动态弦张力理论原文翻译

作者解读：挣脱常数的枷锁

在标准弦论中，弦的“张力”（Tension）是一个基本常数，像万有引力常数G一样被预先设定。但这篇论文提出了一个颠覆性的思想：弦张力不是一个基本常数，而是可以在时空中动态变化的量！

核心思想：

想象一下，宇宙中的每一根弦都不是出厂时就被设定好“绷紧度”的，而是它们在自己的“世界面”（world sheet）上通过动力学过程，自己决定了自己的张力。这意味着，不同的弦可以有不同的张力，甚至同一根弦在不同位置的张力也可以变化。

为了实现这一点，作者引入了一种被称为“修正测度形式主义” (Modified Measure Formalism)的数学工具。在这种框架下，弦张力 $T$ 不再是手动写入作用量里的参数，而是作为运动方程的一个积分常数自然地出现。这不仅适用于弦，也适用于更高维度的“膜”（brane）。

更有趣的是，论文引入了一个新的“张力标量场” $\phi$，这个场弥漫在整个时空中，弦可以与之耦合。这种耦合导致弦的局部张力由这个场和自身的积分常数 $T_i$ 共同决定：$T = g\phi + T_i$。这为控制弦张力提供了一个全新的机制，并可能对宇宙学和量子引力产生深远影响。

论文原文翻译 (1-5页)

摘要

弦张力可以是动态的，正如我们最近的出版物中所研究的，例如，当我们在修正测度形式主义中构建弦论时。此时，弦和膜的张力会出现，但作为一个额外的动力学自由度。然而，可以看出，这些弦或膜的张力可能不是普适的，而是每根弦和每张膜都产生其自身的张力，对于不同的弦或膜，其值可能不同。先前已有出版物考虑过存在可能自发产生不同张力的弦的情况。为了拥有一个真正的动态弦张力，我们考虑了可以与弦耦合的新的背景场，即张力标量，它能够在世界面上局部地改变延展物体的张力值。当所有弦张力相等时，就存在一个未破缺的目标空间尺度不变性。通过考虑引力和作为物质的弦在D维中的可能有效作用量，我们通过要求该有效作用量像基础理论一样具有目标空间尺度不变性来确定D，这唯独选定了D=4。

1. 引言

弦论和膜论已被研究作为包含引力在内的所有物质和相互作用的候选理论，特别是弦论[1,2]。但在其标准表述中，弦论有一个带量纲的参数，即弦的张力；同样的情况也出现在膜论的更为人知的表述中。弦论的另一个麻烦之处在于，它必须在高于四维的时空中表述，尽管我们最终当然应该得到一个四维时空的低能有效理论。

从一开始就出现一个有量纲的弦张力和膜理论，这显得有些不自然。然而，之前在修正测度理论的框架内——一个最初用于引力理论的形式主义，例如见[3–10]——张力是作为一个额外的自由度被推导出来的[11–17]。另见Townsend及其合作者的处理[18,19]。

一个浮动的宇宙学常数是修正测度引力理论的一个普遍特征[3–10]，包括幺模引力理论的协变表述[20]，它实际上是修正测度理论的一个特例，如[21]中所综述的。

弦的张力所扮演的角色与四维引力中的宇宙学常数非常相似，但相应的情形和宇宙学常数的作用与弦张力的作用大不相同。因为同一个宇宙中可以存在多个弦的世界面，这样许多弦可以同时探测时空的同一区域，但宇宙学常数则不然，每个宇宙学常数必然定义一个不同的宇宙。

2. 修正测度理论的弦论

使用世界面度规的标准世界面弦sigma-模型作用量是[23–25]

$$ S_{\text{sigma-model}} = -T \int d^2\sigma \frac{1}{2} \sqrt{-\gamma} \gamma^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu g_{\mu\nu} \quad (1) $$

这里 $\gamma^{ab}$ 是二维弦世界面上的内禀黎曼度规，$\gamma = \det(\gamma_{ab})$；$g_{\mu\nu}$ 表示嵌入时空的黎曼度规。$T$ 是弦张力，一个手动引入理论的带量纲的标度。

