人工智能（AI）在科学发现中的作用日益增强，Google DeepMind 开发的 AlphaEvolve 编码代理便是一个杰出代表。AlphaEvolve 通过协调大型语言模型（LLM）并采用进化策略，能够自主地修改和优化代码，从而解决开放性的科学难题和算法挑战。本文将深入解读 AlphaEvolve 论文中的图5，该图展示了其在数学分析、几何学和组合数学三个核心领域发现的超越当前最优水平（SOTA）的数学构造。我们将从物理直觉和逻辑推理的视角，结合丰富的背景信息，阐释这些发现的意义，并通过交互式图表直观展示其改进。
在数学分析领域，AlphaEvolve 专注于改进与函数性质相关的不等式和界限。这些问题往往涉及函数的卷积、傅里叶变换以及它们所蕴含的内在特性，如不确定性原理。精确的界限对于理论理解和实际应用都至关重要。
第一个自相关不等式涉及函数与其自身卷积（自相关）的最大值。对于定义在实数轴 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f$，其自相关定义为 $f*f(t) = \int_{\mathbb{R}}f(t-x)f(x)dx$。问题是找到最大的常数 $C_1$，使得以下不等式成立：
此问题与加法组合学中的 Sidon 集大小相关。先前已知的 $C_1$ 上界约为 $1.5098$。AlphaEvolve 通过发现一个新的包含600个等距区间的阶跃函数，成功将此上界改进为 1.5053。更小的上界意味着对 $C_1$ 的估计更为精确。
图表1: $C_1$ 上界改进示意图 (数值越小越优)
第二个自相关不等式关联了函数自相关的不同范数（$L_1, L_2, L_\infty$）。问题是找到最小的常数 $C_2$，使得对于所有非负函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$，以下不等式成立：
其中 $\| \cdot \|_p$ 表示 $L_p$ 范数。先前已知的 $C_2$ 下界约为 $0.8892$。AlphaEvolve 发现了一个在 $[-1/4, 1/4]$ 上具有50个等间距区间的阶跃函数，将此下界提升至 0.8962。更大的下界意味着对 $C_2$ 的约束更强。
图表2: $C_2$ 下界改进示意图 (数值越大越优)
第三个自相关不等式与第一个类似，但考虑的是自相关函数绝对值的最大值。问题是找到最大的常数 $C_3$，使得对于任意函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$：
由于允许函数取负值，通常 $C_3 \le C_1$。先前通过阶跃函数得到的 $C_3$ 上界为 $1.4581$。AlphaEvolve 发现了一个在 $[-1/4, 1/4]$ 上具有400个等距区间的阶跃函数，将此上界改进为 1.4557。
不确定性原理是物理学和信号处理中的基本概念，它表明一个函数及其傅里叶变换不能同时被高度“局部化”。定义 $A(f) = \inf\{r>0 : f(x)=0 \text{ for all } |x| \ge r\}$（函数的支撑集半径，对于非紧支撑函数则为有效宽度）。问题是找到最大的常数 $C_4$ 使得：
其中 $\hat{f}$ 是 $f$ 的傅里叶变换。此不等式量化了函数在时域和频域展布之间的权衡。AlphaEvolve 通过优化特定测试函数（由 Hermite 多项式线性组合构造）的系数，找到了一个新的构造，其 $A(f)A(\hat{f})$ 的值约为 0.3521，优于先前已知的约 $0.3523$ 的结果，从而为 $C_4$ 提供了一个更紧的上界。
图表3: 不确定性原理相关常数 $C_4$ 的上界改进示意图 (数值越小越优)
几何学中的挑战通常涉及寻找最优的形状排列、堆积或覆盖方式。这些问题不仅具有理论上的美感，还在材料科学、通信和物流等领域有实际应用。AlphaEvolve 在解决这类问题时，通过进化算法生成和评估描述几何构造的程序。
此问题旨在将给定数量的单位正六边形（边长为1）无重叠地装入一个尽可能小的正六边形容器中。目标是最小化外部容器六边形的边长。对于 $N=12$ 个单位六边形的情况，先前已知的最小外边长为 $4.000$。AlphaEvolve 发现了一种新的排列方式，将所需外边长减小到 3.942，实现了更紧密的堆积。
图表4: 六边形堆积优化示意图 (外边长减小)
这个问题要求在一个特定空间（如单位正方形或更高维立方体）内放置 $N$ 个点，使得点对之间的最大距离与最小距离之比尽可能小。这等价于在保持最小间距的同时，限制点集的最大延展。AlphaEvolve 在一个特定设置下（图中未指明维度和N，但论文附录B.8提及二维16点和三维14点均有改进），将此比率从 12.890 改进为 12.889。
此问题是在一个给定的容器（如图中为单位正方形）内放置 $N$ 个互不相交的圆，目标是最大化这些圆的半径之和。这与最大化填充密度密切相关。对于 $N=26$ 个圆的情况，AlphaEvolve 将已知的最大半径总和从 2.6340 提升至 2.6358。
图表5: 圆堆积半径和最大化示意图
组合数学研究离散结构的计数、存在性和构造。AlphaEvolve 在这一领域也展现了其发现新颖组合对象的能力，例如在埃尔德什最小重叠问题和有限集的和差问题中取得进展。
该问题源于保罗·埃尔德什，涉及两个函数 $f, g: [-1,1] \to [0,1]$ 且 $f(x)+g(x)=1$，$\int_{-1}^1 f(x)dx=1$。目标是研究量 $\sup_{x\in[-2,2]}\int_{-1}^{1}f(t)g(x+t)dt$ 的下界 $C_5$。这个问题与集合的重叠性质有关。AlphaEvolve 通过构造新的函数，将 $C_5$ 的已知上界从 0.380926 改进为 0.380924。
图表6: $C_5$ 上界改进示意图 (数值越小越优)
对于一个有限数集 $A$，其和集定义为 $A+A = \{a_1+a_2 : a_1, a_2 \in A\}$，差集定义为 $A-A = \{a_1-a_2 : a_1, a_2 \in A\}$。一个经典的问题是比较和集与差集的大小。某些特定问题会研究诸如 $|A+B| \ge c|A|$ 和 $|A-B| \ge c|A|$ 这样的不等式中的常数 $c$。AlphaEvolve 在这类问题中，将某个相关常数的下界从 1.1446 提升至 1.1584，这意味着对于特定类型的集合，其和集或差集比先前认为的要“更大”。
AlphaEvolve 通过其创新的进化编码方法，在多个具有挑战性的数学问题上取得了超越SOTA的成果。图5所展示的这些例子，仅仅是其能力的一瞥。这些发现不仅推动了特定数学分支的边界，更重要的是，它们展示了AI作为人类研究者强大协作者的巨大潜力。AlphaEvolve能够探索广阔的、人类难以系统性搜索的解空间，发现新颖的、有时甚至是反直觉的数学构造。这种人机协作的模式，有望在未来加速科学发现的进程，解决更多困扰科学界多年的难题。AlphaEvolve的成功也突显了自动化评估机制在引导复杂搜索过程中的关键作用，以及将问题表述为代码演化任务的普适性和强大威力。