大家好，我是这篇论文的作者之一。今天，我想和大家分享一个我们团队为之奋斗多年的故事——一个关于搭建桥梁的故事。想象一下，我们有两个截然不同却又紧密相连的世界：一个是微观世界，里面有亿万个粒子（比如气体分子）遵循着牛顿定律，进行着永恒的碰撞与运动；另一个是我们肉眼可见的宏观世界，比如空气的流动、水的波澜，这些现象由优美的流体动力学方程所描述。长久以来，数学家和物理学家们都梦想着能建造一座坚实的数学桥梁，从微观粒子的基本法则出发，一步步、毫无瑕疵地推导出宏观流体的行为规律。这个梦想，正是伟大的数学家大卫·希尔伯特在1900年提出的23个著名问题中的第六个问题核心部分。
过去一个世纪，无数先驱者为这座桥梁添砖加瓦，但其中最关键的连接点——从粒子动力学到玻尔兹曼方程的长期有效性——始终未能完全攻克。这就像我们知道如何从单个士兵的行动规则（牛顿定律）推断出小规模冲突的统计模式（短期玻尔兹曼方程），但却无法保证这套模式能准确预测一场持续数天的大型战役（长期流体行为）。我们的工作，正是要攻克这个难题。我们成功地将这条路径从头到尾打通，完成了希尔伯特的程序，严格证明了如何从牛顿定律出发，经过玻尔兹曼动理论这个中间站，最终到达流体动力学方程（如欧拉方程和纳维-斯托克斯方程）的彼岸。
这不仅仅是一次数学证明，它更深刻地揭示了自然界中“无序”如何孕育“有序”的奥秘。无数粒子看似随机的碰撞，其集体行为却涌现出高度确定的、可预测的宏观规律。这就像，我们不需要知道音乐厅里每个听众的窃窃私语，就能清晰地听到整个交响乐团奏出的宏伟乐章。我们的工作，就是为这个“涌现”过程提供了严格的数学背书。接下来，我将带大家一步步走过我们搭建这座桥梁的关键步骤，并用一些生动的动画和例子来解释其中的奥妙。
我们的工作主要围绕三个核心定理展开，它们像三块巨大的基石，共同支撑起从微观到宏观的这座大桥。让我逐一为您解读。
希尔伯特提出的程序，本质上是一个两步走的战略，旨在连接物理学的三个不同层次。我们可以用一个流程图来清晰地展示它：
💡 生活类比： 想象一下，我们想预测一场大型城市马拉松的整体人流模式。牛顿定律就像是每个跑者的个人奔跑规则（体力、速度、避障）。直接用这个去模拟几万人的比赛几乎不可能。所以我们走第一步，发展出玻尔兹曼方程，这相当于一个“跑者密度统计学”，它不关心某个具体的人，而是描述在任何位置、以何种速度奔跑的跑者“密度”如何变化。然后走第二步，当跑者极其密集时，他们的行为会“流体化”，形成人潮，这时可以用更简洁的流体方程来描述人潮的整体移动、拥堵和疏散。我们的工作就是严格证明了这个从“个体”到“统计”再到“集体”的完整逻辑链。
第一步，动力学极限 (Kinetic Limit)，是从一个由 $N$ 个直径为 $\epsilon$ 的粒子组成的系统出发，推导玻尔兹曼方程。这需要在所谓的“玻尔兹曼-格拉德极限”下进行，即 $N \to \infty$, $\epsilon \to 0$，同时保持 $N\epsilon^{d-1}$ 为一个常数 $\alpha$。这个 $\alpha$ 代表了系统的平均碰撞率。这一步是最艰难的，因为它要求我们处理粒子间极其复杂的碰撞历史。
第二步，流体动力学极限 (Hydrodynamic Limit)，是从玻尔兹曼方程出发，推导流体方程。这个过程相对成熟。其思想是，当碰撞极其频繁（即 $\alpha \to \infty$）时，系统在局部会迅速达到一种热力学平衡状态，即所谓的“局部麦克斯韦分布”。粒子的速度分布会趋向于一个以局部平均速度为中心、局部温度为方差的正态分布。而这些宏观量（密度、平均速度、温度）的演化，恰好就遵循流体动力学方程。我们的核心贡献在于，我们证明了第一步在足够长的时间尺度上成立，从而使得与第二步的衔接成为可能。
我们的第一个核心成果，就是将在欧几里得空间（$\mathbb{R}^d$）中已有的工作[26]扩展到了周期性环面（$\mathbb{T}^d$）上，并证明了在任意长的时间内，硬球粒子系统的单粒子密度函数确实收敛于玻尔兹曼方程的解。这是至关重要的一步。
让我们先定义微观世界的主角——硬球粒子系统。想象在一个三维（或二维）的甜甜圈（这就是环面 $\mathbb{T}^d$）表面，有 $N$ 个微小而坚硬的弹珠在上面滚动。它们平时做匀速直线运动，一旦两个弹珠的距离恰好等于它们的直径 $\epsilon$，就会发生完全弹性碰撞，交换速度。这就是我们的硬球动力学模型。
💡 生活类比： 这就像两颗台球的碰撞。碰撞后的速度变化，完全取决于它们碰撞瞬间的相对速度以及球心的连线方向。上面的公式就是这个过程的精确数学描述。