从作用量对 $\gamma^{ab}$ 和 $X^\mu$ 的变分，我们得到以下运动方程：

$$ T_{ab} = \left( \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu - \frac{1}{2} \gamma_{ab} \gamma^{cd} \partial_c X^\mu \partial_d X^\nu \right) g_{\mu\nu} = 0 \quad (2) $$

$$ \frac{1}{\sqrt{-\gamma}} \partial_a \left( \sqrt{-\gamma} \gamma^{ab} \partial_b X^\mu \right) + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} \gamma^{ab} \partial_a X^\nu \partial_b X^\lambda = 0 \quad (3) $$

其中 $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ 是外部度规的仿射联络。采用任何不同于 $\sqrt{-\gamma}$ 的积分测度都没有限制。唯一的限制是，在底层时空流形的任意微分同胚（重参数化）下，它必须是一个密度。修正测度理论就是这样一个理论的例子。在这个理论的框架下，引入了两个额外的世界面标量场 $\phi_i (i=1,2)$。一个新的测度密度是：

$$ \Phi(\phi) = \frac{1}{2} \epsilon_{ij} \epsilon^{ab} \partial_a \phi_i \partial_b \phi_j \quad (4) $$

那么修正的玻色弦作用量是（最早在[11]中提出，后来在[12]中也进行了讨论和推广）：

$$ S = - \int d^2\sigma \Phi(\phi) \left( \frac{1}{2} \gamma^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu g_{\mu\nu} - \frac{\epsilon^{ab}}{2\sqrt{-\gamma}} F_{ab}(A) \right) \quad (5) $$

其中 $F_{ab}$ 是辅助阿贝尔规范场 $A_a$ 的场强：$F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a$。重要的是要注意，作用量(5)在内禀度规的共形变换与测度场的微分同胚组合下是不变的。为了验证新作用量与sigma-模型一致，让我们推导作用量(5)的运动方程。对 $\phi_i$ 的变分得到：

$$ \epsilon^{ab} \partial_b \phi_i \partial_a \left( \gamma^{cd} \partial_c X^\mu \partial_d X^\nu g_{\mu\nu} - \frac{\epsilon^{cd}}{\sqrt{-\gamma}} F_{cd} \right) = 0 \quad (9) $$

这意味着：

$$ \gamma^{cd} \partial_c X^\mu \partial_d X^\nu g_{\mu\nu} - \frac{\epsilon^{cd}}{\sqrt{-\gamma}} F_{cd} = M = \text{const} \quad (10) $$

对 $\gamma^{ab}$ 的运动方程是：

$$ T_{ab} = \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu g_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \gamma_{ab} \frac{\epsilon^{cd}}{\sqrt{-\gamma}} F_{cd} = 0 \quad (11) $$

最重要的结果是通过对 $A_a$ 变分得到的：

$$ \epsilon^{ab} \partial_b \left( \frac{\Phi(\phi)}{\sqrt{-\gamma}} \right) = 0 \quad (12) $$

然后通过积分并与标准作用量比较，可以看出：

$$ \frac{\Phi(\phi)}{\sqrt{-\gamma}} = T \quad (13) $$

这就是弦张力 $T$ 如何作为一个世界面积分常数被推导出来的，与标准方程(1)中张力是人为设定的情况相反。

3. 修正测度膜理论

标准世界面弦sigma-模型作用量现在是[26]：

$$ S_{\text{sigma-model}} = -T \int d^d\sigma \sqrt{-\gamma} \left( \frac{1}{2} \gamma^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu g_{\mu\nu} + \Lambda \right) \quad (14) $$

请注意，现在也增加了一个宇宙学项 $\Lambda$，这在通常的弦论或修正测度弦论表述中是不需要的。在标准表述中，这个宇宙学项需要被微调。这个特征在修正测度膜理论中不存在，其中一个扮演宇宙学项角色的积分常数由运动方程的一致性动态确定。修正的玻色膜作用量是：

$$ S = - \int d^d\sigma \Phi(\phi) \left( \frac{1}{2} \gamma^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu g_{\mu\nu} - \frac{\epsilon^{abcd...}}{2\sqrt{-\gamma}} F_{abcd...}(A) \right) \quad (18) $$

