测量前的系统状态
在Alice进行贝尔态测量之前，三粒子系统处于完整的量子叠加态[4]。这个状态包含了信息粒子的未知态和Alice-Bob纠缠对的贝尔态：
初始三粒子态：
$$|\Psi\rangle_{123} = (\alpha|0\rangle_1 + \beta|1\rangle_1) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_2|0\rangle_3 + |1\rangle_2|1\rangle_3)$$
展开后的完整表达式：
$$|\Psi\rangle_{123} = \frac{\alpha}{\sqrt{2}}|000\rangle + \frac{\alpha}{\sqrt{2}}|011\rangle + \frac{\beta}{\sqrt{2}}|100\rangle + \frac{\beta}{\sqrt{2}}|111\rangle$$
贝尔态测量的投影过程
当Alice对信息粒子和她的纠缠粒子进行贝尔态测量时，系统会坍缩到四种可能的贝尔态之一[5]。每种结果的概率为25%：
情况1：测量得到 $|\Phi^+\rangle_{01}$
$$|\Phi^+\rangle_{01} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle_{01} + |11\rangle_{01})$$
测量后状态：$$|\Psi_{final}\rangle = |\Phi^+\rangle_{01} \otimes (\alpha|0\rangle_2 + \beta|1\rangle_2)$$
情况2：测量得到 $|\Phi^-\rangle_{01}$
$$|\Psi_{final}\rangle = |\Phi^-\rangle_{01} \otimes (\alpha|0\rangle_2 - \beta|1\rangle_2)$$
情况3：测量得到 $|\Psi^+\rangle_{01}$
$$|\Psi_{final}\rangle = |\Psi^+\rangle_{01} \otimes (\alpha|1\rangle_2 + \beta|0\rangle_2)$$
情况4：测量得到 $|\Psi^-\rangle_{01}$
$$|\Psi_{final}\rangle = |\Psi^-\rangle_{01} \otimes (\alpha|1\rangle_2 - \beta|0\rangle_2)$$
🔍 关键问题：原始纠缠态还在吗？
测量前的纠缠态
Alice-Bob纠缠对：
$$|\phi^+\rangle_{23} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle_{23} + |11\rangle_{23})$$
这是粒子2和粒子3之间的最大纠缠态[3]
测量后的新纠缠态
信息粒子-Alice粒子纠缠：
$$|\Phi^+\rangle_{01} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle_{01} + |11\rangle_{01})$$
形成了新的贝尔纠缠态
答案：原始纠缠态被完全破坏！
测量过程的投影算符：
$$P_{\Phi^+} = |\Phi^+\rangle_{01}\langle\Phi^+|_{01} \otimes I_2$$
归一化后的最终态：
$$|\Psi_{after}\rangle = \frac{P_{\Phi^+}|\Psi\rangle_{123}}{\sqrt{\langle\Psi|_{123}P_{\Phi^+}|\Psi\rangle_{123}}}$$
纠缠态的重新分布
量子隐形传态的神奇之处在于纠缠关系的重新分布[1][6]：
原始纠缠网络
- 信息粒子：独立存在，携带待传输信息
- Alice-Bob对：处于最大纠缠态
- 总体：三粒子叠加态
测量后纠缠网络
- 信息-Alice对：形成新的贝尔态
- Bob粒子：独立存在，携带变形信息
- 总体：可分离的直积态
纠缠度的变化[3]：
$$E_{23}^{before} = 1 \quad \rightarrow \quad E_{01}^{after} = 1, \quad E_{02}^{after} = 0$$
其中纠缠度定义为：
$$E(\rho) = S(\rho_A) = -\text{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A)$$
量子信息的非局域传输机制
这个过程展现了量子纠缠的非局域性[7][8]：
信息守恒原理：
测量前信息分布：$$I_{total} = I_{info} + I_{entanglement}$$
测量后信息分布：$$I_{total} = I_{new\_entanglement} + I_{Bob}$$
其中：$$I_{info} = I_{Bob} \quad \text{(信息完美转移)}$$
非局域关联的数学表述
当Alice测量时，Bob粒子的状态瞬时变化[7]：
$$\rho_2^{before} = \frac{1}{2}I_2 \quad \rightarrow \quad \rho_2^{after} = |\psi_{transformed}\rangle\langle\psi_{transformed}|$$
其中变换后的态包含原始信息：
$$|\psi_{transformed}\rangle \in \{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle, \alpha|0\rangle - \beta|1\rangle, \alpha|1\rangle + \beta|0\rangle, \alpha|1\rangle - \beta|0\rangle\}$$
量子不可克隆定理的体现
原始纠缠态的破坏是量子不可克隆定理的必然结果[4]：
不可克隆定理：
不存在酉变换 $U$ 使得：
$$U(|\psi\rangle \otimes |0\rangle) = |\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$$
对于任意未知量子态 $|\psi\rangle$
如果原始纠缠态在测量后仍然存在，就会违反这个基本定理。因此，原始Alice-Bob纠缠态必须被破坏，以确保量子信息的唯一性传输。
🎯 结论
原始纠缠态完全消失，取而代之的是：
- 信息粒子与Alice粒子形成新的贝尔纠缠态
- Bob粒子获得原始信息的变形版本
- 整个系统从三粒子纠缠态变为可分离态
- 量子信息实现了从Alice到Bob的完美转移