我们的定理一指出，只要玻尔兹曼方程本身存在一个“行为良好”的解（即在一段时间内保持有界），那么在相应的玻尔兹曼-格拉德极限下，我们从 $N$ 个粒子的真实系统中统计出的单粒子密度 $f_1(t, x, v)$，会无限逼近这个玻尔兹曼方程的解 $n(t, x, v)$。数学上表示为：
这个公式告诉我们，不仅是单粒子密度 ($s=1$)，甚至是任意 $s$ 个粒子的联合密度，都表现出统计独立性，并且其行为由同一个玻尔兹曼方程的解 $n(t,z)$ 来主导。误差项 $\epsilon^\theta$ 确保了当粒子直径 $\epsilon$ 趋于零时，我们的近似是完美的。这个定理的证明，是整篇论文技术上最困难的部分，我们为此发展了一套全新的“切割算法”来处理环面上粒子可能发生的无限次碰撞问题，我将在后面详细解释。
有了定理一这块坚实的基石，我们就可以着手搭建通往宏观世界的第一座桥——推导不可压缩的纳维-斯托克斯-傅里叶方程（Incompressible Navier-Stokes-Fourier System）。这组方程描述的是像水或蜂蜜这样粘性流体的运动。
这里的关键思想是进行“两次极限操作”。我们首先取动力学极限（$N \to \infty, \epsilon \to 0$），根据定理一，系统行为由玻尔兹曼方程描述。然后，我们再取流体动力学极限，让碰撞率 $\alpha \to \infty$。在我们的论文中，这通过一个参数 $\delta = 1/\alpha \to 0$ 来实现。
当前 $\delta \approx 0.1$
💡 生活类比： 想象一个拥挤的舞池。当人很少时（$\alpha$ 小），大家可以自由穿行。当人变得非常多时（$\alpha$ 大），每个人几乎寸步难行，只能随着身边的人小范围地挪动。个体的动能通过频繁的“碰撞”迅速在邻近区域散开，形成了宏观上的“粘性”效应。这个动画展示了，随着碰撞率增高，粒子混乱的自由运动如何“涌现”出平滑、有层次的流体剪切运动。
我们的定理二严格地证明了这一点。它表明，如果我们从一个接近全局平衡态的粒子系统出发，在上述的迭代极限下，系统的宏观密度和速度场将精确地由不可压缩纳维-斯托克斯方程的解来描述。我们不仅证明了极限的存在，还给出了收敛速度，误差大约是 $\delta^{3/2}$。这意味着，我们终于可以从第一性原理（牛顿定律）出发，严格地推导出描述粘性流体的方程，并解释了粘性这个宏观现象的微观起源——它源于粒子间频繁的碰撞和动量交换。
通往宏观世界的第二座桥，是推导可压缩欧拉方程（Compressible Euler Equations）。这组方程描述的是理想气体的行为，比如空气声波的传播，或者超音速飞行器周围的激波。与纳维-斯托克斯方程不同，欧拉方程忽略了粘性效应。
推导过程与定理二非常相似，同样是先应用我们的定理一，再让碰撞率 $\alpha \to \infty$。不同之处在于初始状态的选取。这里，我们从一个围绕“局部麦克斯韦分布”的初始状态出发。这个分布的参数（局部密度 $\rho(x)$、局部平均速度 $u(x)$ 和局部温度 $T(x)$）本身就是我们要推导的欧拉方程的一个初始解。
这个公式描述了一个处于“局部”平衡的气团。虽然整个系统可能是不均匀的（$\rho, u, T$ 随 $x$ 变化），但在任何一个微小的点 $x$ 附近，粒子的速度分布都呈现一个以平均速度 $u(t,x)$ 为中心的正态分布。我们的定理三证明，在流体动力学极限下，粒子系统的宏观量（密度、动量、能量）的演化，完美地遵循可压缩欧拉方程。这为我们理解声波、激波等气体动力学现象提供了坚实的微观基础。
现在，让我谈谈我们工作中最具挑战性、也是最具创新性的部分。为什么在环面（Torus）上证明定理一如此困难？
在无限大的欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 中，两个粒子碰撞后，如果没有其他粒子阻碍，它们会渐行渐远，再次相遇的概率极小。一个有限的粒子团，碰撞次数是有限的。但在环面上，情况完全不同。环面就像一个循环的宇宙（或者一个经典的街机游戏屏幕），一个粒子从右边飞出，会立刻从左边进入。这意味着，任意两个粒子都可能发生无数次碰撞。这个“再碰撞”（re-collision）问题，是之前所有方法都难以逾越的障碍。它使得记录和分析粒子碰撞历史的“分子图”变得异常复杂，甚至可能出现无限循环。
左：欧几里得空间，右：环面空间。碰撞次数：左 0，右 0。