4. 每根弦和每张膜在它自己的世界面上决定其张力

如果我们只看单根弦，动态弦张力理论和标准弦论似乎确实无法区分。然而，宇宙中存在不止一根弦和/或一张膜，那么，我们现在确实可以观察到，上面章节中推导出的弦张力或膜张力似乎并不对应于理论的“那个”弦或膜张力。前面章节中弦或膜张力的推导对给定的弦或膜成立，没有障碍阻止另一根弦或膜获得不同的弦或膜张力。换句话说，弦或膜张力是一个世界面常数，但它似乎不是一个对所有弦和所有膜都相同的普适常数。

5. 背景场的方程和一个新的背景场

正如Polchinski在[27,28]中讨论的，引力可以在弦论中以两种不同的方式引入。一种方式是识别引力子作为弦的基本激发之一，另一种是通过考虑嵌入度规的有效作用量，通过积分掉弦的自由度，然后嵌入度规和其他最初的外部场获得由零beta函数要求所强制的动力学。然而，除了传统弦论中通常考虑的背景场之外，人们还可以考虑一个额外的标量场，它在弦世界面中感生出电流，并且由于电流与世界面规范场耦合，这会产生一个由外部标量场控制的动态张力。

5.1 引入与弦和膜中内部规范场耦合的世界面电流

如果我们在膜的作用量(18)中增加一个与世界面电流 $j^{a_2...a_{p+1}}$ 的耦合项，即：

$$ S_{\text{current}} = \int d^{p+1}\sigma A_{a_2...a_{p+1}} j^{a_2...a_{p+1}} \quad (29) $$

那么总作用量对 $A_{a_2...a_{p+1}}$ 的变分给出：

$$ \epsilon^{a_1...a_{p+1}} \partial_{a_1} \left( \frac{\Phi}{\sqrt{-\gamma}} \right) = j^{a_2...a_{p+1}} \quad (30) $$

5.2 与体标量场（张力场）的耦合

假设我们在体时空中定义了一个外部标量场 $\phi(x^\mu)$。从这个场我们可以定义感生的守恒世界面电流：

$$ j^{a_1...a_{p+1}} = e \partial_\mu \phi \frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma^a} \epsilon^{a a_2...a_{p+1}} \equiv e \partial_a \phi \epsilon^{a a_2...a_{p+1}} \quad (31) $$

其中 $e$ 是某个耦合常数。然后(30)可以被积分得到：

$$ T = \frac{\Phi}{\sqrt{-\gamma}} = e\phi + T_i \quad (32) $$

积分常数 $T_i$ 可能因弦而异。

作者解读：宇宙维度的终极密码——为何是四维？

欢迎来到本文最高潮的部分！传统弦论最令人困惑的一点是，它预言宇宙存在额外的维度（例如10维或26维），而我们却生活在一个看似四维（3个空间维度+1个时间维度）的世界里。为了解决这个矛盾，物理学家们提出了“维度紧化”等复杂的机制，但这总是像是在理论上打补丁。

而在这部分，我们将看到一个惊人的结果：四维时空不是一个需要解释的巧合，而是理论内禀要求的必然结果！ 这一结论源于一个极其优美和深刻的物理原则：目标空间尺度不变性 (Target Space Scale Invariance)。

核心思想：

想象一个物理定律，它不依赖于你用“米”还是“英尺”来测量距离。这种不依赖于测量尺度的特性，就是“尺度不变性”。我们的理论要求，描述引力和弦的有效作用量也必须具备这种特性。当我们将弦作为物质源代入引力方程，并强制整个系统满足这个“尺度不变性”原则时，一个神奇的约束出现了：

