大家好，我是乔纳森·戈拉德。今天，我想邀请你们与我一同回顾一段激动人心的思想旅程。这一切都始于一个看似简单却极其深刻的概念——计算不可约性 (Computational Irreducibility)。这个由斯蒂芬·沃尔夫勒姆(Stephen Wolfram)提出的概念，其核心思想是：宇宙中许多复杂系统的演化，并没有捷径可寻。要想知道系统未来的状态，你唯一能做的，就是一步一步地、完整地模拟它的整个过程。你无法“跳跃”到未来[1]。
这个想法深深地吸引了我。它暗示着，我们传统科学中寻找普适公式来预测未来的方法，在面对真正复杂的现象时可能会碰壁。但是，作为一个追求严谨的科学家，我总觉得这个概念需要一个更坚实的数学基础，一种能够精确描述“捷径存在与否”的语言。我发现，这门语言，就隐藏在数学的一个美妙而抽象的分支中——范畴论 (Category Theory)。
生活中的类比： 想象一下烘焙一个复杂的蛋糕。食谱就是计算过程。如果食谱上的每一步——混合面粉、打发奶油、控制烤箱温度——都必须严格按顺序、耗费特定的时间来完成，任何一步都不能省略或加速，那么这个烘焙过程就是“不可约”的。你无法通过某种“魔法”直接得到最终的蛋糕。而如果存在一个神奇的“预拌粉”，让你能跳过好几个步骤，直接加水就能做出同样美味的蛋糕，那么这个过程就是“可约”的。我的工作，就是为这种“魔法”或“预拌粉”的存在与否，提供一个数学上的判定准则。
在这篇文章中，我将聚焦于我论文的第二部分，向大家展示我是如何将“计算不可约性”这个物理和计算世界的直觉，翻译成范畴论中一个优雅的概念——函子性 (Functoriality)的。我们将看到，一个计算过程是否可约，最终可以归结为一个数学映射是否“保持结构”的问题。准备好了吗？让我们一起开始这场从图灵机到抽象范畴的探索之旅吧！
为了给我们的思想实验找到一个坚实的起点，我选择了一个计算理论中最经典、最基础的模型：图灵机 (Turing Machine)。它虽然简单，却拥有强大的计算能力。一台图灵机本质上由几个部分组成：一条无限长的纸带（被划分为一个个格子）、一个可以在纸带上读写和移动的读写头，以及一套有限的规则。
在我的论文中，我以一个具体的例子——规则2506的2状态、2色图灵机——来展开论述[1]。这套规则定义了读写头在不同状态（比如“状态1”或“状态2”）和看到不同符号（比如“0”或“1”）时应该执行的操作：写入一个新符号，切换到新状态，并向左或向右移动一格。下面这个动画将直观地展示这个过程。
这是一个2状态、2色图灵机（规则2506）的模拟。观察读写头（彩色方块）如何根据规则在纸带上移动和修改符号。每一步都是一个最基本的计算单元。
生活中的类比： 这就像一个极其守纪律的工人，站在一条长长的装配线上。他只有一个小小的记忆（他的“状态”），他面前的传送带上流过不同的零件（纸带上的“符号”）。他根据自己当前的记忆和眼前的零件，从手册（“规则”）中查找指令，然后对零件进行操作，更新自己的记忆，并移动到下一个工位。宇宙中复杂的演化，或许就是由无数这样微小、精确的“工人”驱动的。
现在，我们有了基本的计算过程。下一步，也是关键的一步，是将其“范畴化”。范畴论是研究“对象”和它们之间“态射”（或称箭头）的数学。我构建了一个名为 \(\mathcal{T}\) 的范畴，我称之为“计算范畴”。
更有趣的是，我们可以组合这些态射。如果有一个态射 \(f: X \to Y\)（从状态X到状态Y的计算）和另一个态射 \(g: Y \to Z\)（从状态Y到状态Z的计算），那么必然存在一个复合态射 \(g \circ f: X \to Z\)。这代表了先执行计算f，再执行计算g的整个过程[1]。通过不断地组合，我们从一个简单的演化路径图，生成了一个包含所有可能计算路径的、极其丰富的网络结构——这就是我们的计算范畴 \(\mathcal{T}\)。
左侧是图灵机演化的基本路径（一个“箭图”）。点击“生成范畴”后，右侧会通过添加所有可能的复合箭头（“捷径”）来构建完整的范畴结构。