💡 生活类比： 想象两个人在一个无限大的广场上追逐，他们相遇一次后可能就再也见不到了。但如果他们是在一个环形的跑道上追逐，他们就会一次又一次地相遇。我们的新算法，就是为了在这种“无限循环”的场景下，依然能够准确地计算出总的相遇概率，而不会迷失方向。
为了解决这个问题，我们引入了几个关键的新概念和工具：
这个技术突破，是完成希尔伯特程序的最后一块、也是最关键的一块拼图。它不仅解决了环面上的问题，也为处理更复杂的物理系统提供了新的思路和工具。
对于有更深厚数学背景的读者，我想在这里分享一些我们证明中的核心技术细节。我们的证明框架建立在对粒子碰撞历史进行组合分析的基础上，这被称为“分子展开”（molecule expansion）。每一个可能的碰撞序列都对应一个“分子图”，而我们工作的核心就是估算这些图对应的积分值 $J(M)$。
分子图与切割操作：
一个“分子” M 是一个抽象的图，其中每个节点（我们称为“原子”）代表一次碰撞，边则代表粒子在两次碰撞之间的轨迹。我们的目标是证明，所有可能导致理论失效的“坏分子图”的积分贡献 $J(M)$ 都非常小。
图示：一个简化的分子图。圆圈是碰撞“原子”，箭头线是粒子轨迹“键”。
为了估算 $J(M)$，我们采用“切割”操作。这就像解剖一个复杂的机器，我们系统地将其拆解成一个个已知的“基本元件”（我们称之为“初等分子”）。例如，一个只有一次碰撞的图、或者两次紧密关联碰撞的图。我们对这些初等分子的积分值有精确的估计。
关键的积分估计与“余量”概念：
我们的核心技术之一是为每一种初等分子 M' 计算其“余量”（Excess）。余量本质上是衡量这个分子图所代表的碰撞事件有多“稀有”。大部分初等分子的积分 $J(M')$ 是 $O(1)$ 的，但某些特殊的结构会导致积分值非常小。例如，我们证明了以下关键命题（简化版）：
命题 3.3 (节选): 考虑一个包含两次碰撞 $n_1, n_2$ 的 {33A} 型分子。如果这两次碰撞时间间隔 $|t_1 - t_2| \ge \mu$（即存在“长程关联”），那么它的积分贡献满足：
这个估计是革命性的。在 $d=3$ 的情况下，它提供了一个 $\epsilon^2$ 级别的增益，这几乎足以压制最坏情况下的散度。这里的 $\mu^{-d}$ 惩罚项告诉我们，时间间隔越大，这种关联发生的概率越低。这个估计的证明涉及到非常精细的几何和积分变量替换，需要仔细分析碰撞参数空间中的体积。
再比如，我们引入了新的初等分子，如 {333A} 和 {334T}，它们代表了由三次碰撞构成的更复杂的再碰撞结构。我们证明了它们具有更强的余量：
命题 3.4 (节选): 一个满足特定几何条件的 {333A} 或 {334T} 分子，其积分贡献满足：
这个 $d-1/2$ 的指数比 $d-1$ 更强，为我们提供了关键的额外增益，用以控制那些最棘手的碰撞历史。正是靠着这一系列全新的、为环面问题量身定做的积分估计，我们才能最终证明，无论碰撞历史多么复杂，所有“坏”情况的总概率都可以被控制在 $\epsilon$ 的一个正次幂之下，从而保证了理论的成立。
时间不可逆性的涌现：
一个深刻的哲学问题是：微观的牛顿定律是时间可逆的（把所有粒子速度反向，系统会原路返回），而宏观的玻尔兹曼方程和流体方程却是时间不可逆的（熵增原理，破镜不能重圆）。我们的工作如何解释这一“时间之矢”的涌现？
我们的定理一覆盖了玻尔兹曼方程解的整个生命周期（只要解是良态的）。著名的玻尔兹曼H-定理指出，玻尔兹曼方程的解会趋向于熵增，即系统会自发地从有序走向无序。由于我们证明了微观粒子系统在宏观尺度上严格遵循玻尔兹曼方程，这就为时间不可逆性在宏观层面的涌现提供了一个严格的数学论证。根源在于我们对初始状态的统计假设（即所谓的“分子混沌”假设）。我们假设初始时刻粒子是统计独立的，这个看似无害的假设，一旦通过动力学演化，就打破了时间对称性，引领系统走向了熵增的不可逆之路。
回顾这段漫长的探索，我们内心充满了激动与谦卑。完成希尔伯特在一百多年前勾勒的宏伟蓝图，感觉就像是站在了牛顿、玻尔兹曼、希尔伯特等巨人的肩膀上，为一座宏伟的科学殿堂，砌上了最后一块关键的拱顶石。我们的工作不仅在数学上连接了微观与宏观，更重要的是，它为我们理解物理世界中“简单规则如何涌现出复杂现象”这一根本问题，提供了迄今为止最坚实的数学基础。
从亿万星辰的运行，到杯中流水的波纹，背后都隐藏着从微观到宏观的深刻联系。我们希望，这项工作能够激励新一代的数学家和物理学家，去探索更多未知领域中的“涌现”之谜。这座桥梁已经建成，前方的风景，必将更加壮丽。感谢大家的聆听。