$ \frac{D-2}{2} = 1 \quad \implies \quad D=4 $

这个简单的方程就像一个“宇宙过滤器”，它告诉我们，只有在四维时空中，弦物质与引力的耦合才能完美地满足尺度不变性。 任何其他维度都会破坏这种和谐。因此，我们生活的四维时空，是由物理学基本对称性所“钦定”的，而不是一个需要额外解释的谜题。这是本理论最激动人心的成果之一。

论文原文翻译 (6-9页)

6. 目标空间尺度不变性及其在动态弦张力理论中的自发对称性破缺 (SSB)

请注意，弦论在经典层面上具有世界面共形不变性，并且这种世界面共形不变性被要求扩展到量子层面。

在经典层面上，普通弦论不具有目标空间尺度不变性，这与理论中存在一个确定的尺度——弦张力——密切相关。

确实，在普通弦论中，背景度规的尺度变换 $g_{\mu\nu} \to \omega g_{\mu\nu}$（其中 $\omega$ 是一个常数）并不是波利亚科夫作用量的一个对称性。但在动态张力弦论中，如果世界面规范场和测度场也相应变换，这个变换就是一个对称性：

$$ A_a \to \omega A_a $$

$$ \Phi(\phi) \to \omega^{-1} \Phi(\phi) $$

并且张力场也以类似方式变换：

$$ \phi \to \omega^{-1} \phi $$

正如我们所见，运动方程的积分导致了弦张力的自发产生，同时，也导致了目标空间全局尺度不变性的自发破缺，因为在这种情况下，方程(32)被满足，或者等价地：

$$ \Phi = \sqrt{-\gamma} (e\phi + T_i) \quad (33) $$

请注意，相互作用是度规无关的。还要注意，在没有这些积分常数的情况下，即如果 $T_i = 0$，则目标空间尺度不变性没有破缺，因为测度和张力场以相同的方式变换，但引入非零的积分常数会引入目标空间尺度不变性的自发破缺。积分常数 $T_i$ 的作用类似于我们在引力理论背景下讨论的积分 $M_i$ 的作用。

人们可以将(33)式解释为经典地（通过积分运动方程）或量子力学地（通过对内部规范场进行泛函积分，并遵守表征给定弦的积分常数 $T_i$ 的边界条件）积分掉内部规范场的结果。然后将 $\Phi = \sqrt{-\gamma} (e\phi + T_i)$ 代回作用量中的其余项，为每根弦提供一个正确的有效作用量。每根弦都将被量子化，每根弦都有一个不同的 $T_i$。在同一时空区域覆盖多根具有不同 $T_i$ 的弦的独立量子化的后果在参考文献[22]中进行了研究。对于目标空间尺度不变性及其在修正测度动态膜张力理论中的自发破缺，可以考虑类似的练习。

本文的重点将放在未破缺的目标空间尺度对称性上，这在所有积分常数 $T_s$ 都为零的情况下实现，或者如果它们相等，因为如果它们都相等，它们也可以通过张力场的平移重定义来消除。

7. 具有目标空间尺度不变性的弦和引力有效模型确定 D = 4

我们希望为有效理论考虑一个修正测度理论，因为那样作用量的引力部分，即曲率标量的线性项，可以是尺度不变的。在D个标量场 $\phi_a$ ($a=1,2,...,D$) 的空间中，适当的积分测度是（我们称与有效理论相关的坐标为A, B, C,...以区别于基础理论的时空，我们使用希腊字母索引，我们还使用G表示有效理论中的度规而不是g）：

$$ dV = d\phi_1 \wedge d\phi_2 \wedge \dots \wedge d\phi_D \equiv \frac{\Phi}{D!} d^Dx \quad (34) $$

其中

$$ \Phi \equiv \varepsilon_{a_1 a_2 \dots a_D} \varepsilon^{A_1 A_2 \dots A_D} (\partial_{A_1}\phi_{a_1})(\partial_{A_2}\phi_{a_2}) \dots (\partial_{A_D}\phi_{a_D}) \quad (35) $$

