_{\Re\mu}$ 的变换由 $A_{\Re\mu} \rightarrow (U_e A_{\Re\mu} + \frac{i\hbar}{q_e}\partial_{\mu}U_e)U_e^* = A_{\Re\mu} - \frac{\hbar}{q_e}\partial_{\mu}\theta$ 给出。

87. 在方程 (13) 中使用电磁规范协变导数算子 $\vec{D}_{\mu}$ 及其伴随 $\overleftarrow{D}_{\mu}$ 替代偏导数 $\vec{\partial}_{\mu}$ 和 $\overleftarrow{\partial}_{\mu}$，使得 $L_{\text{QED},0}$ 在方程 (14) 的局域对称性变换下保持不变。

88. 为了写出完整的电磁规范不变拉格朗日量密度，我们还必须包含一个只依赖于规范场 $A_{\Re\mu}$ 的电磁规范不变项。这可以从电磁规范协变导数的对易子中获得。

89. 关系 $[\vec{D}_{\mu}, \vec{D}_{\nu}] = \frac{iq_e}{\hbar}F_{\mu\nu}$ 可用于定义一个反对称的场强张量 $F_{\mu\nu}$，与方程 (4) 相类比，形式如下：

$$ F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\Re\nu} - \partial_{\nu}A_{\Re\mu}. \quad (16) $$

90. 场强张量 $F_{\mu\nu}$ 的规范对称性变换法则由上述关系导出，为 $F_{\mu\nu} \rightarrow U_e F_{\mu\nu} U_e^* = F_{\mu\nu}$。

91. 遵循规范理论的程序，我们得到规范场 $A_{\Re\mu}$ 的一个电磁规范不变拉格朗日量密度项，由 $L_{em} = -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 给出。$L_{em}$ 的前置因子是通过将所得的规范场动力学方程与麦克斯韦方程进行比较确定的。

92. 方程 (13) 中 $L_{\text{QED},0}$ 的完整电磁规范不变推广，与方程 (5) 相类比，由下式给出：

$$ L_{\text{QED}} = i\frac{\hbar c}{2}\bar{\psi}(\gamma_{\mu}^F\vec{D}_{\mu} - \overleftarrow{D}_{\mu}\gamma_{\mu}^F)\psi - m_e c^2\bar{\psi}\psi - \frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. \quad (17) $$

93. 这等价于方程 (10)。

94. 方程 (13)–(17) 代表了量子电动力学的规范理论程序，这与本工作中方程 (1)–(5) 所对应的规范理论程序是完全类比的。

致谢

95. 本项工作由芬兰科学院资助，合同号为 349971。

96. Wolfram Mathematica 被广泛用于验证本工作中的方程。

作者贡献

97. M.P. 提出了引力的杨-米尔斯规范理论思想，进行了理论计算，并撰写了手稿初稿。J.T. 对手稿提出了评论并参与了结果的解释。

利益冲突

98. 作者声明不存在利益冲突。

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