生活中的类比： 想象一张城市地铁线路图。每个站点是一个“对象”。两站之间的直达线路是一个“基本态射”。而范畴，则是这张地铁图的“终极旅行规划器”。它不仅告诉你有哪些直达线路，还明确标出了所有可能的换乘路线，比如从A到C，即使没有直达，但只要存在路径A→B→C，它就会为你生成一条从A到C的“复合态射”。这个范畴包含了所有可能的旅程。
单纯的范畴结构告诉我们“可以从哪里到哪里”，但没有告诉我们“需要付出多少代价”。为了捕捉“不可约性”的精髓，我为范畴 \(\mathcal{T}\) 中的每个态射（箭头）都“装饰”上了一个元数据：执行这个计算所需要的最小步数[1]。
现在，我们可以用数学语言来精确描述“不可约性”了。一个计算过程是不可约的，当且仅当其复合态射的代价，严格等于其组成部分代价之和。
\[ \text{Cost}(g \circ f) = \text{Cost}(f) + \text{Cost}(g) \]
相反，如果一个计算是可约的，那么就意味着存在一条捷径。复合计算的代价会小于各个部分代价之和：
\[ \text{Cost}(g \circ f) < \text{Cost}(f) + \text{Cost}(g) \]
这个动画展示了不可约与可约计算的区别。在“不可约”模式下，复合路径的代价是各部分之和。切换到“可约”模式，你会看到一条“捷径”出现，其总代价更小。
为了让我的理论框架更加完整，我引入了第二个，也是更简单的一个范畴，我称之为 \(\mathcal{B}\)，或者“时间范畴”[1]。这个范畴是对“时间”这个概念的抽象。
这个时间范畴 \(\mathcal{B}\) 是我们衡量计算代价的“标尺”。它非常规整、线性，就像一把永不弯曲的尺子。它的美妙之处在于，它为我们提供了一个理想化的参考系，来审视我们那个可能充满复杂“捷径”和“弯路”的计算范畴 \(\mathcal{T}\)。
左侧是我们的计算范畴 \(\mathcal{T}\)，右侧是时间范畴 \(\mathcal{B}\)。动画展示了一个映射 \(\mathcal{Z}'\) 如何将 \(\mathcal{T}\) 中的对象（状态）和态射（计算）“翻译”到 \(\mathcal{B}\) 的时间线上。
现在，我们终于来到了整个思想之旅的顶峰。我们有两个范畴：一个是描述计算本身的 \(\mathcal{T}\)，另一个是描述时间的 \(\mathcal{B}\)。我们还有一个从 \(\mathcal{T}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的映射 \(\mathcal{Z}'\)，它将每个计算状态映射到一个时间点，将每个计算过程映射到一个时间段。
在范畴论中，有一种特殊的映射叫做“函子” (Functor)。函子是“保持结构的映射”。这意味着，它不仅映射对象和态射，还尊重它们的组合规则。如果 \(\mathcal{Z}'\) 是一个函子，那么它必须满足：
\[ \mathcal{Z}'(g \circ f) = \mathcal{Z}'(g) \cup \mathcal{Z}'(f) \]
现在请回想一下我们对不可约性的定义：\(\text{Cost}(g \circ f) = \text{Cost}(f) + \text{Cost}(g)\)。这不正是函子性条件的另一种表述吗？一个计算过程是不可约的，当且仅当它的时间成本是严格相加的，这意味着映射 \(\mathcal{Z}'\) 完美地保持了组合结构，因此 \(\mathcal{Z}'\) 是一个函子。
而当一个计算是可约的，时间成本是次可加的（\(\text{Cost}(g \circ f) < \text{Cost}(f) + \text{Cost}(g)\)），这意味着映射 \(\mathcal{Z}'\) 破坏了组合结构。它就不是一个函子，只是一个普通的映射。
至此，我们得到了一个优美而深刻的结论：
计算不可约性，在形式上，等同于函子性。