因此，D维时空中的总作用量应写成以下形式：

$$ S = \int \Phi L d^Dx \quad (36) $$

我们对总拉格朗日密度L的选择是

$$ L = -\frac{1}{\kappa} R(\Gamma, G) + L_m \quad (37) $$

如前所述，乘以测度的R部分可以是目标空间尺度不变的，我们将看看这对于物质部分是否也可能，物质部分由 $L_m$ 表示，而 $R(\Gamma, G)$ 是曲率标量，在一阶形式主义中由下式给出：

$$ R(\Gamma, G) = G^{AB} R_{AB}(\Gamma) \quad (38) $$

$$ R_{AB}(\Gamma) = R^C_{ABC}(\Gamma) \quad (39) $$

7.1 联络和局域对称性

我们可以认为，有效作用量中由曲率标量代表的引力的出现，源于对闭弦的积分，而开弦则作为物质，即引力源而保留下来。首先考虑 $L_m$ 不依赖于 $\Gamma^A_{BC}$ 的情况，即 $L_m$ 中不存在费米子和曲率。那么，曲率张量在由爱因斯坦和考夫曼[35]发现的λ变换下是不变的：

$$ \Gamma'^A_{BC} = \Gamma^A_{BC} + \delta^A_B \lambda_{,C} \quad (40) $$

尽管这个对称性在文献[35]中是在一个非常特定的统一理论中讨论的，但事实证明λ对称性具有更广泛的有效性，在我们的情况下尤其有用。

事实上，对于一大类物质模型，物质拉格朗日密度 $L_m$ 在λ变换下也是不变的。如果 $L_m$ 完全不包含联络 $\Gamma^A_{BC}$，这是显而易见的。对作用量(36)、(37)关于 $\Gamma^A_{BC}$ 进行变分，我们得到方程(41) [...] 求解该方程（在λ对称变换下）得到：

$$ \Gamma^A_{BC} = \{^A_{BC}\} + \Delta\Gamma^A_{BC} \quad (42) $$

其中 $\{^A_{BC}\}$ 是克里斯托费尔联络系数。[...] 最终，我们得到：

$$ \Delta\Gamma^A_{BC}(\sigma) = \frac{1}{D-2} (\delta^A_B \sigma_{,C} + \delta^A_C \sigma_{,B} - \sigma_{,D} G_{BC} G^{AD}) \quad (46) $$

其中 $\sigma \equiv \ln \chi$, $\chi \equiv \Phi / \sqrt{-g}$。在真空中，作用量(36)、(37)在局域变换下是不变的：

$$ G_{AB}(x) = J^{-1} G'_{AB}(x) \quad (47) $$

$$ \Phi(x) = J^{-1}(x) \Phi'(x) \quad (48) $$

对于 $J = \chi^{2/(D-2)}$，我们得到 $\chi' \equiv 1$, $\Delta\Gamma'^A_{BC}(\sigma) \equiv 0$，并且 $\Gamma'^A_{BC} = \{^A_{BC}\}'$。

7.2 运动方程

我们首先研究源自对测度场变分的方程。[...] 我们得到

$$ -\frac{1}{\kappa} R(\Gamma, G) + L_m = M = \text{常数} \quad (50) $$

现在让我们研究源自对 $G^{AB}$ 变分的方程。[...] 我们得到

$$ -\frac{1}{\kappa} R_{AB}(\Gamma) + \frac{\partial L}{\partial G^{AB}} = 0 \quad (52) $$

将方程(52)与 $G^{AB}$ 缩并并利用方程(50)，我们得到约束条件：

$$ G^{AB} \frac{\partial(L_m - M)}{\partial G^{AB}} - (L_m - M) = 0 \quad (53) $$

这个约束必须对函数 $L_m$ 的所有分量（在泛函空间中）都满足。

7.3 弦物质在4D中满足约束条件(53)

弦作为引力源在一阶和二阶形式主义中的研究，例如在[3]中已有讨论，并且表明，通过将弦作用量表示为D维形式，其中 $G^{AB}$ 扮演背景度规的角色，可以验证约束(53)。例如，根据我们的表述，玻色弦将由以下形式的作用量支配：

$$ S_m = \int L_{\text{string}} \Phi d^Dx \quad (55) $$

$$ L_{\text{string}} = -T \int d\sigma d\tau \delta^D(x - X(\sigma, \tau)) \frac{\sqrt{-G}}{\Phi} \sqrt{\det(G_{AB} X^A_{,a} X^B_{,b})} \quad (56) $$

其中 $\int L_{\text{string}} \sqrt{-G} d^Dx$ 将是标准理论中嵌入D维时空的弦的作用量；a, b标记弦世界面上的坐标，T是弦张力。请注意，在变换(47)下，$L_{\text{string}} \to J^{(D-2)/2} L_{\text{string}}$。因此，我们得出结论，$L_{\text{string}}$ 是 $G_{AB}$ 的一次齐次函数，也就是说，约束(53)（当M=0时）只有在 D = 4 时才被满足。

8. 弦张力与普朗克尺度的关系

看起来我们引入了一个有量纲的弦张力 $T$ 和一个有量纲的普朗克尺度（通过 $1/\kappa$），但事实并非如此，因为在4D中，通过变换 $G_{AB} \to \omega G_{AB}$，$T \to \omega T$ 并且 $1/\kappa \to \omega (1/\kappa)$，所以，只有弦张力与普朗克质量平方 $M_P^2$ 的比值才有意义。这个比值将取决于到四维的紧化细节等。

9. 本文结果回顾

对动态张力产生的考虑引导我们走向了每个弦都能动态产生其自身弦张力的理论。这具有深远的后果。我们特别讨论了一个新的背景标量场，即“张力”场，它可以动态地改变延展物体世界面上的张力值。这个引入到延展物体理论中的新场似乎在各种宇宙学和其他情景中具有非常重要的后果。

我们特别研究了如何从世界面规范场的积分（这些场控制着动态张力的动力学）中得出，标记为i的给定弦的张力由 $e\phi + T_i$ 给出，其中 $T_i$ 是一个积分常数，可能因不同的延展物体而异。

如果所有延展物体的张力都相等，当所有积分常数 $T_s$ 都相等时，它们可以被吸收到张力场的平移重定义中。

这给我们留下了一个未破缺的目标空间尺度不变理论，然后我们研究了包含引力和弦物质的有效理论，发现研究必须是修正测度理论的引力理论时，存在一个需要满足的一致性条件，我们发现这个条件只有当这些有效理论在四维时空中表述时才被满足。这个条件恰好是弦物质满足目标空间尺度不变性。看起来我们在有效理论中引入了一个有量纲的弦张力 $T$ 和一个有量纲的普朗克尺度（通过 $1/\kappa$），但事实并非如此，因为在四维中，通过变换 $G_{AB} \to \omega G_{AB}$，$T \to \omega T$ 并且 $1/\kappa \to \omega (1/\kappa)$。由于 $\kappa = 8\pi G = 1/M_P^2$，只有弦张力与 $M_P^2$ 的比值才有意义。这个比值将取决于到四维的紧化细节等。

致谢

我感谢COSMOVERSE，COST ACTION CA21136和COST ACTION CA23130 – Bridging high and low energies in search of quantum gravity (BridgeQG)，以及内盖夫本-古里安大学的慷慨支持。我还要感谢Paul Steinhardt教授就动态弦张力理论和目标空间尺度不变性进行的讨论。本文在访问法兰克福高等研究院（FIAS）期间完成，该访问由C.-W. Fueck-Stiftung基金会（法兰克福）资助，由Jürgen Struckmeier教授管理。我还要非常感谢FIAS的成员Jürgen Struckmeier, David Vasak, Horst Stoecker和Marcelo Netz-Marzola富有成效的对话，以及有机会在FIAS就本文主题发表演讲。

数据可用性声明

本手稿没有关联数据。[作者评论：数据共享不适用于本文，因为在当前研究期间没有生成或分析任何数据集。]

代码可用性声明

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