计算可约性的“程度”，就是这个映射 \(\mathcal{Z}'\) 偏离函子性的“程度”。这个发现让我无比兴奋，因为它为物理世界中一个深刻的直觉，找到了一个精确、普适且优美的数学表达。
这个动画模拟了 \(\mathcal{Z}'\) 映射。在“函子”模式下，左侧的组合操作被完美地复制到右侧的时间线上。在“非函子”模式下，右侧的组合结果会出现“压缩”或“扭曲”，因为它代表了一个“捷径”。
为了使我的论证更加坚固，我需要引入一些更严谨的数学定义。这部分内容可能会有些抽象，但我相信对于渴望深入理解的朋友来说是必不可少的。
我们首先将图灵机 \(T\) 形式化为一个七元组 \(T = \langle Q, \Gamma, b, \Sigma, \delta, q_0, F \rangle\)，其中：
范畴 \(\mathcal{T}\) 的对象集 \(\text{ob}(\mathcal{T})\) 是所有可能的图灵机配置 \(\Gamma^{\mathbb{Z}} \times Q \times \mathbb{Z}\) 的集合，即（纸带状态，头部状态，头部位置）的三元组。态射集 \(\text{hom}(\mathcal{T})\) 是由转移函数 \(\delta\) 的所有可能应用所自由生成的。这意味着我们首先有一个由单步转换构成的有向图（箭图），然后通过取这个图的传递闭包来获得所有的复合态射。例如，如果 \(f: X \to Y\) 和 \(g: Y \to Z\) 是基本态射，那么我们就“创造”了一个新的态射 \(g \circ f: X \to Z\)。
这个构造出来的 \(\mathcal{T}\) 确实是一个范畴，因为它满足两条基本公理：
在论文中，我进一步指出，时间范畴 \(\mathcal{B}\) 可以被看作是一个更通用结构——Bordism 范畴——的离散化版本。这是一个深刻的联系，因为它为后续推广到多路计算和量子场论铺平了道路。
在这个视角下：
组合操作（区间的并集）对应于将两段 bordism “粘合”在一起。这个看似只是技术性的重新表述，实际上为我的整个框架赋予了强大的几何直觉。它暗示着，计算的演化过程，可以被看作是时空几何的某种离散对应物。
一个 Bordism 范畴 \(\text{Bord}_n\) 的对象是 \(n-1\) 维的闭流形，态射是从一个 \(n-1\) 维流形到另一个的 \(n\) 维 bordism。我所用的 \(\mathcal{B}\) 是 \(\text{Bord}_1\) 的一个离散化实例。
我为态射赋予的“计算代价”或“复杂度”，其代数性质与度量空间非常相似。令 \(d(f)\) 为态射 \(f: X \to Y\) 的复杂度，它满足：
这表明计算的复杂度空间具有某种几何结构。不可约性对应于三角不等式取“等号”的特殊情况，即在一条直线上移动。而可约性则对应于存在“弯路”或“捷径”，使得两点间的直线距离小于沿路径的距离之和。唯一的区别是，计算的“距离”不一定是对称的，即 \(d(f^{-1})\) 不一定等于 \(d(f)\)，因为逆向计算的复杂度可能完全不同。
通过将计算不可约性重新表述为函子性，我们不仅仅是完成了一次漂亮的数学翻译。我们开启了一扇全新的大门，通往一个可以统一计算理论、物理学和几何学的广阔新世界。
我的工作表明，那些看似只属于纯数学的抽象结构——范畴、函子、流形、Bordism——可能正是描述我们宇宙基本运行规律的最自然语言。计算的顺序组合，对应于1维的时间演化。而在我论文的后续部分，我将这个思想推广：计算的并行组合（多路计算）将对应于更高维的Bordism，并与量子场论中的路径积分产生深刻的对偶关系[1]。
这趟旅程只是一个开始。它引发了更多激动人心的问题：因果结构如何被纳入这个范畴框架？空间复杂度和时间复杂度之间是否存在类似的对偶性？我们能否利用这个框架，去探索那些传统计算复杂性理论难以触及的、“行为更狂野”的复杂性类别？
我希望这次分享，能够点燃你心中的好奇之火。也许，我们正站在一场科学革命的门槛上，而范畴论，就是那把开启新纪元的钥匙。感谢你的聆听。